$q$-expansion of the Eisenstein series $E_4$ - NumberDB

$q$-expansion of the Eisenstein series $E_4$

edit · history · discussion · files · short url · elliptic curves modular function Taylor series number theory

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999:

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1000:

276430190400

Definition

This list contains the coefficients of the Eisenstein series $E_4(\tau)$ [1] in its $q$-expansion, $E_4 = \sum_{n=0}^{\infty} a_n q^n$, where $q = e^{2\pi i\tau}$.

Parameters

$n$

— integer ($n \geq 0$)

Formulas

(1)

$E_4(\tau) = 1 + 240 \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3q^n}{1-q^n}$.

Comments

(2)

Note that different authors use different normalizations for Eisenstein series. Here, we use the normalization that makes the constant coefficient $a_0 = 1$.

Programs

(P1)

Sage

numbers = {n: eisenstein_series_qexp(4,101,
                  normalization='constant')[n] 
              for n in [0..100]}

Links

[1]

Wikipedia: Eisenstein series

Data properties

Entries are of type: integer

Table is complete: no

How well the digits are known: exact

How they were obtained:

An exact value -- an integer, a rational or a polynomial -- so there is no precision to choose and nothing to be wrong about.