NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Bernoulli numbers
edit · history · discussion · files · long url · generating function sequence special values
Numbers
$n$ 
$B_n$
0:
1
1:
-1/2
2:
1/6
3:
0
4:
-1/30
5:
0
6:
1/42
7:
0
8:
-1/30
9:
0
10:
5/66
11:
0
12:
-691/2730
13:
0
14:
7/6
15:
0
16:
-3617/510
17:
0
18:
43867/798
19:
0
20:
-174611/330
21:
0
22:
854513/138
23:
0
24:
-236364091/2730
25:
0
26:
8553103/6
27:
0
28:
-23749461029/870
29:
0
30:
8615841276005/14322
31:
0
32:
-7709321041217/510
33:
0
34:
2577687858367/6
35:
0
36:
-26315271553053477373/1919190
37:
0
38:
2929993913841559/6
39:
0
40:
-261082718496449122051/13530
41:
0
42:
1520097643918070802691/1806
43:
0
44:
-27833269579301024235023/690
45:
0
46:
596451111593912163277961/282
47:
0
48:
-5609403368997817686249127547/46410
49:
0
50:
495057205241079648212477525/66
51:
0
52:
-801165718135489957347924991853/1590
53:
0
54:
29149963634884862421418123812691/798
55:
0
56:
-2479392929313226753685415739663229/870
57:
0
58:
84483613348880041862046775994036021/354
59:
0
60:
-1215233140483755572040304994079820246041491/56786730
61:
0
62:
12300585434086858541953039857403386151/6
63:
0
64:
-106783830147866529886385444979142647942017/510
65:
0
66:
1472600022126335654051619428551932342241899101/64722
67:
0
68:
-78773130858718728141909149208474606244347001/30
69:
0
70:
1505381347333367003803076567377857208511438160235/4686
71:
0
72:
-5827954961669944110438277244641067365282488301844260429/140100870
73:
0
74:
34152417289221168014330073731472635186688307783087/6
75:
0
76:
-24655088825935372707687196040585199904365267828865801/30
77:
0
78:
414846365575400828295179035549542073492199375372400483487/3318
79:
0
80:
-4603784299479457646935574969019046849794257872751288919656867/230010
81:
0
82:
1677014149185145836823154509786269900207736027570253414881613/498
83:
0
84:
-2024576195935290360231131160111731009989917391198090877281083932477/3404310
85:
0
86:
660714619417678653573847847426261496277830686653388931761996983/6
87:
0
88:
-1311426488674017507995511424019311843345750275572028644296919890574047/61410
89:
0
90:
1179057279021082799884123351249215083775254949669647116231545215727922535/272118
91:
0
92:
-1295585948207537527989427828538576749659341483719435143023316326829946247/1410
93:
0
94:
1220813806579744469607301679413201203958508415202696621436215105284649447/6
95:
0
96:
-211600449597266513097597728109824233673043954389060234150638733420050668349987259/4501770
97:
0
98:
67908260672905495624051117546403605607342195728504487509073961249992947058239/6
99:
0
100:
-94598037819122125295227433069493721872702841533066936133385696204311395415197247711/33330
101:
0
102:
3204019410860907078243020782116241775491817197152717450679002501086861530836678158791/4326
103:
0
104:
-319533631363830011287103352796174274671189606078272738327103470162849568365549721224053/1590
105:
0
106:
36373903172617414408151820151593427169231298640581690038930816378281879873386202346572901/642
107:
0
108:
-3469342247847828789552088659323852541399766785760491146870005891371501266319724897592306597338057/209191710
109:
0
110:
7645992940484742892248134246724347500528752413412307906683593870759797606269585779977930217515/1518
111:
0
112:
-2650879602155099713352597214685162014443151499192509896451788427680966756514875515366781203552600109/1671270
113:
0
114:
21737832319369163333310761086652991475721156679090831360806110114933605484234593650904188618562649/42
115:
0
116:
-309553916571842976912513458033841416869004128064329844245504045721008957524571968271388199595754752259/1770
117:
0
118:
366963119969713111534947151585585006684606361080699204301059440676414485045806461889371776354517095799/6
119:
0
120:
-51507486535079109061843996857849983274095170353262675213092869167199297474922985358811329367077682677803282070131/2328255930
121:
0
122:
49633666079262581912532637475990757438722790311060139770309311793150683214100431329033113678098037968564431/6
123:
0
124:
-95876775334247128750774903107542444620578830013297336819553512729358593354435944413631943610268472689094609001/30
125:
0
126:
5556330281949274850616324408918951380525567307126747246796782304333594286400508981287241419934529638692081513802696639/4357878
127:
0
128:
-267754707742548082886954405585282394779291459592551740629978686063357792734863530145362663093519862048495908453718017/510
129:
0
130:
1928215175136130915645299522271596435307611010164728458783733020528548622403504078595174411693893882739334735142562418015/8646
131:
0
132:
-410951945846993378209020486523571938123258077870477502433469747962650070754704863812646392801863686694106805747335370312946831/4206930
133:
0
134:
264590171870717725633635737248879015151254525593168688411918554840667765591690540727987316391252434348664694639349484190167/6
135:
0
136:
-84290226343367405131287578060366193649336612397547435767189206912230442242628212786558235455817749737691517685781164837036649737/4110
137:
0
138:
2694866548990880936043851683724113040849078494664282483862150893060478501559546243423633375693325757795709438325907154973590288136429/274386
139:
0
140:
-3289490986435898803930699548851884006880537476931130981307467085162504802973618096693859598125274741604181467826651144393874696601946049/679470
141:
0
142:
14731853280888589565870080442453214239804217023990642676194878997407546061581643106569966189211748270209483494554402556608073385149191/6
143:
0
144:
-3050244698373607565035155836901726357405007104256566761884191852434851033744761276392695669329626855965183503295793517411526056244431024612640493/2381714790
145:
0
146:
4120570026280114871526113315907864026165545608808541153973817680034790262683524284855810008621905238290240143481403022987037271683989824863/6
147:
0
148:
-1691737145614018979865561095112166189607682852147301400816480675916957871178648433284821493606361235973346584667336181793937950344828557898347149/4470
149:
0
150:
463365579389162741443284425811806264982233725425295799852299807325379315501572305760030594769688296308375193913787703707693010224101613904227979066275/2162622
151:
0
152:
-3737018141155108502105892888491282165837489531488932951768507127182409731328472084456653639812530140212355374618917309552824925858430886313795805601/30
153:
0
154:
10259718682038021051027794238379184461025738652460569233992776489750881337506863808448685054322627708245455888249006715516690124228801409697850408284121/138
155:
0
156:
-81718086083262628510756459753673452313595710396116467582152090596092548699138346942995509488284650803976836337164670494733866559829768848363506624334818961419869/1794590070
157:
0
158:
171672676901153210072183083506103395137513922274029564150500135265308148197358551999205867870374013289728260984269623579880772408522396975250682773558018919/6
159:
0
160:
-4240860794203310376065563492361156949989398087086373214710625778458441940477839981850928830420029285687066701804645453159767402961229305942765784122421197736180867/230010
161:
0
162:
1584451495144416428390934243279426140836596476080786316960222380784239380974799880364363647978168634590418215854419793716549388865905348534375629928732008786233507729/130074
163:
0
164:
-20538064609143216265571979586692646837805331023148645068133372383930344948316600591203926388540940814833173322793804325084945094828524860626092013547281335356200073083/2490
165:
0
166:
5734032969370860921631095311392645731505222358555208498573088911303001784652122964703205752709194193095246308611264121678834250704468082648313788124754168671815815821441/1002
167:
0
168:
-13844828515176396081238346585063517228531109156984345249260453934317772754836791258987516540324983611569758649525983347408589045734176589270143058509026392246407576578281097477/3404310
169:
0
170:
195334207626637530414976779238462234481410337350988427215139995707346979124686918267688171536352650572535330369818176979951931477427594872783018749894699157917782460035894085/66
171:
0
172:
-11443702211333328447187179942991846613008046506032421731755258148665287832264931024781365962633301701773088470841621804328201008020129996955549467573217659587609679405537739509973/5190
173:
0
174:
4166161554662042831884959593250717297395614318182561412048180684077407803317591270831194619293832107482426945655143357909807251852859279483176373435697607639883085093246499347128331/2478
175:
0
176:
-1369347910486705707645621362512824332220360774476594348356938715366608044588614657557436131706543948464159947970464346070253278291989696390096800799614617317655510118710460076077638883999/1043970
177:
0
178:
1124251816617941290026484851206299982774720467712867275292043701618829826708395745459654170718363182143418314514085426692857018428614935412736063946853033094328968069656979232446257101741/1074
179:
0
180:
-6173136454016248924640522272263470960199559328290655337530202055853397791747341312347030141906500993752700612233695954532816018207721731818225290076670213481102834647254685911917265818955932383093313/7225713885390
181:
0
182:
4277269279349192541137304400628629348327468135828402291661683018622451659989595510712915810436238721139546963558655260384328988773219688091443529626531335687951612545946030357929306651006711/6
183:
0
184:
-857321333523056180131194437347933216431403305730705359015465649285681432317514010686029079324479659634642384809061711319481020030715989009140595170556956196762318625529645723516532076273012244047/1410
185:
0
186:
22258646098436968050639602221816385181596567918515338169946670500599612225742487595012775838387331550474751212260636163500086787417640903770807353228157478339547041472679880890292167353534100797481/42
187:
0
188:
-14158277750623758793309386870401397333112823632717478051426522029712001260747920789473711562165031101665618225654329210473605281619696918061316240634857984019071572591940586875558943580878119388321001/30
189:
0
190:
5411555842544259796131885546196787277987837486638756184149141588783989774511509608733429067517383750706299486822702171672522203106730993581242777825864203487238429479957280273093904025319950569633979493395/12606
191:
0
192:
-346465752997582699690191405750952366871923192340955593486485715370392154894102000406980162521728492501917598012711402163530166516991115122131398542029056286959857727373568402417020319761912636411646719477318166587/868841610
193:
0
194:
2269186825161532962833665086968359967389321429297588337232986752409765414223476696863199759981611817660735753831323900456495253961837175924312108872915089534970310604331636484174526399721365966337809334021247/6
195:
0
196:
-62753135110461193672553106699893713603153054153311895305590639107017824640241378480484625554578576142115835788960865534532214560982925549798683762705231316611716668749347221458005671217067357943416524984438771831113/171390
197:
0
198:
88527914861348004968400581010530565220544526400339548429439843908721196349579494069282285662653465989920237253162555666526385826449862863083834096823053048072002986184254693991336699593468906111158296442729034119206322233/244713882
199:
0
200:
-498384049428333414764928632140399662108495887457206674968055822617263669621523687568865802302210999132601412697613279391058654527145340515840099290478026350382802884371712359337984274122861159800280019110197888555893671151/1366530
201:
0
202:
2250525326187264545900714460628885135841050444551247116222631411681549780530233516069957534394574922579290608180427520318235621123686109474343887857944611842438698399885295153935574958275021715116120056995036417537079471/6
203:
0
204:
-110636644250856903590976481422794879200517231299540994715372334521128669716264196333811025709747746193210786820114369025849897345722531098042760530922656878891556664782168465095563132092311332073097630676251482491663634626858373/281190
205:
0
206:
2525292668891404920279427026668969389456388249389889339455604316691573384284678293620100066924361693666444722338743839198221347931651916807651198800935942493038194104759967208073711284671045255047521429204396148980705984836743/6
207:
0
208:
-12407390668433023412711473483696990726334795896412761472587854072142800403373577087021298541061094633377354326966623278849423631924808044397822651135905640812063181221280972334965193338438214107578486417026806166184210160001817890901/27030
209:
0
210:
4708181368529492614110644197951837317202610608341257204206693195241245204360822875910613010433572133227831741097261618833206537519198885812254347219150482005543422997225440204041473518187636442241332621804718967775203938403965710395632762155/9225988926
211:
0
212:
-1856110669947388268389361040689764027464160460436671923253131176853224087741924378432403442710398247642246902212818749685974336641529240178398124235555437625251481044526024910356131819016670047949661636539964662370375622630863327168696307/3210
213:
0
214:
4005748930070152861935826766476856180706477227448622268042052745245798242539770546339789899546160341590069109467023517085578618986055969187202731878271685432460708841118506310943865592568791360294244451765746911808994482063783730693703607/6
215:
0
216:
-11993122770108617858536443322964878003618156069559794803117809279608039120818829088000103355036592864877954563564831932363414886811786054601318517206937549605059298307895591515771731031691422489377098686236263367916404512751010916862894129855138281961/15270994830
217:
0
218:
5646413644023523531472659729552574911763686780871700375627426663366507837122353997075891736706811337698248660838754243486778190331522785903661556458651175061469825204821206611273990250663647381261360659950519735730925202117606150672170127523599/6
219:
0
220:
-8717064809960074651332043679796544474420053189621803209941154764877242575579617540185166306094852502223738126111951612525627910517501081576202264770178546608710937474005742969950212404955732473198451623024108934373488641161751158901712323446768306053/7590
221:
0
222:
13368053158552172665210852539359893340369870651951497976111882891296650008003955172160792457229376320993686817755409436399268291095350295968657381088168219133490277914269064723832062615431730061224649980566693258603099340996988542301914519271322675688591/9366
223:
0
224:
-3018240015081392087620978688311925380399983229633120268872695911807562982111154053235820050168829922189401964755775948260724401542319799566237745986245598102255191922935742610508280966462644022540839619861091049093129359799053781543195492373882916779852781709/1671270
225:
0
226:
3168221108903401670436878558215734893322849540781208738796672473984272484396317849596978630272031342024194689871467916186898192771267438982228710525079886956295106197431401217357893460897221381410667385636049264583380749631776691121592016493432807733153743581/1362
227:
0
228:
-1906502909997888166123201923177385833567729039151413143876271870599057704445939156075718972624235764657102074902610737729027517674632609562387841658709266014329005407533521950744449109807215808770201247724932231495252981632908042371307965561986133763291349835081839/625170
229:
0
230:
12620737044909818561832856090355555624016887319605261762997689571062646649745107532482632213152948299491122977690702642386377706799989565320538433072623252159464115918057294711396625436506736041542403370025258477205101808063594056759977272469883621048184279331863155/3102
231:
0
232:
-2277782962749544647786193093844710000584561145527861043594866852071596440076587235747852022645695523676561694856919437156369375152041285055935622032497285897151359345040171955786899011718891877065760345722163063921177723102631428767500963315657655779698470644544064472947/412410
233:
0
234:
480867224771001697116513683699011649496855159878152931805742068517626950204279499281932407966997815888727039144001177194783700618900740782637516562256421883686495287564849123342843286211825800198337962453448529082007644439295666002669973893196613894216505936316966183107269/63042
235:
0
236:
-321467133590936589398380572003196190798000628347443663674019204361034039315014370869884972981404460888272855773233080186485230316544246541168364468343631969225480324799028067015621769939718443419712110857965409179947456994970687005134042835903494172569465751671057323145801/30
237:
0
238:
21954828084819816230623427376391154946628510524415478471365831649487269438565442138452375719697629394886161086199009071745032148355699097673730377547354631757000924688032674454208386076360699273002129330161098228962653466112032300056534380609136268347425707537340996253935261001/1434
239:
0
240:
-212191008579182060478563837945461872287372869333130175188325135660897759482730035448146388858205966593247205572842356279587190846758925659038643395344396334821348861518596112373605365460921821915409949436456394757252173113308288776951844012432992719925522001911419529928297005743854184672707/9538864545210
241:
0
242:
4535049728315239205021018362829154800039522502549714840841943960634084990270225535043892135549408608572877513963384530325758104248133124392959997485849004663162061065909846598215984547677506961593292880902830325868627515047168286738527241360778218692535254144583771935549805772798793/138
243:
0
244:
-1480677868678810347062135814574727890490996459903153909612611791768134015908900253197632543925157559965099005581639883558125985134242978146873558628010545299879178299856929100217178891524159543673803785481607540954533057560554704283718320006046424881681934129216249889269701182688055001/30
245:
0
246:
262668605206102118430195944953058387315319589613263079853189811674338644589939356676047394737425651989092115424635212785341601958591806782599345416064945113338168378810138043832891536358769753916174695061208903056552776976154338169779827414504134808495078925108569042616724875466536400029203/3486
247:
0
248:
-3507445546375253318342667741949651253516986113349672180095468758145505921133172244240023419466113277413785800736682458966212429373095894934752041434119711352215164597094886530278429206637066302031501412499166263642447542289785723225064437740655097573160922291075175522551466276032634749948001/30
249:
0
250:
3053985414762198703102020975667535181880294373982570358384262712216099013630127381226064671248970168701164841859177635139561220373102316273710980757409295039231697360536736113380473515993580188204966808323201772081668695321316425977503713933894934399351348240918411922863059423248058823372368106375/16566
Definition
The Bernoulli numbers $B_n$ are the coefficients of the exponential generating function $\frac{t}{e^t-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_nt^n}{n!}$.
Parameters
$n$
—   integer ($n \geq 0$)
Formulas
(1)
$\sum_{n=0}^\infty \frac{B_nt^n}{n!} = \frac{t}{2}\left(\coth \frac{t}{2}-1\right)$.
(2)
$B_n = (-1)^{n+1} n \zeta(1-n)$ for $n\geq 1$, where $\zeta$ is the Riemann zeta function.
Comments
(3)
Some authors prefer to define $B^+_n = (-1)^n B_n$ as Bernoulli numbers.
(4)
$B_n = B_n(0)$, the constant term of the $n$-th Bernoulli polynomial. These polynomials express sums of powers: $\sum_{k<m} k^{n} = \frac{B_{n+1}(m) - B_{n+1}}{n+1}$. Their companion family, the Euler polynomials, does the same for alternating sums.
Programs
(P1)
Sage
bernoulli(n)
Links
Data properties
Entries are of type: rational number
both signs: True (Unknown key)
How well the digits are known: exact
How they were obtained:

An exact value -- an integer, a rational or a polynomial -- so there is no precision to choose and nothing to be wrong about.

Table is complete: no (it holds $B_n$ for every $n$ with $0\leq n\leq 250$, which covers the Bernoulli numbers used by Euler-Maclaurin expansions at about a hundred digits)


API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.