NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Nodes and weights of Gauss–Legendre quadrature
edit · history · discussion · files · long url · analysis zero algebraic
Numbers
$n$
$k$
$x_k$ or $w_k$
1
1
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_1=0$, the midpoint rule; $0$ is a node of every rule of odd order
1
1
$w_k$:
2
comment: $w_1=2$, the length of the interval
equals: Integers#2
2
1
$x_k$:
-0.5773502691896257645091487805019574556476017512701268760186023264839776723029333456937153955857495252
comment: $x_1=-1/\sqrt{3}$
equals: Algebraic_numbers_of_degree_2#3,0,-1,1
2
1
$w_k$:
1
comment: $w_1=1$
equals: One
2
2
$x_k$:
0.5773502691896257645091487805019574556476017512701268760186023264839776723029333456937153955857495252
comment: $x_2=1/\sqrt{3}$
equals: Algebraic_numbers_of_degree_2#3,0,-1,2
2
2
$w_k$:
1
comment: $w_2=1$
equals: One
3
1
$x_k$:
-0.7745966692414833770358530799564799221665843410583181653175147532226966183873958067038574753717347036
comment: $x_1=-\sqrt{3/5}$
equals: Algebraic_numbers_of_degree_2#5,0,-3,1
3
1
$w_k$:
5/9
comment: $w_1=5/9$
3
2
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{2}=0$, the central node of every rule of odd order
3
2
$w_k$:
8/9
comment: $w_2=8/9$
3
3
$x_k$:
0.7745966692414833770358530799564799221665843410583181653175147532226966183873958067038574753717347036
comment: $x_3=\sqrt{3/5}$
equals: Algebraic_numbers_of_degree_2#5,0,-3,2
3
3
$w_k$:
5/9
comment: $w_3=5/9$
4
1
$x_k$:
-0.8611363115940525752239464888928095050957253796297176376157219209065294714950488657041623398844793052
comment: $x_1=-\sqrt{\bigl(3+2\sqrt{6/5}\bigr)/7}$
4
1
$w_k$:
0.3478548451374538573730639492219994072353486958338935404925293195187518674659103517219837677322581595
comment: $w_1=(18-\sqrt{30})/36$
4
2
$x_k$:
-0.3399810435848562648026657591032446872005758697709143525929539768210200304632370344778752804355548115
comment: $x_2=-\sqrt{\bigl(3-2\sqrt{6/5}\bigr)/7}$
4
2
$w_k$:
0.6521451548625461426269360507780005927646513041661064595074706804812481325340896482780162322677418405
comment: $w_2=(18+\sqrt{30})/36$
4
3
$x_k$:
0.3399810435848562648026657591032446872005758697709143525929539768210200304632370344778752804355548115
comment: $x_3=\sqrt{\bigl(3-2\sqrt{6/5}\bigr)/7}$
4
3
$w_k$:
0.6521451548625461426269360507780005927646513041661064595074706804812481325340896482780162322677418405
comment: $w_3=(18+\sqrt{30})/36$
4
4
$x_k$:
0.8611363115940525752239464888928095050957253796297176376157219209065294714950488657041623398844793052
comment: $x_4=\sqrt{\bigl(3+2\sqrt{6/5}\bigr)/7}$
4
4
$w_k$:
0.3478548451374538573730639492219994072353486958338935404925293195187518674659103517219837677322581595
comment: $w_4=(18-\sqrt{30})/36$
5
1
$x_k$:
-0.9061798459386639927976268782993929651256519107625308628737622865437707949166868469411429895535422619
comment: $x_1=-\tfrac13\sqrt{5+2\sqrt{10/7}}$
5
1
$w_k$:
0.2369268850561890875142640407199173626432600022124140155828278882217172884030430985799934304939514448
comment: $w_1=(322-13\sqrt{70})/900$
5
2
$x_k$:
-0.5384693101056830910363144207002088049672866069055599562022316270594711853677552910358036672505709316
comment: $x_2=-\tfrac13\sqrt{5-2\sqrt{10/7}}$
5
2
$w_k$:
0.4786286704993664680412915148356381929122955533431415399727276673338382671525124569755621250616041108
comment: $w_2=(322+13\sqrt{70})/900$
5
3
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{3}=0$, the central node of every rule of odd order
5
3
$w_k$:
128/225
comment: $w_3=128/225$
5
4
$x_k$:
0.5384693101056830910363144207002088049672866069055599562022316270594711853677552910358036672505709316
comment: $x_4=\tfrac13\sqrt{5-2\sqrt{10/7}}$
5
4
$w_k$:
0.4786286704993664680412915148356381929122955533431415399727276673338382671525124569755621250616041108
comment: $w_4=(322+13\sqrt{70})/900$
5
5
$x_k$:
0.9061798459386639927976268782993929651256519107625308628737622865437707949166868469411429895535422619
comment: $x_5=\tfrac13\sqrt{5+2\sqrt{10/7}}$
5
5
$w_k$:
0.2369268850561890875142640407199173626432600022124140155828278882217172884030430985799934304939514448
comment: $w_5=(322-13\sqrt{70})/900$
6
1
$x_k$:
-0.9324695142031520278123015544939946091347657377122898248725496165266135008442001962762887399219259850
6
1
$w_k$:
0.1713244923791703450402961421727328935268225014840439823986354397989457605423401546479277054263886698
6
2
$x_k$:
-0.6612093864662645136613995950199053470064485643951700708145267058521834966071431009442864037464614564
6
2
$w_k$:
0.3607615730481386075698335138377161116615218927467454822897392402371400378372617183209622019888193479
6
3
$x_k$:
-0.2386191860831969086305017216807119354186106301400213501813951645742749342756398422492244272573491316
6
3
$w_k$:
0.4679139345726910473898703439895509948116556057692105353116253199639142016203981270311100925847919823
6
4
$x_k$:
0.2386191860831969086305017216807119354186106301400213501813951645742749342756398422492244272573491316
6
4
$w_k$:
0.4679139345726910473898703439895509948116556057692105353116253199639142016203981270311100925847919823
6
5
$x_k$:
0.6612093864662645136613995950199053470064485643951700708145267058521834966071431009442864037464614564
6
5
$w_k$:
0.3607615730481386075698335138377161116615218927467454822897392402371400378372617183209622019888193479
6
6
$x_k$:
0.9324695142031520278123015544939946091347657377122898248725496165266135008442001962762887399219259850
6
6
$w_k$:
0.1713244923791703450402961421727328935268225014840439823986354397989457605423401546479277054263886698
7
1
$x_k$:
-0.9491079123427585245261896840478512624007709376706177835487691039130633303548401408057307700279257241
7
1
$w_k$:
0.1294849661688696932706114326790820183285874022599466639772086387246552349720423087156254181629208451
7
2
$x_k$:
-0.7415311855993944398638647732807884070741476471413902601199553519674298746721805137928268323668632471
7
2
$w_k$:
0.2797053914892766679014677714237795824869250652265987645370140326936188104305626768132409429011976188
7
3
$x_k$:
-0.4058451513773971669066064120769614633473820140993701263870432517946638132261256553283126897277465878
7
3
$w_k$:
0.3818300505051189449503697754889751338783650835338627347510834510307055464341297083486846593440448015
7
4
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{4}=0$, the central node of every rule of odd order
7
4
$w_k$:
512/1225
7
5
$x_k$:
0.4058451513773971669066064120769614633473820140993701263870432517946638132261256553283126897277465878
7
5
$w_k$:
0.3818300505051189449503697754889751338783650835338627347510834510307055464341297083486846593440448015
7
6
$x_k$:
0.7415311855993944398638647732807884070741476471413902601199553519674298746721805137928268323668632471
7
6
$w_k$:
0.2797053914892766679014677714237795824869250652265987645370140326936188104305626768132409429011976188
7
7
$x_k$:
0.9491079123427585245261896840478512624007709376706177835487691039130633303548401408057307700279257241
7
7
$w_k$:
0.1294849661688696932706114326790820183285874022599466639772086387246552349720423087156254181629208451
8
1
$x_k$:
-0.9602898564975362316835608685694729904282352343014520382716397773724248977434192844394389592633122683
8
1
$w_k$:
0.1012285362903762591525313543099621901153940910516849570590036980647401787634707848602827393040450066
8
2
$x_k$:
-0.7966664774136267395915539364758304368371717316159648320701702950392173056764730921471519272957259390
8
2
$w_k$:
0.2223810344533744705443559944262408844301308700512495647259092892936168145704490408536531423771979278
8
3
$x_k$:
-0.5255324099163289858177390491892463490419642431203928577508570992724548207685612725239614001936319821
8
3
$w_k$:
0.3137066458778872873379622019866013132603289990027349376902639450749562719421734969616980762339285560
8
4
$x_k$:
-0.1834346424956498049394761423601839806667578129129737823171884736992044742215421141160682237111233537
8
4
$w_k$:
0.3626837833783619829651504492771956121941460398943305405248230675666867347239066773243660420848285096
8
5
$x_k$:
0.1834346424956498049394761423601839806667578129129737823171884736992044742215421141160682237111233537
8
5
$w_k$:
0.3626837833783619829651504492771956121941460398943305405248230675666867347239066773243660420848285096
8
6
$x_k$:
0.5255324099163289858177390491892463490419642431203928577508570992724548207685612725239614001936319821
8
6
$w_k$:
0.3137066458778872873379622019866013132603289990027349376902639450749562719421734969616980762339285560
8
7
$x_k$:
0.7966664774136267395915539364758304368371717316159648320701702950392173056764730921471519272957259390
8
7
$w_k$:
0.2223810344533744705443559944262408844301308700512495647259092892936168145704490408536531423771979278
8
8
$x_k$:
0.9602898564975362316835608685694729904282352343014520382716397773724248977434192844394389592633122683
8
8
$w_k$:
0.1012285362903762591525313543099621901153940910516849570590036980647401787634707848602827393040450066
9
1
$x_k$:
-0.9681602395076260898355762029036728700494048004919253295500233118490803743966007530618737492268941116
9
1
$w_k$:
0.08127438836157441197189215811052365067566172078241075071110767688068668630845206294557855470294257696
9
2
$x_k$:
-0.8360311073266357942994297880697348765441067181246759961043719796394550068815901188939461970258575403
9
2
$w_k$:
0.1806481606948574040584720312429128095143378217320404844983359064713572905449462697645949773031997041
9
3
$x_k$:
-0.6133714327005903973087020393414741847857206049405646928728129422812673464910011985832400139035685846
9
3
$w_k$:
0.2606106964029354623187428694186328497718402044372999519399970021196108156688912446476460930950174018
9
4
$x_k$:
-0.3242534234038089290385380146433366085719562607369730888270474768421865795351242491930986016984975672
9
4
$w_k$:
0.3123470770400028400686304065844436655987548612619046455540111655991438973240193165701219218880063539
9
5
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{5}=0$, the central node of every rule of odd order
9
5
$w_k$:
32768/99225
9
6
$x_k$:
0.3242534234038089290385380146433366085719562607369730888270474768421865795351242491930986016984975672
9
6
$w_k$:
0.3123470770400028400686304065844436655987548612619046455540111655991438973240193165701219218880063539
9
7
$x_k$:
0.6133714327005903973087020393414741847857206049405646928728129422812673464910011985832400139035685846
9
7
$w_k$:
0.2606106964029354623187428694186328497718402044372999519399970021196108156688912446476460930950174018
9
8
$x_k$:
0.8360311073266357942994297880697348765441067181246759961043719796394550068815901188939461970258575403
9
8
$w_k$:
0.1806481606948574040584720312429128095143378217320404844983359064713572905449462697645949773031997041
9
9
$x_k$:
0.9681602395076260898355762029036728700494048004919253295500233118490803743966007530618737492268941116
9
9
$w_k$:
0.08127438836157441197189215811052365067566172078241075071110767688068668630845206294557855470294257696
10
1
$x_k$:
-0.9739065285171717200779640120844520534282699466923821192312120666965952032346361596257235649562685563
10
1
$w_k$:
0.06667134430868813759356880989333179285786483432015814512869488161341206408408710177678550968505887782
10
2
$x_k$:
-0.8650633666889845107320966884234930485275430149653304525219597318453747551380555613567907289460457707
10
2
$w_k$:
0.1494513491505805931457763396576973324025566396694273678354772687532386547266300109459472646347319519
10
3
$x_k$:
-0.6794095682990244062343273651148735757692947118348094676648171889525585753950749246150785735704803795
10
3
$w_k$:
0.2190863625159820439955349342281631924587718705226770898809565436351999106529512812426839931772021928
10
4
$x_k$:
-0.4333953941292471907992659431657841622000718376562464965027015131437669890777035012251027579501177212
10
4
$w_k$:
0.2692667193099963550912269215694693528597599384608837958005632762421534323191792767642266367092527608
10
5
$x_k$:
-0.1488743389816312108848260011297199846175648594206916957079892535159036173556685213711776297994636912
10
5
$w_k$:
0.2955242247147528701738929946513383294210467170268536013543080297559959382171523292703565957937542167
10
6
$x_k$:
0.1488743389816312108848260011297199846175648594206916957079892535159036173556685213711776297994636912
10
6
$w_k$:
0.2955242247147528701738929946513383294210467170268536013543080297559959382171523292703565957937542167
10
7
$x_k$:
0.4333953941292471907992659431657841622000718376562464965027015131437669890777035012251027579501177212
10
7
$w_k$:
0.2692667193099963550912269215694693528597599384608837958005632762421534323191792767642266367092527608
10
8
$x_k$:
0.6794095682990244062343273651148735757692947118348094676648171889525585753950749246150785735704803795
10
8
$w_k$:
0.2190863625159820439955349342281631924587718705226770898809565436351999106529512812426839931772021928
10
9
$x_k$:
0.8650633666889845107320966884234930485275430149653304525219597318453747551380555613567907289460457707
10
9
$w_k$:
0.1494513491505805931457763396576973324025566396694273678354772687532386547266300109459472646347319519
10
10
$x_k$:
0.9739065285171717200779640120844520534282699466923821192312120666965952032346361596257235649562685563
10
10
$w_k$:
0.06667134430868813759356880989333179285786483432015814512869488161341206408408710177678550968505887782
11
1
$x_k$:
-0.9782286581460569928039380011228573907714224089197844154258010659836637993808899882003193981673447699
11
1
$w_k$:
0.05566856711617366648275372044254857872851562569689814834838428567415540728073754388369122207231884581
11
2
$x_k$:
-0.8870625997680952990751577693039272666316757512253143849674110555376113138573726674422905951265973742
11
2
$w_k$:
0.1255803694649046246346942992239401001976157913954035006639340108179145751324712776346876417140545304
11
3
$x_k$:
-0.7301520055740493240934162520311534580496430620261303119783783396870132450585192295954234109712837001
11
3
$w_k$:
0.1862902109277342514260976414316558916912847480402034117815064041738723480087855024693307585179795861
11
4
$x_k$:
-0.5190961292068118159257256694586095544802271151199284890209226114866959264510728928255987801045490553
11
4
$w_k$:
0.2331937645919904799185237048431751394317981723169585090273197221219322132188809959540399484382616844
11
5
$x_k$:
-0.2695431559523449723315319854008615246796218624390522816239256318800570662236947357038215922442673013
11
5
$w_k$:
0.2628045445102466621806888698905091953727646776031445563800553714855128033395452535524169970170267060
11
6
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{6}=0$, the central node of every rule of odd order
11
6
$w_k$:
131072/480249
11
7
$x_k$:
0.2695431559523449723315319854008615246796218624390522816239256318800570662236947357038215922442673013
11
7
$w_k$:
0.2628045445102466621806888698905091953727646776031445563800553714855128033395452535524169970170267060
11
8
$x_k$:
0.5190961292068118159257256694586095544802271151199284890209226114866959264510728928255987801045490553
11
8
$w_k$:
0.2331937645919904799185237048431751394317981723169585090273197221219322132188809959540399484382616844
11
9
$x_k$:
0.7301520055740493240934162520311534580496430620261303119783783396870132450585192295954234109712837001
11
9
$w_k$:
0.1862902109277342514260976414316558916912847480402034117815064041738723480087855024693307585179795861
11
10
$x_k$:
0.8870625997680952990751577693039272666316757512253143849674110555376113138573726674422905951265973742
11
10
$w_k$:
0.1255803694649046246346942992239401001976157913954035006639340108179145751324712776346876417140545304
11
11
$x_k$:
0.9782286581460569928039380011228573907714224089197844154258010659836637993808899882003193981673447699
11
11
$w_k$:
0.05566856711617366648275372044254857872851562569689814834838428567415540728073754388369122207231884581
12
1
$x_k$:
-0.9815606342467192506905490901492808229601551998137315104626821218077932443182539822252572678904522358
12
1
$w_k$:
0.04717533638651182719461596148501706031702907399484708956050534700380972115203871067082590707541453610
12
2
$x_k$:
-0.9041172563704748566784658661190961925375967092132975465540757606812347957292357904869694278237332678
12
2
$w_k$:
0.1069393259953184309602547181939962242145701734703248800051260421028189936274975765405373180963164574
12
3
$x_k$:
-0.7699026741943046870368938332128180759849257500189316376644190642491165431084712240164249992234219106
12
3
$w_k$:
0.1600783285433462263346525295433590718720117304908641779098995441579542251732911506816565526370577305
12
4
$x_k$:
-0.5873179542866174472967024189405342803690985140480524815102708796673406993758952624357107649887482019
12
4
$w_k$:
0.2031674267230659217490644558097983765065181472745901463985945657976456325104728437951443950646052324
12
5
$x_k$:
-0.3678314989981801937526915366437175612563601413354096213117998795040899295167878738787344285005465772
12
5
$w_k$:
0.2334925365383548087608498989248780562594099721997548747305234978214920000794116752806790265085636905
12
6
$x_k$:
-0.1252334085114689154724413694638531299833969163054442732129217547484620562413896887428682984694913596
12
6
$w_k$:
0.2491470458134027850005624360429512108304609025696188313953510031162794274572880430311568006180423531
12
7
$x_k$:
0.1252334085114689154724413694638531299833969163054442732129217547484620562413896887428682984694913596
12
7
$w_k$:
0.2491470458134027850005624360429512108304609025696188313953510031162794274572880430311568006180423531
12
8
$x_k$:
0.3678314989981801937526915366437175612563601413354096213117998795040899295167878738787344285005465772
12
8
$w_k$:
0.2334925365383548087608498989248780562594099721997548747305234978214920000794116752806790265085636905
12
9
$x_k$:
0.5873179542866174472967024189405342803690985140480524815102708796673406993758952624357107649887482019
12
9
$w_k$:
0.2031674267230659217490644558097983765065181472745901463985945657976456325104728437951443950646052324
12
10
$x_k$:
0.7699026741943046870368938332128180759849257500189316376644190642491165431084712240164249992234219106
12
10
$w_k$:
0.1600783285433462263346525295433590718720117304908641779098995441579542251732911506816565526370577305
12
11
$x_k$:
0.9041172563704748566784658661190961925375967092132975465540757606812347957292357904869694278237332678
12
11
$w_k$:
0.1069393259953184309602547181939962242145701734703248800051260421028189936274975765405373180963164574
12
12
$x_k$:
0.9815606342467192506905490901492808229601551998137315104626821218077932443182539822252572678904522358
12
12
$w_k$:
0.04717533638651182719461596148501706031702907399484708956050534700380972115203871067082590707541453610
13
1
$x_k$:
-0.9841830547185881494728294488071096110649905619258749086940073204285952378756268418605692872614185884
13
1
$w_k$:
0.04048400476531587952002159220098606004198654574498886813504660750499446051279271049442081243305316175
13
2
$x_k$:
-0.9175983992229779652065478365007195123904747901116832958952853456596592085896099142834853903405829245
13
2
$w_k$:
0.09212149983772844791442177595379712092368399986223683908839154733959372972763292629189781575573197287
13
3
$x_k$:
-0.8015780907333099127942064895828598903056157247905000298973847138592221162266401220300298741853170603
13
3
$w_k$:
0.1388735102197872384636017768688714676218627182632982276463550165057725215348895357251815428546056259
13
4
$x_k$:
-0.6423493394403402206439846069955156500716973982615768573891424079186435531449935749143883001141915551
13
4
$w_k$:
0.1781459807619457382800466919960979955128126506610165029867944402891450694987487234947169512223127015
13
5
$x_k$:
-0.4484927510364468528779128521276398678019216674417578789582829474582440920662171436450382085547330101
13
5
$w_k$:
0.2078160475368885023125232193060527633865826091995035492191111199165385435650844322605955280466119266
13
6
$x_k$:
-0.2304583159551347940655281210979888352115423758835311634692614978371620836885819508128029447646801293
13
6
$w_k$:
0.2262831802628972384120901860397766184347577376155570198649685487715756631204999710418263186663139297
13
7
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{7}=0$, the central node of every rule of odd order
13
7
$w_k$:
2097152/9018009
13
8
$x_k$:
0.2304583159551347940655281210979888352115423758835311634692614978371620836885819508128029447646801293
13
8
$w_k$:
0.2262831802628972384120901860397766184347577376155570198649685487715756631204999710418263186663139297
13
9
$x_k$:
0.4484927510364468528779128521276398678019216674417578789582829474582440920662171436450382085547330101
13
9
$w_k$:
0.2078160475368885023125232193060527633865826091995035492191111199165385435650844322605955280466119266
13
10
$x_k$:
0.6423493394403402206439846069955156500716973982615768573891424079186435531449935749143883001141915551
13
10
$w_k$:
0.1781459807619457382800466919960979955128126506610165029867944402891450694987487234947169512223127015
13
11
$x_k$:
0.8015780907333099127942064895828598903056157247905000298973847138592221162266401220300298741853170603
13
11
$w_k$:
0.1388735102197872384636017768688714676218627182632982276463550165057725215348895357251815428546056259
13
12
$x_k$:
0.9175983992229779652065478365007195123904747901116832958952853456596592085896099142834853903405829245
13
12
$w_k$:
0.09212149983772844791442177595379712092368399986223683908839154733959372972763292629189781575573197287
13
13
$x_k$:
0.9841830547185881494728294488071096110649905619258749086940073204285952378756268418605692872614185884
13
13
$w_k$:
0.04048400476531587952002159220098606004198654574498886813504660750499446051279271049442081243305316175
14
1
$x_k$:
-0.9862838086968123388415972667040528016760914072392258816440708117777495541324916379106462396651517528
14
1
$w_k$:
0.03511946033175186303183287613819178061970560927712727658149989019641632283780827053767679699864646366
14
2
$x_k$:
-0.9284348836635735173363911393778742644770392104098376187179624474821310935443598531114139056836575176
14
2
$w_k$:
0.08015808715976020980563327706285430958369778539459476520139906548957147445728716986353619081913775597
14
3
$x_k$:
-0.8272013150697649931897947426503949610397011014750811815607090542414798308100288735704263901378895454
14
3
$w_k$:
0.1215185706879031846894148090724766259566693456900746722910753925431597438925264923188199062703750071
14
4
$x_k$:
-0.6872929048116854701480198030193341375384012127471706756192664886281848961831332569473730705052118384
14
4
$w_k$:
0.1572031671581935345696019386238421566056680373373233749693170438747681763696082985139580933624180763
14
5
$x_k$:
-0.5152486363581540919652907185511886623088852825693060369515047690927849518320556604520720203507728924
14
5
$w_k$:
0.1855383974779378137417165901251570362489226029373316590200349250690983502635254444255527311467122230
14
6
$x_k$:
-0.3191123689278897604356718241684754668342612035338439565966501872573334405127927831649337054213464132
14
6
$w_k$:
0.2051984637212956039659240656612180557103390613094194517168972902833671448252497203394318399918908957
14
7
$x_k$:
-0.1080549487073436620662446502198347476119516054742375570408210613080135290117300071301006881766893672
14
7
$w_k$:
0.2152638534631577901958764433162600352749975580541288002197763925436187873539946040010244414108195782
14
8
$x_k$:
0.1080549487073436620662446502198347476119516054742375570408210613080135290117300071301006881766893672
14
8
$w_k$:
0.2152638534631577901958764433162600352749975580541288002197763925436187873539946040010244414108195782
14
9
$x_k$:
0.3191123689278897604356718241684754668342612035338439565966501872573334405127927831649337054213464132
14
9
$w_k$:
0.2051984637212956039659240656612180557103390613094194517168972902833671448252497203394318399918908957
14
10
$x_k$:
0.5152486363581540919652907185511886623088852825693060369515047690927849518320556604520720203507728924
14
10
$w_k$:
0.1855383974779378137417165901251570362489226029373316590200349250690983502635254444255527311467122230
14
11
$x_k$:
0.6872929048116854701480198030193341375384012127471706756192664886281848961831332569473730705052118384
14
11
$w_k$:
0.1572031671581935345696019386238421566056680373373233749693170438747681763696082985139580933624180763
14
12
$x_k$:
0.8272013150697649931897947426503949610397011014750811815607090542414798308100288735704263901378895454
14
12
$w_k$:
0.1215185706879031846894148090724766259566693456900746722910753925431597438925264923188199062703750071
14
13
$x_k$:
0.9284348836635735173363911393778742644770392104098376187179624474821310935443598531114139056836575176
14
13
$w_k$:
0.08015808715976020980563327706285430958369778539459476520139906548957147445728716986353619081913775597
14
14
$x_k$:
0.9862838086968123388415972667040528016760914072392258816440708117777495541324916379106462396651517528
14
14
$w_k$:
0.03511946033175186303183287613819178061970560927712727658149989019641632283780827053767679699864646366
15
1
$x_k$:
-0.9879925180204854284895657185866125811469728171237614899999975155873884373690194247127220503683191450
15
1
$w_k$:
0.03075324199611726835462839357720441772174814483343407426422828550423718946711716803903877073239940400
15
2
$x_k$:
-0.9372733924007059043077589477102094712439962735153044579013630763502029737970455279505475861742680866
15
2
$w_k$:
0.07036604748810812470926741645066733846670803275433071982590729291438705551287423704484045206669393922
15
3
$x_k$:
-0.8482065834104272162006483207742168513662561747369926340957275587606750751741454851976077197508214809
15
3
$w_k$:
0.1071592204671719350118695466858693034155437157581019806870223891218779948523157997256858571376086240
15
4
$x_k$:
-0.7244177313601700474161860546139380096308992945841025635514234207041237816779252189961010976031343263
15
4
$w_k$:
0.1395706779261543144478047945110283225208502753155112432023911286310884445419078116807682573635713336
15
5
$x_k$:
-0.5709721726085388475372267372539106412383863962827496048532654170541953798697585794834146285698261448
15
5
$w_k$:
0.1662692058169939335532008604812088111309001800984129073218651905635535632122785177107051742924155362
15
6
$x_k$:
-0.3941513470775633698972073709810454683627527761586982550311653439516089577869614179754971141616597620
15
6
$w_k$:
0.1861610000155622110268005618664228245062260122779284028154957273100132555026991606189497688860993236
15
7
$x_k$:
-0.2011940939974345223006283033945962078128364544626376796159497246099482390030201876018362580675210591
15
7
$w_k$:
0.1984314853271115764561183264438393248186925599575419934847379279291247975334342681333149991648178232
15
8
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{8}=0$, the central node of every rule of odd order
15
8
$w_k$:
8388608/41409225
15
9
$x_k$:
0.2011940939974345223006283033945962078128364544626376796159497246099482390030201876018362580675210591
15
9
$w_k$:
0.1984314853271115764561183264438393248186925599575419934847379279291247975334342681333149991648178232
15
10
$x_k$:
0.3941513470775633698972073709810454683627527761586982550311653439516089577869614179754971141616597620
15
10
$w_k$:
0.1861610000155622110268005618664228245062260122779284028154957273100132555026991606189497688860993236
15
11
$x_k$:
0.5709721726085388475372267372539106412383863962827496048532654170541953798697585794834146285698261448
15
11
$w_k$:
0.1662692058169939335532008604812088111309001800984129073218651905635535632122785177107051742924155362
15
12
$x_k$:
0.7244177313601700474161860546139380096308992945841025635514234207041237816779252189961010976031343263
15
12
$w_k$:
0.1395706779261543144478047945110283225208502753155112432023911286310884445419078116807682573635713336
15
13
$x_k$:
0.8482065834104272162006483207742168513662561747369926340957275587606750751741454851976077197508214809
15
13
$w_k$:
0.1071592204671719350118695466858693034155437157581019806870223891218779948523157997256858571376086240
15
14
$x_k$:
0.9372733924007059043077589477102094712439962735153044579013630763502029737970455279505475861742680866
15
14
$w_k$:
0.07036604748810812470926741645066733846670803275433071982590729291438705551287423704484045206669393922
15
15
$x_k$:
0.9879925180204854284895657185866125811469728171237614899999975155873884373690194247127220503683191450
15
15
$w_k$:
0.03075324199611726835462839357720441772174814483343407426422828550423718946711716803903877073239940400
16
1
$x_k$:
-0.9894009349916499325961541734503326274262740716576451300512239047313241372158253969385364319067981810
16
1
$w_k$:
0.02715245941175409485178057245601810351226737556676079799061031907380411366421617324932577922903088090
16
2
$x_k$:
-0.9445750230732325760779884155346083450911392725910726009255536520666097889026823042195657287381583189
16
2
$w_k$:
0.06225352393864789286284383699437769427498650835290685790130351581953573888704381906121170953685173453
16
3
$x_k$:
-0.8656312023878317438804678977123931323873353848475267081035114255677603977124905582571324943647723542
16
3
$w_k$:
0.09515851168249278480992510760224622635526350318371265815682228722963175957768195944702495732080498649
16
4
$x_k$:
-0.7554044083550030338951011948474422683538136564575030097817571769222968610312716777206220569192494434
16
4
$w_k$:
0.1246289712555338720524762821920164201448868592222026799447505904294109639214653535979691900176556844
16
5
$x_k$:
-0.6178762444026437484466717640487910189918822177656577941037973555417333177548114244569110304279585031
16
5
$w_k$:
0.1495959888165767320815017305474785489704910682078364668054219621873604040204179824517786384030592581
16
6
$x_k$:
-0.4580167776572273863424194429835775735400316130355234909011547509477591742902936077354355279359880933
16
6
$w_k$:
0.1691565193950025381893120790303599622116394734160282817450829356808036642099305309321553225420782280
16
7
$x_k$:
-0.2816035507792589132304605014604961064860694907705998005488347339559251794991307704414402291520401593
16
7
$w_k$:
0.1826034150449235888667636679692199393835562236546492824184951443794304649501111749604004251169852753
16
8
$x_k$:
-0.09501250983763744018531933542495806313035305568906545669721981722512529824459213298475869297578335210
16
8
$w_k$:
0.1894506104550684962853967232082831051469089883959029750375132452000228907691330063001339778335339523
16
9
$x_k$:
0.09501250983763744018531933542495806313035305568906545669721981722512529824459213298475869297578335210
16
9
$w_k$:
0.1894506104550684962853967232082831051469089883959029750375132452000228907691330063001339778335339523
16
10
$x_k$:
0.2816035507792589132304605014604961064860694907705998005488347339559251794991307704414402291520401593
16
10
$w_k$:
0.1826034150449235888667636679692199393835562236546492824184951443794304649501111749604004251169852753
16
11
$x_k$:
0.4580167776572273863424194429835775735400316130355234909011547509477591742902936077354355279359880933
16
11
$w_k$:
0.1691565193950025381893120790303599622116394734160282817450829356808036642099305309321553225420782280
16
12
$x_k$:
0.6178762444026437484466717640487910189918822177656577941037973555417333177548114244569110304279585031
16
12
$w_k$:
0.1495959888165767320815017305474785489704910682078364668054219621873604040204179824517786384030592581
16
13
$x_k$:
0.7554044083550030338951011948474422683538136564575030097817571769222968610312716777206220569192494434
16
13
$w_k$:
0.1246289712555338720524762821920164201448868592222026799447505904294109639214653535979691900176556844
16
14
$x_k$:
0.8656312023878317438804678977123931323873353848475267081035114255677603977124905582571324943647723542
16
14
$w_k$:
0.09515851168249278480992510760224622635526350318371265815682228722963175957768195944702495732080498649
16
15
$x_k$:
0.9445750230732325760779884155346083450911392725910726009255536520666097889026823042195657287381583189
16
15
$w_k$:
0.06225352393864789286284383699437769427498650835290685790130351581953573888704381906121170953685173453
16
16
$x_k$:
0.9894009349916499325961541734503326274262740716576451300512239047313241372158253969385364319067981810
16
16
$w_k$:
0.02715245941175409485178057245601810351226737556676079799061031907380411366421617324932577922903088090
17
1
$x_k$:
-0.9905754753144173356754340199406652765077898504595643027839087867423438574706220337113584406497419784
17
1
$w_k$:
0.02414830286854793196011002628756532469169731594502527831118514883021839670551048635958524146754499085
17
2
$x_k$:
-0.9506755217687677612227169578958030214433850465591087076699692124121153662721985947500369027514683577
17
2
$w_k$:
0.05545952937398720112944016535824466051284625195322884699372407871025742600333463837327578874482190110
17
3
$x_k$:
-0.8802391537269859021229556944881556926234168179344279003519101593240271305044112115183071938685591896
17
3
$w_k$:
0.08503614831717918088353537019106207385049138921850547576641036073878399278748264774698760429357299996
17
4
$x_k$:
-0.7815140038968014069252300555204760502239724727405685125133145355125776161595130761733805008669616187
17
4
$w_k$:
0.1118838471934039710947883856263559267358434242630770500184864824490956796436098356152217045277663097
17
5
$x_k$:
-0.6576711592166907658503022166430023351478058914759732438052316955073242975746975817529911873055101298
17
5
$w_k$:
0.1351363684685254732863199817023501973721258532344890203779946106888672429899385440975094483135843229
17
6
$x_k$:
-0.5126905370864769678862465686295518745829237224111729059127314989642849249427854802819804123805176015
17
6
$w_k$:
0.1540457610768102880814315948019586119404830584710179343852647113514467418596764510916174493534509089
17
7
$x_k$:
-0.3512317634538763152971855170953460050405397515756750233191610195477942616467495728975831446035091049
17
7
$w_k$:
0.1680041021564500445099706637883231550211981289650740142699558513403231065000245865612038497389197718
17
8
$x_k$:
-0.1784841814958478558506774936540655574754193326915256435629518142706975504793005761702889222096350046
17
8
$w_k$:
0.1765627053669926463252709901131972391509244180007481180431444069132090362072826804523346906840866559
17
9
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{9}=0$, the central node of every rule of odd order
17
9
$w_k$:
2147483648/11967266025
17
10
$x_k$:
0.1784841814958478558506774936540655574754193326915256435629518142706975504793005761702889222096350046
17
10
$w_k$:
0.1765627053669926463252709901131972391509244180007481180431444069132090362072826804523346906840866559
17
11
$x_k$:
0.3512317634538763152971855170953460050405397515756750233191610195477942616467495728975831446035091049
17
11
$w_k$:
0.1680041021564500445099706637883231550211981289650740142699558513403231065000245865612038497389197718
17
12
$x_k$:
0.5126905370864769678862465686295518745829237224111729059127314989642849249427854802819804123805176015
17
12
$w_k$:
0.1540457610768102880814315948019586119404830584710179343852647113514467418596764510916174493534509089
17
13
$x_k$:
0.6576711592166907658503022166430023351478058914759732438052316955073242975746975817529911873055101298
17
13
$w_k$:
0.1351363684685254732863199817023501973721258532344890203779946106888672429899385440975094483135843229
17
14
$x_k$:
0.7815140038968014069252300555204760502239724727405685125133145355125776161595130761733805008669616187
17
14
$w_k$:
0.1118838471934039710947883856263559267358434242630770500184864824490956796436098356152217045277663097
17
15
$x_k$:
0.8802391537269859021229556944881556926234168179344279003519101593240271305044112115183071938685591896
17
15
$w_k$:
0.08503614831717918088353537019106207385049138921850547576641036073878399278748264774698760429357299996
17
16
$x_k$:
0.9506755217687677612227169578958030214433850465591087076699692124121153662721985947500369027514683577
17
16
$w_k$:
0.05545952937398720112944016535824466051284625195322884699372407871025742600333463837327578874482190110
17
17
$x_k$:
0.9905754753144173356754340199406652765077898504595643027839087867423438574706220337113584406497419784
17
17
$w_k$:
0.02414830286854793196011002628756532469169731594502527831118514883021839670551048635958524146754499085
18
1
$x_k$:
-0.9915651684209309467300160047061507702525789368454396929196756302398570935917796097517634696126012272
18
1
$w_k$:
0.02161601352648331031334271026645246938768523147558994546207599014135309023734512190325130306987119670
18
2
$x_k$:
-0.9558239495713977551811958929297763099728441348113064788453876296908980712047732239578823929596339243
18
2
$w_k$:
0.04971454889496979645333494620263864168086624612891020224630430786557234329580341629504137094937553639
18
3
$x_k$:
-0.8926024664975557392060605911271455154078952713522982141874663149072405824367849358306675870806031564
18
3
$w_k$:
0.07642573025488905652912967761663652560531790620835828744952137923441000729179297934176510267839615564
18
4
$x_k$:
-0.8037049589725231156824174550145907971032989216119224817504280641953881054289442872282869654424117596
18
4
$w_k$:
0.1009420441062871655628139849248346070628011388876789016103745366556507973804985233524506387113404511
18
5
$x_k$:
-0.6916870430603532078748910812888483894522705728175077589021626568371973689036292511338108081451326303
18
5
$w_k$:
0.1225552067114784601845191268002015552281638973334390971672535136540574395994036818381972199250410149
18
6
$x_k$:
-0.5597708310739475346078715485253291369276264857707094166399869440621845282065205196590820483600443686
18
6
$w_k$:
0.1406429146706506512047313037519472280955024103309725598834561952604655869277498970306627690269133216
18
7
$x_k$:
-0.4117511614628426460359317938330516370789896821200255112811488677903896731004254097743468503936510289
18
7
$w_k$:
0.1546846751262652449254180038363747721932183962673541726666419147277828692306437303123469238522236811
18
8
$x_k$:
-0.2518862256915055095889728548779112301628617656596404580202710317367844935557242218070775421093862472
18
8
$w_k$:
0.1642764837458327229860537764659275904123389539973529532444969709116484218452080077553637577470604890
18
9
$x_k$:
-0.08477501304173530124226185293578381173331738690608992004336451762549979065328000163780455072743961244
18
9
$w_k$:
0.1691423829631435918406564701349866103341058193703438802698751915490594441915546421709209140397781536
18
10
$x_k$:
0.08477501304173530124226185293578381173331738690608992004336451762549979065328000163780455072743961244
18
10
$w_k$:
0.1691423829631435918406564701349866103341058193703438802698751915490594441915546421709209140397781536
18
11
$x_k$:
0.2518862256915055095889728548779112301628617656596404580202710317367844935557242218070775421093862472
18
11
$w_k$:
0.1642764837458327229860537764659275904123389539973529532444969709116484218452080077553637577470604890
18
12
$x_k$:
0.4117511614628426460359317938330516370789896821200255112811488677903896731004254097743468503936510289
18
12
$w_k$:
0.1546846751262652449254180038363747721932183962673541726666419147277828692306437303123469238522236811
18
13
$x_k$:
0.5597708310739475346078715485253291369276264857707094166399869440621845282065205196590820483600443686
18
13
$w_k$:
0.1406429146706506512047313037519472280955024103309725598834561952604655869277498970306627690269133216
18
14
$x_k$:
0.6916870430603532078748910812888483894522705728175077589021626568371973689036292511338108081451326303
18
14
$w_k$:
0.1225552067114784601845191268002015552281638973334390971672535136540574395994036818381972199250410149
18
15
$x_k$:
0.8037049589725231156824174550145907971032989216119224817504280641953881054289442872282869654424117596
18
15
$w_k$:
0.1009420441062871655628139849248346070628011388876789016103745366556507973804985233524506387113404511
18
16
$x_k$:
0.8926024664975557392060605911271455154078952713522982141874663149072405824367849358306675870806031564
18
16
$w_k$:
0.07642573025488905652912967761663652560531790620835828744952137923441000729179297934176510267839615564
18
17
$x_k$:
0.9558239495713977551811958929297763099728441348113064788453876296908980712047732239578823929596339243
18
17
$w_k$:
0.04971454889496979645333494620263864168086624612891020224630430786557234329580341629504137094937553639
18
18
$x_k$:
0.9915651684209309467300160047061507702525789368454396929196756302398570935917796097517634696126012272
18
18
$w_k$:
0.02161601352648331031334271026645246938768523147558994546207599014135309023734512190325130306987119670
19
1
$x_k$:
-0.9924068438435844031890176702532604935893164014032107866796794390912319029585228838036749208734188013
19
1
$w_k$:
0.01946178822972647703631204146443843575290660906928664079268047246160143756810554821085208804526749170
19
2
$x_k$:
-0.9602081521348300308527788406876515266150915032741381059178163344322007499374885132207435614915413177
19
2
$w_k$:
0.04481422676569960033283815740199421195175422746785760208585452676764299138427945764466903571025599342
19
3
$x_k$:
-0.9031559036148179016426609285323124878093939340573558176950324247616358045901042189575202283692970456
19
3
$w_k$:
0.06904454273764122658070825800601304496184803168761313112290042769603497490643902151766309546333497264
19
4
$x_k$:
-0.8227146565371428249789224867127139017745384862068300413698638886055003429036858320268662231092605996
19
4
$w_k$:
0.09149002162244999946446209412383965266091165129659878466498934490206222104379726160574771504188895627
19
5
$x_k$:
-0.7209661773352293786170958608237816296571418329086667749385904713866145591479860528434333826713265746
19
5
$w_k$:
0.1115666455473339947160239016817659974813318538398937755214611428764589761056464706010042849525923054
19
6
$x_k$:
-0.6005453046616810234696381649462392798683220827322925675865867256683849086968708404247557953314540014
19
6
$w_k$:
0.1287539625393362276755157848568771170558395770934630345471043846223036040566316799314330023341520732
19
7
$x_k$:
-0.4645707413759609457172671481041023679762857146241365969843088775756841211134254066864495457207319449
19
7
$w_k$:
0.1426067021736066117757461094419029724756683448244738609265716559064582484729032510149400718372501369
19
8
$x_k$:
-0.3165640999636298319901173288498449178922852191328872451557289867978928858205763979968388920864803511
19
8
$w_k$:
0.1527660420658596667788554008976629984610082672364286235231015530748110436510632136548098470307870684
19
9
$x_k$:
-0.1603586456402253758680961157407435495048735004708753788746434516063206086803910736567395734994809129
19
9
$w_k$:
0.1589688433939543476499564394650472016787801581951260957511749153247409785833850597426104767260064786
19
10
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{10}=0$, the central node of every rule of odd order
19
10
$w_k$:
8589934592/53335593025
19
11
$x_k$:
0.1603586456402253758680961157407435495048735004708753788746434516063206086803910736567395734994809129
19
11
$w_k$:
0.1589688433939543476499564394650472016787801581951260957511749153247409785833850597426104767260064786
19
12
$x_k$:
0.3165640999636298319901173288498449178922852191328872451557289867978928858205763979968388920864803511
19
12
$w_k$:
0.1527660420658596667788554008976629984610082672364286235231015530748110436510632136548098470307870684
19
13
$x_k$:
0.4645707413759609457172671481041023679762857146241365969843088775756841211134254066864495457207319449
19
13
$w_k$:
0.1426067021736066117757461094419029724756683448244738609265716559064582484729032510149400718372501369
19
14
$x_k$:
0.6005453046616810234696381649462392798683220827322925675865867256683849086968708404247557953314540014
19
14
$w_k$:
0.1287539625393362276755157848568771170558395770934630345471043846223036040566316799314330023341520732
19
15
$x_k$:
0.7209661773352293786170958608237816296571418329086667749385904713866145591479860528434333826713265746
19
15
$w_k$:
0.1115666455473339947160239016817659974813318538398937755214611428764589761056464706010042849525923054
19
16
$x_k$:
0.8227146565371428249789224867127139017745384862068300413698638886055003429036858320268662231092605996
19
16
$w_k$:
0.09149002162244999946446209412383965266091165129659878466498934490206222104379726160574771504188895627
19
17
$x_k$:
0.9031559036148179016426609285323124878093939340573558176950324247616358045901042189575202283692970456
19
17
$w_k$:
0.06904454273764122658070825800601304496184803168761313112290042769603497490643902151766309546333497264
19
18
$x_k$:
0.9602081521348300308527788406876515266150915032741381059178163344322007499374885132207435614915413177
19
18
$w_k$:
0.04481422676569960033283815740199421195175422746785760208585452676764299138427945764466903571025599342
19
19
$x_k$:
0.9924068438435844031890176702532604935893164014032107866796794390912319029585228838036749208734188013
19
19
$w_k$:
0.01946178822972647703631204146443843575290660906928664079268047246160143756810554821085208804526749170
20
1
$x_k$:
-0.9931285991850949247861223884713202782226471309016558961481841312179847176277537808394494024965722093
20
1
$w_k$:
0.01761400713915211831186196235185281636214310554333673252434932667734841925962184781740310554214609767
20
2
$x_k$:
-0.9639719272779137912676661311972772219120603278061888560635375938920415807843830569800181252559647156
20
2
$w_k$:
0.04060142980038694133103995227493210987909063998995153681760685456183229675098732829553892062304438498
20
3
$x_k$:
-0.9122344282513259058677524412032981130491847974236917747958822191580708912087190789364447261929213874
20
3
$w_k$:
0.06267204833410906356950653518704160635160107657843636409958434543797481103366567864456376605683220351
20
4
$x_k$:
-0.8391169718222188233945290617015206853296293650656373732524927255328610939993248099192293405659576492
20
4
$w_k$:
0.08327674157670474872475814322204620610017782858316329074488206078569308289407941947137519084379083935
20
5
$x_k$:
-0.7463319064601507926143050703556415903107306795691764441395459060685353550381550646811041136206475206
20
5
$w_k$:
0.1019301198172404350367501354803498761666916560233925562619716161968523220253943464753493157694798582
20
6
$x_k$:
-0.6360536807265150254528366962262859367433891167993684639394466225465412625854301325587031954957613066
20
6
$w_k$:
0.1181945319615184173123773777113822870050412195489687754468899520201747483505115163057286878258190174
20
7
$x_k$:
-0.5108670019508270980043640509552509984254913292024268334723486198947349703907657281440316830508677792
20
7
$w_k$:
0.1316886384491766268984944997481631349161105111469835269964364937088543564294809331435579751839726292
20
8
$x_k$:
-0.3737060887154195606725481770249272373957463217056827118279486135156457643730595278958956836345333789
20
8
$w_k$:
0.1420961093183820513292983250671649330345154133920203033373670829838280874979343676169492242832005826
20
9
$x_k$:
-0.2277858511416450780804961953685746247430889376829274723146357392071713418635558277949521251909687080
20
9
$w_k$:
0.1491729864726037467878287370019694366926799040813683164962112178098444225955867806939613260352104811
20
10
$x_k$:
-0.07652652113349733375464040939883821100479626681349750080479524438425634204833697824154511418155621561
20
10
$w_k$:
0.1527533871307258506980843319550975934919486451123785972747010498175974531627377815355724878365039059
20
11
$x_k$:
0.07652652113349733375464040939883821100479626681349750080479524438425634204833697824154511418155621561
20
11
$w_k$:
0.1527533871307258506980843319550975934919486451123785972747010498175974531627377815355724878365039059
20
12
$x_k$:
0.2277858511416450780804961953685746247430889376829274723146357392071713418635558277949521251909687080
20
12
$w_k$:
0.1491729864726037467878287370019694366926799040813683164962112178098444225955867806939613260352104811
20
13
$x_k$:
0.3737060887154195606725481770249272373957463217056827118279486135156457643730595278958956836345333789
20
13
$w_k$:
0.1420961093183820513292983250671649330345154133920203033373670829838280874979343676169492242832005826
20
14
$x_k$:
0.5108670019508270980043640509552509984254913292024268334723486198947349703907657281440316830508677792
20
14
$w_k$:
0.1316886384491766268984944997481631349161105111469835269964364937088543564294809331435579751839726292
20
15
$x_k$:
0.6360536807265150254528366962262859367433891167993684639394466225465412625854301325587031954957613066
20
15
$w_k$:
0.1181945319615184173123773777113822870050412195489687754468899520201747483505115163057286878258190174
20
16
$x_k$:
0.7463319064601507926143050703556415903107306795691764441395459060685353550381550646811041136206475206
20
16
$w_k$:
0.1019301198172404350367501354803498761666916560233925562619716161968523220253943464753493157694798582
20
17
$x_k$:
0.8391169718222188233945290617015206853296293650656373732524927255328610939993248099192293405659576492
20
17
$w_k$:
0.08327674157670474872475814322204620610017782858316329074488206078569308289407941947137519084379083935
20
18
$x_k$:
0.9122344282513259058677524412032981130491847974236917747958822191580708912087190789364447261929213874
20
18
$w_k$:
0.06267204833410906356950653518704160635160107657843636409958434543797481103366567864456376605683220351
20
19
$x_k$:
0.9639719272779137912676661311972772219120603278061888560635375938920415807843830569800181252559647156
20
19
$w_k$:
0.04060142980038694133103995227493210987909063998995153681760685456183229675098732829553892062304438498
20
20
$x_k$:
0.9931285991850949247861223884713202782226471309016558961481841312179847176277537808394494024965722093
20
20
$w_k$:
0.01761400713915211831186196235185281636214310554333673252434932667734841925962184781740310554214609767
21
1
$x_k$:
-0.9937521706203895002602420359379409291933384547823291855808738547130961090229928069981287471352390777
21
1
$w_k$:
0.01601722825777433332422461685847101526589042211790248254817791011355876736131886231490670609514567548
21
2
$x_k$:
-0.9672268385663062943166222149076951614246936873298468499529711280851209600050802879718374018639240528
21
2
$w_k$:
0.03695378977085249379995066829932966618894430814872983742716918187878575115756740845852344287696032986
21
3
$x_k$:
-0.9200993341504008287901871337149688941591476096482216971761354870909815630694078289917319513720682694
21
3
$w_k$:
0.05713442542685720828363582647244795749128759682625604144250732342704905539965200808828644856702164648
21
4
$x_k$:
-0.8533633645833172836472506385875676702761058031793439707429916293942429062838351469722896371916961145
21
4
$w_k$:
0.07610011362837930201705165330018317922615435242396602852146848581645351658660074999313661881264753227
21
5
$x_k$:
-0.7684399634756779086158778513062280348209767057713695508687266650300187425397011795870716590938643871
21
5
$w_k$:
0.09344442345603386155328974111393208848352664736159284486669527163257789777371238735186858856679075672
21
6
$x_k$:
-0.6671388041974123193059666699903391625970293433114028424754670823471941931156962952995104885627912600
21
6
$w_k$:
0.1087972991671483776634745780701056420336995957938563305527820871689736437662693883811767624307919714
21
7
$x_k$:
-0.5516188358872198070590187967243132866220602242306796650043058394996047817116840370569809878990309592
21
7
$w_k$:
0.1218314160537285341953671771257335983563376255615374502429838078427589012293509639419484540051080544
21
8
$x_k$:
-0.4243421202074387835736688885437880520964452318396345842242582358964868836788015569998720929138276376
21
8
$w_k$:
0.1322689386333374617810525744967756043290115401431568232183503231517825985652303990236905956152887823
21
9
$x_k$:
-0.2880213168024010966007925160646003199090182636460332287542815247492449429418427678533390283602168266
21
9
$w_k$:
0.1398873947910731547221334238675831108927931609549196043737313263242432624652061566163216216021600999
21
10
$x_k$:
-0.1455618541608950909370309823386863301163260244379377574214883899855472808833197976905159784382084530
21
10
$w_k$:
0.1445244039899700590638271665537525436099499621970998347524729888860973093433918698652696658648520233
21
11
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{11}=0$, the central node of every rule of odd order
21
11
$w_k$:
137438953472/940839860961
21
12
$x_k$:
0.1455618541608950909370309823386863301163260244379377574214883899855472808833197976905159784382084530
21
12
$w_k$:
0.1445244039899700590638271665537525436099499621970998347524729888860973093433918698652696658648520233
21
13
$x_k$:
0.2880213168024010966007925160646003199090182636460332287542815247492449429418427678533390283602168266
21
13
$w_k$:
0.1398873947910731547221334238675831108927931609549196043737313263242432624652061566163216216021600999
21
14
$x_k$:
0.4243421202074387835736688885437880520964452318396345842242582358964868836788015569998720929138276376
21
14
$w_k$:
0.1322689386333374617810525744967756043290115401431568232183503231517825985652303990236905956152887823
21
15
$x_k$:
0.5516188358872198070590187967243132866220602242306796650043058394996047817116840370569809878990309592
21
15
$w_k$:
0.1218314160537285341953671771257335983563376255615374502429838078427589012293509639419484540051080544
21
16
$x_k$:
0.6671388041974123193059666699903391625970293433114028424754670823471941931156962952995104885627912600
21
16
$w_k$:
0.1087972991671483776634745780701056420336995957938563305527820871689736437662693883811767624307919714
21
17
$x_k$:
0.7684399634756779086158778513062280348209767057713695508687266650300187425397011795870716590938643871
21
17
$w_k$:
0.09344442345603386155328974111393208848352664736159284486669527163257789777371238735186858856679075672
21
18
$x_k$:
0.8533633645833172836472506385875676702761058031793439707429916293942429062838351469722896371916961145
21
18
$w_k$:
0.07610011362837930201705165330018317922615435242396602852146848581645351658660074999313661881264753227
21
19
$x_k$:
0.9200993341504008287901871337149688941591476096482216971761354870909815630694078289917319513720682694
21
19
$w_k$:
0.05713442542685720828363582647244795749128759682625604144250732342704905539965200808828644856702164648
21
20
$x_k$:
0.9672268385663062943166222149076951614246936873298468499529711280851209600050802879718374018639240528
21
20
$w_k$:
0.03695378977085249379995066829932966618894430814872983742716918187878575115756740845852344287696032986
21
21
$x_k$:
0.9937521706203895002602420359379409291933384547823291855808738547130961090229928069981287471352390777
21
21
$w_k$:
0.01601722825777433332422461685847101526589042211790248254817791011355876736131886231490670609514567548
22
1
$x_k$:
-0.9942945854823992920730314211612989803930541983960315349770229249666564977040799118207719257762716043
22
1
$w_k$:
0.01462799529827220068499109804718544519021194912432373092449759142018810653274817114228377410751832917
22
2
$x_k$:
-0.9700604978354287271239509867652687108059689231378029695597382123363742607748425086375413546270342854
22
2
$w_k$:
0.03377490158481415479330224686591290134916931447447466043288319455995151175306148839891494882232718204
22
3
$x_k$:
-0.9269567721871740005206929392590531966353296533720519820445731915271361191115411255036937528474533582
22
3
$w_k$:
0.05229333515268328594031205127321125611215009356923631612271008329767634235993282478196819004979423799
22
4
$x_k$:
-0.8658125777203001365364256370193787290847967555884461561270933692627168949415204348084801562838572452
22
4
$w_k$:
0.06979646842452048809496141893021765739877505295508052738631137176394640348728589403939284079344874846
22
5
$x_k$:
-0.7878168059792081620042779554083515213881786713315631581216933977111322762527080749000515189593333853
22
5
$w_k$:
0.08594160621706772741444368137270286618914440534907978328657001104824602477312615743202224981471952794
22
6
$x_k$:
-0.6944872631866827800506898357622567712673422899774351611217337753922859397742930548395941147986103531
22
6
$w_k$:
0.1004141444428809649320788378305362823508110887676996257849609143404530960742237727428606391633595574
22
7
$x_k$:
-0.5876404035069115929588769276386473488776156035737178397700338213724683778280443603591601052112766026
22
7
$w_k$:
0.1129322960805392183934006074217843191142633321209947042725975462486131309236108336596048814249688673
22
8
$x_k$:
-0.4693558379867570264063307109664063460953437911307365477961000296935770146856366138743971488225101492
22
8
$w_k$:
0.1232523768105124242855609861548144719594449990049679724284219718851355027991754540317802460344263428
22
9
$x_k$:
-0.3419358208920842251581474204273796195591732991706873439968623836890134389071469626565583973670432969
22
9
$w_k$:
0.1311735047870623707329649925303074458757418941880306531253797034245446103135289740914341000330802590
22
10
$x_k$:
-0.2078604266882212854788465339195457342156751090979336496686533043682008413147176642165988241256992140
22
10
$w_k$:
0.1365414983460151713525738312315173965863676529886861681094697349382075581645378333809906329322980338
22
11
$x_k$:
-0.06973927331972222121384179611862808182229629948023147470668194651160937363263944607651839437043385445
22
11
$w_k$:
0.1392518728556319933754102483418099578739202174574258581261978770730377128187685962987474968240589141
22
12
$x_k$:
0.06973927331972222121384179611862808182229629948023147470668194651160937363263944607651839437043385445
22
12
$w_k$:
0.1392518728556319933754102483418099578739202174574258581261978770730377128187685962987474968240589141
22
13
$x_k$:
0.2078604266882212854788465339195457342156751090979336496686533043682008413147176642165988241256992140
22
13
$w_k$:
0.1365414983460151713525738312315173965863676529886861681094697349382075581645378333809906329322980338
22
14
$x_k$:
0.3419358208920842251581474204273796195591732991706873439968623836890134389071469626565583973670432969
22
14
$w_k$:
0.1311735047870623707329649925303074458757418941880306531253797034245446103135289740914341000330802590
22
15
$x_k$:
0.4693558379867570264063307109664063460953437911307365477961000296935770146856366138743971488225101492
22
15
$w_k$:
0.1232523768105124242855609861548144719594449990049679724284219718851355027991754540317802460344263428
22
16
$x_k$:
0.5876404035069115929588769276386473488776156035737178397700338213724683778280443603591601052112766026
22
16
$w_k$:
0.1129322960805392183934006074217843191142633321209947042725975462486131309236108336596048814249688673
22
17
$x_k$:
0.6944872631866827800506898357622567712673422899774351611217337753922859397742930548395941147986103531
22
17
$w_k$:
0.1004141444428809649320788378305362823508110887676996257849609143404530960742237727428606391633595574
22
18
$x_k$:
0.7878168059792081620042779554083515213881786713315631581216933977111322762527080749000515189593333853
22
18
$w_k$:
0.08594160621706772741444368137270286618914440534907978328657001104824602477312615743202224981471952794
22
19
$x_k$:
0.8658125777203001365364256370193787290847967555884461561270933692627168949415204348084801562838572452
22
19
$w_k$:
0.06979646842452048809496141893021765739877505295508052738631137176394640348728589403939284079344874846
22
20
$x_k$:
0.9269567721871740005206929392590531966353296533720519820445731915271361191115411255036937528474533582
22
20
$w_k$:
0.05229333515268328594031205127321125611215009356923631612271008329767634235993282478196819004979423799
22
21
$x_k$:
0.9700604978354287271239509867652687108059689231378029695597382123363742607748425086375413546270342854
22
21
$w_k$:
0.03377490158481415479330224686591290134916931447447466043288319455995151175306148839891494882232718204
22
22
$x_k$:
0.9942945854823992920730314211612989803930541983960315349770229249666564977040799118207719257762716043
22
22
$w_k$:
0.01462799529827220068499109804718544519021194912432373092449759142018810653274817114228377410751832917
23
1
$x_k$:
-0.9947693349975521235239257154455743605736273724588704209267938841670740797657852701839891442163801340
23
1
$w_k$:
0.01341185948714177208130949345861506497661833410573723339239588213916088673605205984929903545852406461
23
2
$x_k$:
-0.9725424712181152319560240768207773751816137953539739424912561587357970371745764178674174657439295147
23
2
$w_k$:
0.03098800585697944431069421964188450538377252899992806643488780659861778426286759200224971665997089670
23
3
$x_k$:
-0.9329710868260161023491969890384229782357018201513907706929012546019778288000870799130100718262955054
23
3
$w_k$:
0.04803767173108466857164107163203399656121630830351161133368366686985808687481862915533094177988346391
23
4
$x_k$:
-0.8767523582704416673781568859341456716389290299606506349094011157605516387095159431985654951216970833
23
4
$w_k$:
0.06423242140852585212716961515891099803915827575480683049534668205291755358078128340639217414521331726
23
5
$x_k$:
-0.8048884016188398921511184069967785579414301397303080225854324356717067601690493592150900033819241658
23
5
$w_k$:
0.07928141177671895492289252474204322691371199193840650255563454033204300401375888253595357328841564006
23
6
$x_k$:
-0.7186613631319501944616244837486188483299297451312927957547812882140511286759257475102872559219475199
23
6
$w_k$:
0.09291576606003514747701861736976464860346007174312989373265950461193728493558816079947564120894725558
23
7
$x_k$:
-0.6196098757636461563850973116495956533871806588070922957008655856091198064964468365404445057649417705
23
7
$w_k$:
0.1048920914645414100740861850147438548584715831939750055028251923387793763420508898998564379642456213
23
8
$x_k$:
-0.5095014778460075496897930478668464305448427691848576232271893808212750051047665315067519877280217436
23
8
$w_k$:
0.1149966402224113649416435129339613014914105229295856066090757034027995944837454072381306712749505618
23
9
$x_k$:
-0.3903010380302908314214888728806054585780508506925034812192052633167126161870324291786475263704874062
23
9
$w_k$:
0.1230490843067295304675784006720096548158528125464705744356703329016904677077852055101060271179021309
23
10
$x_k$:
-0.2641356809703449305338695382833096029790132501941396048690788770523288535826720245781585287109337736
23
10
$w_k$:
0.1289057221880821499785953393997936532597154971917834924443404317179894647560110357500460598919177369
23
11
$x_k$:
-0.1332568242984661109317426822417661370104052762533821565109453771870478898756544775745632635963514012
23
11
$w_k$:
0.1324620394046966173716424647033169258050356694742235243225122680384860058826794056735801177079407781
23
12
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{12}=0$, the central node of every rule of odd order
23
12
$w_k$:
549755813888/4113258565689
23
13
$x_k$:
0.1332568242984661109317426822417661370104052762533821565109453771870478898756544775745632635963514012
23
13
$w_k$:
0.1324620394046966173716424647033169258050356694742235243225122680384860058826794056735801177079407781
23
14
$x_k$:
0.2641356809703449305338695382833096029790132501941396048690788770523288535826720245781585287109337736
23
14
$w_k$:
0.1289057221880821499785953393997936532597154971917834924443404317179894647560110357500460598919177369
23
15
$x_k$:
0.3903010380302908314214888728806054585780508506925034812192052633167126161870324291786475263704874062
23
15
$w_k$:
0.1230490843067295304675784006720096548158528125464705744356703329016904677077852055101060271179021309
23
16
$x_k$:
0.5095014778460075496897930478668464305448427691848576232271893808212750051047665315067519877280217436
23
16
$w_k$:
0.1149966402224113649416435129339613014914105229295856066090757034027995944837454072381306712749505618
23
17
$x_k$:
0.6196098757636461563850973116495956533871806588070922957008655856091198064964468365404445057649417705
23
17
$w_k$:
0.1048920914645414100740861850147438548584715831939750055028251923387793763420508898998564379642456213
23
18
$x_k$:
0.7186613631319501944616244837486188483299297451312927957547812882140511286759257475102872559219475199
23
18
$w_k$:
0.09291576606003514747701861736976464860346007174312989373265950461193728493558816079947564120894725558
23
19
$x_k$:
0.8048884016188398921511184069967785579414301397303080225854324356717067601690493592150900033819241658
23
19
$w_k$:
0.07928141177671895492289252474204322691371199193840650255563454033204300401375888253595357328841564006
23
20
$x_k$:
0.8767523582704416673781568859341456716389290299606506349094011157605516387095159431985654951216970833
23
20
$w_k$:
0.06423242140852585212716961515891099803915827575480683049534668205291755358078128340639217414521331726
23
21
$x_k$:
0.9329710868260161023491969890384229782357018201513907706929012546019778288000870799130100718262955054
23
21
$w_k$:
0.04803767173108466857164107163203399656121630830351161133368366686985808687481862915533094177988346391
23
22
$x_k$:
0.9725424712181152319560240768207773751816137953539739424912561587357970371745764178674174657439295147
23
22
$w_k$:
0.03098800585697944431069421964188450538377252899992806643488780659861778426286759200224971665997089670
23
23
$x_k$:
0.9947693349975521235239257154455743605736273724588704209267938841670740797657852701839891442163801340
23
23
$w_k$:
0.01341185948714177208130949345861506497661833410573723339239588213916088673605205984929903545852406461
24
1
$x_k$:
-0.9951872199970213601799974097007368118745976925960028774416005451142838320694577378833972893371157089
24
1
$w_k$:
0.01234122979998719954680566707003729157591004089136651681728732094109172551788111379179871867192042451
24
2
$x_k$:
-0.9747285559713094981983919930081690617411830530401787198115935651071811212809802245386374742817154550
24
2
$w_k$:
0.02853138862893366318130781595187828644919779793190811660166480475764400563742914342568542542280987554
24
3
$x_k$:
-0.9382745520027327585236490017087214496548196580774513466350271759095894960525356709599646415358699555
24
3
$w_k$:
0.04427743881741980616860274821133822885931284183385789674139722972102437628226643963439471701555949349
24
4
$x_k$:
-0.8864155270044010342131543419821967550873330433089200403710379167756748343989591721041235019961817013
24
4
$w_k$:
0.05929858491543678074636775850010858454120012656521349103737655129409830317750824156606835561060900930
24
5
$x_k$:
-0.8200019859739029219539498726697452080761264776678555872439810260013829789535545400822605211725837961
24
5
$w_k$:
0.07334648141108030573403361525311651811933650984849947140270249066004138847587093483232514226944455520
24
6
$x_k$:
-0.7401241915785543642438281030999784255232924870141854568663823682719003386409229324413313561311287943
24
6
$w_k$:
0.08619016153195327591718520298374266718508058823793300558840714386128688446078053126888865629728169717
24
7
$x_k$:
-0.6480936519369755692524957869107476266696582986189567802989336650244483175685397719281177703657272434
24
7
$w_k$:
0.09761865210411388826988066446424715442791896885368594408331061002295433857759197834802003969071818748
24
8
$x_k$:
-0.5454214713888395356583756172183723700107839925876181754336143898305648391795708970958348674408062502
24
8
$w_k$:
0.1074442701159656347825773424466062227946286901342200217665416408868218663944371059805867271209152367
24
9
$x_k$:
-0.4337935076260451384870842319133497124524215109279688080808012846567644070336309140577354304660756169
24
9
$w_k$:
0.1155056680537256013533444839067835598622703113764964705844493600886702535513185499403442576468127957
24
10
$x_k$:
-0.3150426796961633743867932913198102407864782608248172687542301295298821563412434083438735095552082106
24
10
$w_k$:
0.1216704729278033912044631534762624256070295592038057787774717545126253937177169619177578034307728419
24
11
$x_k$:
-0.1911188674736163091586398207570696318404051033147533561489185765880859526918717419824911112452097307
24
11
$w_k$:
0.1258374563468282961213753825111836887264033255813454041780915168813938726666625968820381792564211407
24
12
$x_k$:
-0.06405689286260562608504308262474503859099919542074739342435108178973928359391010780289287613425250908
24
12
$w_k$:
0.1279381953467521569740561652246953718517112395416678824212995763723475915405364024120919775667347423
24
13
$x_k$:
0.06405689286260562608504308262474503859099919542074739342435108178973928359391010780289287613425250908
24
13
$w_k$:
0.1279381953467521569740561652246953718517112395416678824212995763723475915405364024120919775667347423
24
14
$x_k$:
0.1911188674736163091586398207570696318404051033147533561489185765880859526918717419824911112452097307
24
14
$w_k$:
0.1258374563468282961213753825111836887264033255813454041780915168813938726666625968820381792564211407
24
15
$x_k$:
0.3150426796961633743867932913198102407864782608248172687542301295298821563412434083438735095552082106
24
15
$w_k$:
0.1216704729278033912044631534762624256070295592038057787774717545126253937177169619177578034307728419
24
16
$x_k$:
0.4337935076260451384870842319133497124524215109279688080808012846567644070336309140577354304660756169
24
16
$w_k$:
0.1155056680537256013533444839067835598622703113764964705844493600886702535513185499403442576468127957
24
17
$x_k$:
0.5454214713888395356583756172183723700107839925876181754336143898305648391795708970958348674408062502
24
17
$w_k$:
0.1074442701159656347825773424466062227946286901342200217665416408868218663944371059805867271209152367
24
18
$x_k$:
0.6480936519369755692524957869107476266696582986189567802989336650244483175685397719281177703657272434
24
18
$w_k$:
0.09761865210411388826988066446424715442791896885368594408331061002295433857759197834802003969071818748
24
19
$x_k$:
0.7401241915785543642438281030999784255232924870141854568663823682719003386409229324413313561311287943
24
19
$w_k$:
0.08619016153195327591718520298374266718508058823793300558840714386128688446078053126888865629728169717
24
20
$x_k$:
0.8200019859739029219539498726697452080761264776678555872439810260013829789535545400822605211725837961
24
20
$w_k$:
0.07334648141108030573403361525311651811933650984849947140270249066004138847587093483232514226944455520
24
21
$x_k$:
0.8864155270044010342131543419821967550873330433089200403710379167756748343989591721041235019961817013
24
21
$w_k$:
0.05929858491543678074636775850010858454120012656521349103737655129409830317750824156606835561060900930
24
22
$x_k$:
0.9382745520027327585236490017087214496548196580774513466350271759095894960525356709599646415358699555
24
22
$w_k$:
0.04427743881741980616860274821133822885931284183385789674139722972102437628226643963439471701555949349
24
23
$x_k$:
0.9747285559713094981983919930081690617411830530401787198115935651071811212809802245386374742817154550
24
23
$w_k$:
0.02853138862893366318130781595187828644919779793190811660166480475764400563742914342568542542280987554
24
24
$x_k$:
0.9951872199970213601799974097007368118745976925960028774416005451142838320694577378833972893371157089
24
24
$w_k$:
0.01234122979998719954680566707003729157591004089136651681728732094109172551788111379179871867192042451
25
1
$x_k$:
-0.9955569697904980979087849468939016172575626494048081712108049311329334813437279344872880263529470076
25
1
$w_k$:
0.01139379850102628794790296411323477360332052629290969644894806111618989172976674335592367711294503351
25
2
$x_k$:
-0.9766639214595175114983153864795940677453705553144067446709874273161638675358805538964467094830061787
25
2
$w_k$:
0.02635498661503213726190181529529914493596328170332246875536616578387093400887949937152982152817292889
25
3
$x_k$:
-0.9429745712289743394140111696584705319052015706089901419274524971372953225440492613089052181512734833
25
3
$w_k$:
0.04093915670130631265562348771164595366084578336410434650469841489929743288021551277047897105511042413
25
4
$x_k$:
-0.8949919978782753688510420067828049541745548497535839030617016829591715109011994513711860069303917816
25
4
$w_k$:
0.05490469597583519192593689154047332416010998555311134904850849824459377467843651189571192407943344476
25
5
$x_k$:
-0.8334426287608340014210211086935695694609641138235207860208647154617181324770901252532297394775916811
25
5
$w_k$:
0.06803833381235691720718718565670796855470949435463656261507122641000365405171147310665152296948187373
25
6
$x_k$:
-0.7592592630373576305772828652043609763875220188983341209183897354450186288202624076076367972418523033
25
6
$w_k$:
0.08014070033500101801323495966911130229022573285367589371620146297361282893480128955945737771422531805
25
7
$x_k$:
-0.6735663684734683644851206332476221758834167280727493170596569617782877368492842115819636856803093219
25
7
$w_k$:
0.09102826198296364981149722070289165338099255895933431097048376896701738467841052690248439814295371889
25
8
$x_k$:
-0.5776629302412229677236898416126540673957350392915182566454835077610230127526320222767165964657964908
25
8
$w_k$:
0.1005359490670506442022068903926858269884660945281419070698690419994129481590460296819556562037325821
25
9
$x_k$:
-0.4730027314457149605221821150091920413318177384616272909072308276956032758412860301031568477827936354
25
9
$w_k$:
0.1085196244742636531160939570501166193400775879867220161564943073488392927936084426933976835002965417
25
10
$x_k$:
-0.3611723058093878377358217301276406674220783470433750697945787778467453823956965486032953150609376140
25
10
$w_k$:
0.1148582591457116483393255458695558086409361916681801495915149900314827966711254225653442989855815627
25
11
$x_k$:
-0.2438668837209884320451903627974515864056331563259844764211356532503874727858559506797763677632503406
25
11
$w_k$:
0.1194557635357847722281781265129010473901767014137264255195878813351840902201877350244286972097527132
25
12
$x_k$:
-0.1228646926107103963873598188080368055322053460497837384238935378927088349688584158264388499463310554
25
12
$w_k$:
0.1222424429903100416889595189458515058350592475630590409075800822320389672191801024303354089107890664
25
13
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{13}=0$, the central node of every rule of odd order
25
13
$w_k$:
35184372088832/285642955950625
25
14
$x_k$:
0.1228646926107103963873598188080368055322053460497837384238935378927088349688584158264388499463310554
25
14
$w_k$:
0.1222424429903100416889595189458515058350592475630590409075800822320389672191801024303354089107890664
25
15
$x_k$:
0.2438668837209884320451903627974515864056331563259844764211356532503874727858559506797763677632503406
25
15
$w_k$:
0.1194557635357847722281781265129010473901767014137264255195878813351840902201877350244286972097527132
25
16
$x_k$:
0.3611723058093878377358217301276406674220783470433750697945787778467453823956965486032953150609376140
25
16
$w_k$:
0.1148582591457116483393255458695558086409361916681801495915149900314827966711254225653442989855815627
25
17
$x_k$:
0.4730027314457149605221821150091920413318177384616272909072308276956032758412860301031568477827936354
25
17
$w_k$:
0.1085196244742636531160939570501166193400775879867220161564943073488392927936084426933976835002965417
25
18
$x_k$:
0.5776629302412229677236898416126540673957350392915182566454835077610230127526320222767165964657964908
25
18
$w_k$:
0.1005359490670506442022068903926858269884660945281419070698690419994129481590460296819556562037325821
25
19
$x_k$:
0.6735663684734683644851206332476221758834167280727493170596569617782877368492842115819636856803093219
25
19
$w_k$:
0.09102826198296364981149722070289165338099255895933431097048376896701738467841052690248439814295371889
25
20
$x_k$:
0.7592592630373576305772828652043609763875220188983341209183897354450186288202624076076367972418523033
25
20
$w_k$:
0.08014070033500101801323495966911130229022573285367589371620146297361282893480128955945737771422531805
25
21
$x_k$:
0.8334426287608340014210211086935695694609641138235207860208647154617181324770901252532297394775916811
25
21
$w_k$:
0.06803833381235691720718718565670796855470949435463656261507122641000365405171147310665152296948187373
25
22
$x_k$:
0.8949919978782753688510420067828049541745548497535839030617016829591715109011994513711860069303917816
25
22
$w_k$:
0.05490469597583519192593689154047332416010998555311134904850849824459377467843651189571192407943344476
25
23
$x_k$:
0.9429745712289743394140111696584705319052015706089901419274524971372953225440492613089052181512734833
25
23
$w_k$:
0.04093915670130631265562348771164595366084578336410434650469841489929743288021551277047897105511042413
25
24
$x_k$:
0.9766639214595175114983153864795940677453705553144067446709874273161638675358805538964467094830061787
25
24
$w_k$:
0.02635498661503213726190181529529914493596328170332246875536616578387093400887949937152982152817292889
25
25
$x_k$:
0.9955569697904980979087849468939016172575626494048081712108049311329334813437279344872880263529470076
25
25
$w_k$:
0.01139379850102628794790296411323477360332052629290969644894806111618989172976674335592367711294503351
26
1
$x_k$:
-0.9958857011456169290032169593229060259568578551195596673965278094055662966332778064519065880568373619
26
1
$w_k$:
0.01055137261734300715565118768525197790434573717969461455005542763676322229350975134444470302413064466
26
2
$x_k$:
-0.9783854459564709911005803543119263054469165637473185024854148613165051507450124713389344212411195975
26
2
$w_k$:
0.02441785109263190878961582751978840024049592619727034205204689507569171569886788965382818536335602656
26
3
$x_k$:
-0.9471590666617142501359152835180367545207103376843152700182677796098576444524608077707061977514090761
26
3
$w_k$:
0.03796238329436276395030314124885049469077042174404895767531182465280790041633584788183028599657115043
26
4
$x_k$:
-0.9026378619843070742176655992312102513411240053729053725551656547794657991025459868576608302501374633
26
4
$w_k$:
0.05097582529714781199831990072407337952587931854297193482383768599941731245003164518936461946006092913
26
5
$x_k$:
-0.8454459427884980187975070614678381615720751020913295694301764729116169146712362949501475621793890573
26
5
$w_k$:
0.06327404632957483553945368990704509572222284201269451066609588660798839171227602766184606915948270691
26
6
$x_k$:
-0.7763859488206788561929672472422838669762182562551948721631684216270329286408266459694211276559880322
26
6
$w_k$:
0.07468414976565974588707579610284833863874716188104068077903084174281963080937746296675304139278887341
26
7
$x_k$:
-0.6964272604199572648638139137294246978607533177908191517045574538383605469958380287959138448873265560
26
7
$w_k$:
0.08504589431348523921044776507998169658392031677667827618605618141998779201530552818228657768770778524
26
8
$x_k$:
-0.6066922930176180632319787469168870544352645722659098903786433125199281268902532004658328086100107075
26
8
$w_k$:
0.09421380035591414846366488306730319854916574591420727986331490236803449928345421133332210544894698769
26
9
$x_k$:
-0.5084407148245057176957030647255691753763067541857508137211004696039273949293566902340225422747508181
26
9
$w_k$:
0.1020591610944254232384140702534307923272088113542420103318738194086526688054740025706918142981686213
26
10
$x_k$:
-0.4030517551234863064810773770988831036599374096993161825891411335481842170473706530497579511944073217
26
10
$w_k$:
0.1084718405285765906565794267279975822894382034213066445296057086094613992729055839694315915206510452
26
11
$x_k$:
-0.2920048394859568951428353820778302968847193869629903782123441919037016245780079075823957046927731475
26
11
$w_k$:
0.1133618165463196665494407184425981452459503629250152139882879298874891065645794544926484529358517518
26
12
$x_k$:
-0.1768588203568901839690577484183447499773837638012642614803476997840452800554160871176150882635941013
26
12
$w_k$:
0.1166604434852965820446625075403622136319648812219242164601626972112656659283197265126963396450020594
26
13
$x_k$:
-0.05923009342931320709371857519840336079023473538903558215427229168438703611997342033841062688578776782
26
13
$w_k$:
0.1183214152792622765163710857004686846498902708289053180943201993796206947495628682408562140672814183
26
14
$x_k$:
0.05923009342931320709371857519840336079023473538903558215427229168438703611997342033841062688578776782
26
14
$w_k$:
0.1183214152792622765163710857004686846498902708289053180943201993796206947495628682408562140672814183
26
15
$x_k$:
0.1768588203568901839690577484183447499773837638012642614803476997840452800554160871176150882635941013
26
15
$w_k$:
0.1166604434852965820446625075403622136319648812219242164601626972112656659283197265126963396450020594
26
16
$x_k$:
0.2920048394859568951428353820778302968847193869629903782123441919037016245780079075823957046927731475
26
16
$w_k$:
0.1133618165463196665494407184425981452459503629250152139882879298874891065645794544926484529358517518
26
17
$x_k$:
0.4030517551234863064810773770988831036599374096993161825891411335481842170473706530497579511944073217
26
17
$w_k$:
0.1084718405285765906565794267279975822894382034213066445296057086094613992729055839694315915206510452
26
18
$x_k$:
0.5084407148245057176957030647255691753763067541857508137211004696039273949293566902340225422747508181
26
18
$w_k$:
0.1020591610944254232384140702534307923272088113542420103318738194086526688054740025706918142981686213
26
19
$x_k$:
0.6066922930176180632319787469168870544352645722659098903786433125199281268902532004658328086100107075
26
19
$w_k$:
0.09421380035591414846366488306730319854916574591420727986331490236803449928345421133332210544894698769
26
20
$x_k$:
0.6964272604199572648638139137294246978607533177908191517045574538383605469958380287959138448873265560
26
20
$w_k$:
0.08504589431348523921044776507998169658392031677667827618605618141998779201530552818228657768770778524
26
21
$x_k$:
0.7763859488206788561929672472422838669762182562551948721631684216270329286408266459694211276559880322
26
21
$w_k$:
0.07468414976565974588707579610284833863874716188104068077903084174281963080937746296675304139278887341
26
22
$x_k$:
0.8454459427884980187975070614678381615720751020913295694301764729116169146712362949501475621793890573
26
22
$w_k$:
0.06327404632957483553945368990704509572222284201269451066609588660798839171227602766184606915948270691
26
23
$x_k$:
0.9026378619843070742176655992312102513411240053729053725551656547794657991025459868576608302501374633
26
23
$w_k$:
0.05097582529714781199831990072407337952587931854297193482383768599941731245003164518936461946006092913
26
24
$x_k$:
0.9471590666617142501359152835180367545207103376843152700182677796098576444524608077707061977514090761
26
24
$w_k$:
0.03796238329436276395030314124885049469077042174404895767531182465280790041633584788183028599657115043
26
25
$x_k$:
0.9783854459564709911005803543119263054469165637473185024854148613165051507450124713389344212411195975
26
25
$w_k$:
0.02441785109263190878961582751978840024049592619727034205204689507569171569886788965382818536335602656
26
26
$x_k$:
0.9958857011456169290032169593229060259568578551195596673965278094055662966332778064519065880568373619
26
26
$w_k$:
0.01055137261734300715565118768525197790434573717969461455005542763676322229350975134444470302413064466
27
1
$x_k$:
-0.9961792628889885669388872083812299902606880555658711877016364967882177455773258120887620467215746222
27
1
$w_k$:
0.009798996051294360261150055091259098098225818935091592168140404565862630417668112155419382202214929286
27
2
$x_k$:
-0.9799234759615012228558733556610471845676422213899507632388598930523825759802189463054169755945038078
27
2
$w_k$:
0.02268623159618062319603420644676148881276772028816635563144213023907583003581002215456992234626322460
27
3
$x_k$:
-0.9509005578147050068519080306438828930925899334844176509338173907873866688099114857916195865965403515
27
3
$w_k$:
0.03529705375741971102257828930471164113613888952294181158222778509490882662835566288447180320361343223
27
4
$x_k$:
-0.9094823206774911043006450182096892549480443355949609591132275524720562663525280224549532052503838626
27
4
$w_k$:
0.04744941252061506270409671011418471822472562016618472851731001266917821185703592404211069377713551923
27
5
$x_k$:
-0.8562079080182944903027372227068427977642869986035058269771896541288033193858089805297566853042019504
27
5
$w_k$:
0.05898353685983359911030083371953163316524059070641216254021521491382112966360455338423452195370951776
27
6
$x_k$:
-0.7917716390705082271443973441072707329194010657478635124072806120468204848737945301185188771318411107
27
6
$w_k$:
0.06974882376624559298432288835666727613282469325695200037741878162105935880856358267256254048326809829
27
7
$x_k$:
-0.7170134737394236992948162116423395497506720520985631426512162063356948323161343333750219094558664184
27
7
$w_k$:
0.07960486777305777126307495900984240297614667298700295141340876380275272644122019315142518566001994859
27
8
$x_k$:
-0.6329079719464951409277346376344886121030760175693366972951118990234006909970817800205266946496041190
27
8
$w_k$:
0.08842315854375695019432280285374911105653675005109910980587113709659269919145708748883590465748975051
27
9
$x_k$:
-0.5405515645794568949003009415599828209591804489871816903743377500359408967163812254244806832945692703
27
9
$w_k$:
0.09608872737002850756565264655810585916021162953702933442813111353401513478380654525960930538160545793
27
10
$x_k$:
-0.4411482517500268805859741556892814524476845951630993881453872134032006962794959180850637939210223039
27
10
$w_k$:
0.1025016378177457986712477115326638093244098949147173298697818323829874794925958927440106598566482854
27
11
$x_k$:
-0.3359939036385088997303190342072845417900200189075941907249867070950093228545597852351380473810562801
27
11
$w_k$:
0.1075782857885331872121629844266574048189660990637646655123589065151944921440198276915465558907086261
27
12
$x_k$:
-0.2264593654395368588572391073602301711794467329282036766466289971837771337730071302255590647219663052
27
12
$w_k$:
0.1112524883568451926721630960428486748329203800850832670964035096979320782713183437524741395404738369
27
13
$x_k$:
-0.1139725856095299669328949838699766271732805339781409947657539097663654887884107453963794806397966295
27
13
$w_k$:
0.1134763461089651486203699480920992579205245188104720258964165495770223395939676265635919634979237774
27
14
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{14}=0$, the central node of every rule of odd order
27
14
$w_k$:
140737488355328/1232152159100625
27
15
$x_k$:
0.1139725856095299669328949838699766271732805339781409947657539097663654887884107453963794806397966295
27
15
$w_k$:
0.1134763461089651486203699480920992579205245188104720258964165495770223395939676265635919634979237774
27
16
$x_k$:
0.2264593654395368588572391073602301711794467329282036766466289971837771337730071302255590647219663052
27
16
$w_k$:
0.1112524883568451926721630960428486748329203800850832670964035096979320782713183437524741395404738369
27
17
$x_k$:
0.3359939036385088997303190342072845417900200189075941907249867070950093228545597852351380473810562801
27
17
$w_k$:
0.1075782857885331872121629844266574048189660990637646655123589065151944921440198276915465558907086261
27
18
$x_k$:
0.4411482517500268805859741556892814524476845951630993881453872134032006962794959180850637939210223039
27
18
$w_k$:
0.1025016378177457986712477115326638093244098949147173298697818323829874794925958927440106598566482854
27
19
$x_k$:
0.5405515645794568949003009415599828209591804489871816903743377500359408967163812254244806832945692703
27
19
$w_k$:
0.09608872737002850756565264655810585916021162953702933442813111353401513478380654525960930538160545793
27
20
$x_k$:
0.6329079719464951409277346376344886121030760175693366972951118990234006909970817800205266946496041190
27
20
$w_k$:
0.08842315854375695019432280285374911105653675005109910980587113709659269919145708748883590465748975051
27
21
$x_k$:
0.7170134737394236992948162116423395497506720520985631426512162063356948323161343333750219094558664184
27
21
$w_k$:
0.07960486777305777126307495900984240297614667298700295141340876380275272644122019315142518566001994859
27
22
$x_k$:
0.7917716390705082271443973441072707329194010657478635124072806120468204848737945301185188771318411107
27
22
$w_k$:
0.06974882376624559298432288835666727613282469325695200037741878162105935880856358267256254048326809829
27
23
$x_k$:
0.8562079080182944903027372227068427977642869986035058269771896541288033193858089805297566853042019504
27
23
$w_k$:
0.05898353685983359911030083371953163316524059070641216254021521491382112966360455338423452195370951776
27
24
$x_k$:
0.9094823206774911043006450182096892549480443355949609591132275524720562663525280224549532052503838626
27
24
$w_k$:
0.04744941252061506270409671011418471822472562016618472851731001266917821185703592404211069377713551923
27
25
$x_k$:
0.9509005578147050068519080306438828930925899334844176509338173907873866688099114857916195865965403515
27
25
$w_k$:
0.03529705375741971102257828930471164113613888952294181158222778509490882662835566288447180320361343223
27
26
$x_k$:
0.9799234759615012228558733556610471845676422213899507632388598930523825759802189463054169755945038078
27
26
$w_k$:
0.02268623159618062319603420644676148881276772028816635563144213023907583003581002215456992234626322460
27
27
$x_k$:
0.9961792628889885669388872083812299902606880555658711877016364967882177455773258120887620467215746222
27
27
$w_k$:
0.009798996051294360261150055091259098098225818935091592168140404565862630417668112155419382202214929286
28
1
$x_k$:
-0.9964424975739544499504363904833109917501304320964259045856723294904842189610687253207154066084003907
28
1
$w_k$:
0.009124282593094517738816153922951706240344491098290999416739691323899459865798129145091630865234989834
28
2
$x_k$:
-0.9813031653708727536945599458078302764441549532531383096760256814587284519217767995019269270555137827
28
2
$w_k$:
0.02113211259277125975150038099326543445136935072328563779766849025106515575357709196415245337961028669
28
3
$x_k$:
-0.9542592806289381972541018397052155890034038740879516754147144486238306405958307988608163055285995376
28
3
$w_k$:
0.03290142778230437997763081917053204598153081742009718785926162060376463669261274072342503061184242091
28
4
$x_k$:
-0.9156330263921320738696894233299271463524967952091215086615002446030081785070407201027981483536581725
28
4
$w_k$:
0.04427293475900422783958787765320739061499411270856684371514706188422417761369993149363245250939826579
28
5
$x_k$:
-0.8658925225743950489422545673796868043418628307842263369775467330166944085651223859225731680846334295
28
5
$w_k$:
0.05510734567571674543148291822694559121905796422566538840689275397294262321934259768652262425663508428
28
6
$x_k$:
-0.8056413709171791714478859554252776586717014148083116682106871617803895432608720347984010342982382161
28
6
$w_k$:
0.06527292396699959579339756677550463635363543116260702633548481815207689473898794047400721987087929209
28
7
$x_k$:
-0.7356108780136317720281445102925343680160610199930418932285277763358112584693301909334084416625422221
28
7
$w_k$:
0.07464621423456877902393188717302203802163586120633344743932005621496384206537729934871633908994469292
28
8
$x_k$:
-0.6566510940388649612198981765067428215696016902499299618317034974958503009836257821883556012750141760
28
8
$w_k$:
0.08311341722890121839039649824433247986113441344385133299635567173254245282603428475034290016074106183
28
9
$x_k$:
-0.5697204718114017193080032833564309331247126856566472278200296776622147526372830005050836113837362104
28
9
$w_k$:
0.09057174439303284094218603133678412982285748545448487237586853385445671546674270436566217943419796173
28
10
$x_k$:
-0.4758742249551182610344118476674340426272161453786559514091126929432723741989728911271411956233494801
28
10
$w_k$:
0.09693065799792991585048900609544060176503312335646160495687628181436939407754730709642848770703662712
28
11
$x_k$:
-0.3762515160890787102213572095560869828716939770432229103443527203938317188429564038282773337354751187
28
11
$w_k$:
0.1021129675780607698142166385057121350465800023579205409339754522028463984370336406980606097027925747
28
12
$x_k$:
-0.2720616276351780776768263561257697348247612966935229524996759265024423402409136967867889262559464621
28
12
$w_k$:
0.1060557659228464179104164369968108287899229626851595168306202962859225127394103867388241424834962012
28
13
$x_k$:
-0.1645692821333807712814717778911654571457254156011681764942856266953318504756964478182443649797852075
28
13
$w_k$:
0.1087111922582941352535715193036733678752784546660439676571211704773133263831287881082426631503557037
28
14
$x_k$:
-0.05507928988403427042651652734187997785079599106083368374533858725889454453430757664841272546542997972
28
14
$w_k$:
0.1100470130164751962823762656018176139566255294912316332786681012296124101207071574068912667778348372
28
15
$x_k$:
0.05507928988403427042651652734187997785079599106083368374533858725889454453430757664841272546542997972
28
15
$w_k$:
0.1100470130164751962823762656018176139566255294912316332786681012296124101207071574068912667778348372
28
16
$x_k$:
0.1645692821333807712814717778911654571457254156011681764942856266953318504756964478182443649797852075
28
16
$w_k$:
0.1087111922582941352535715193036733678752784546660439676571211704773133263831287881082426631503557037
28
17
$x_k$:
0.2720616276351780776768263561257697348247612966935229524996759265024423402409136967867889262559464621
28
17
$w_k$:
0.1060557659228464179104164369968108287899229626851595168306202962859225127394103867388241424834962012
28
18
$x_k$:
0.3762515160890787102213572095560869828716939770432229103443527203938317188429564038282773337354751187
28
18
$w_k$:
0.1021129675780607698142166385057121350465800023579205409339754522028463984370336406980606097027925747
28
19
$x_k$:
0.4758742249551182610344118476674340426272161453786559514091126929432723741989728911271411956233494801
28
19
$w_k$:
0.09693065799792991585048900609544060176503312335646160495687628181436939407754730709642848770703662712
28
20
$x_k$:
0.5697204718114017193080032833564309331247126856566472278200296776622147526372830005050836113837362104
28
20
$w_k$:
0.09057174439303284094218603133678412982285748545448487237586853385445671546674270436566217943419796173
28
21
$x_k$:
0.6566510940388649612198981765067428215696016902499299618317034974958503009836257821883556012750141760
28
21
$w_k$:
0.08311341722890121839039649824433247986113441344385133299635567173254245282603428475034290016074106183
28
22
$x_k$:
0.7356108780136317720281445102925343680160610199930418932285277763358112584693301909334084416625422221
28
22
$w_k$:
0.07464621423456877902393188717302203802163586120633344743932005621496384206537729934871633908994469292
28
23
$x_k$:
0.8056413709171791714478859554252776586717014148083116682106871617803895432608720347984010342982382161
28
23
$w_k$:
0.06527292396699959579339756677550463635363543116260702633548481815207689473898794047400721987087929209
28
24
$x_k$:
0.8658925225743950489422545673796868043418628307842263369775467330166944085651223859225731680846334295
28
24
$w_k$:
0.05510734567571674543148291822694559121905796422566538840689275397294262321934259768652262425663508428
28
25
$x_k$:
0.9156330263921320738696894233299271463524967952091215086615002446030081785070407201027981483536581725
28
25
$w_k$:
0.04427293475900422783958787765320739061499411270856684371514706188422417761369993149363245250939826579
28
26
$x_k$:
0.9542592806289381972541018397052155890034038740879516754147144486238306405958307988608163055285995376
28
26
$w_k$:
0.03290142778230437997763081917053204598153081742009718785926162060376463669261274072342503061184242091
28
27
$x_k$:
0.9813031653708727536945599458078302764441549532531383096760256814587284519217767995019269270555137827
28
27
$w_k$:
0.02113211259277125975150038099326543445136935072328563779766849025106515575357709196415245337961028669
28
28
$x_k$:
0.9964424975739544499504363904833109917501304320964259045856723294904842189610687253207154066084003907
28
28
$w_k$:
0.009124282593094517738816153922951706240344491098290999416739691323899459865798129145091630865234989834
29
1
$x_k$:
-0.9966794422605965861631915325493538856517734532508800021981573237567855859944197443375239635794152036
29
1
$w_k$:
0.008516903878746409654263813302249803002398889798518486052430094559465291587805764837701857101426068061
29
2
$x_k$:
-0.9825455052614131748709260157863769561067819489064315590251200914466725857156303835521726347161469228
29
2
$w_k$:
0.01973208505612270598385980164039563114960656819036158765605384467534435633886111290616433970779897164
29
3
$x_k$:
-0.9572855957780877257982080369808235637375595539540970705635296361533416041543241978620052958566647045
29
3
$w_k$:
0.03074049220209362264440852537461674974711626096870951032208435936635163243589561671731042105647377638
29
4
$x_k$:
-0.9211802329530587850937534360831064254088393433122935984689914638059500132844502746385151869394400314
29
4
$w_k$:
0.04140206251868283610483001011407692153349078038857439725792487943479243705637103708286466659594791899
29
5
$x_k$:
-0.8746378049201027904177934212565785469106168631190413707272208287147418370863111468389247030408469531
29
5
$w_k$:
0.05159482690249792391259438117954259791962211064614206768186283132730412029289842050925832246255854077
29
6
$x_k$:
-0.8181854876152524449895722145787849756300215618822937711370342722953165253355751072030592577950030061
29
6
$w_k$:
0.06120309065707913854210984802390704492406453977913020831787741211199444407535551098152210778177271096
29
7
$x_k$:
-0.7524628517344771339126100772121381902125919682289866084119979915246921307176859134886063227712441939
29
7
$w_k$:
0.07011793325505127856958148694887917310239488867477358191480742486000795714298251764075217384771232213
29
8
$x_k$:
-0.6782145376026865151561850053919859263882629300146451627238098589493665032001680230838098520702723734
29
8
$w_k$:
0.07823832713576378382814488865968033136687907695966970946757519532476054420723229476932315706665102743
29
9
$x_k$:
-0.5962817971382278203795862111889897800781868103855776384734623932303428339617398985912546984488341747
29
9
$w_k$:
0.08547225736617252754534484929720807138169825661359339532189074338243199255567235362042484677133000674
29
10
$x_k$:
-0.5075929551242276421026279196275201533512238403845841641850643070982143663626368223191804672906345432
29
10
$w_k$:
0.09173775713925876334796641107711080689822902098195457127582987469869372431549449510101182698874301648
29
11
$x_k$:
-0.4131528881740086638907065860316168233234385187363139197783846652542833462119727970500394609262070245
29
11
$w_k$:
0.09696383409440860630190007488268875917635627792180356426049546674623287790177858228915127179389357713
29
12
$x_k$:
-0.3140316378676399349481959231910474482584488190908274812967589308944466974294334425405154675053801546
29
12
$w_k$:
0.1010912737599149661218205469074973636475672788525251991228320233057770203692258055889316654338135688
29
13
$x_k$:
-0.2113522861660010745063757289029374990566508177120951480384008453220589111080117780985784282045164136
29
13
$w_k$:
0.1040733100777293739133284712851200689106522206754676916436940541478803010854938391492250013713347442
29
14
$x_k$:
-0.1062782301326792301709823924303769809171954392956071362857752740221653437515846409430044606205654172
29
14
$w_k$:
0.1058761550973209414065913278521878930748313137422780398281553455250226381691394563839710191972884981
29
15
$x_k$:
0
equals: Zero
comment: $x_{15}=0$, the central node of every rule of odd order
29
15
$w_k$:
2251799813685248/21147754404155625
29
16
$x_k$:
0.1062782301326792301709823924303769809171954392956071362857752740221653437515846409430044606205654172
29
16
$w_k$:
0.1058761550973209414065913278521878930748313137422780398281553455250226381691394563839710191972884981
29
17
$x_k$:
0.2113522861660010745063757289029374990566508177120951480384008453220589111080117780985784282045164136
29
17
$w_k$:
0.1040733100777293739133284712851200689106522206754676916436940541478803010854938391492250013713347442
29
18
$x_k$:
0.3140316378676399349481959231910474482584488190908274812967589308944466974294334425405154675053801546
29
18
$w_k$:
0.1010912737599149661218205469074973636475672788525251991228320233057770203692258055889316654338135688
29
19
$x_k$:
0.4131528881740086638907065860316168233234385187363139197783846652542833462119727970500394609262070245
29
19
$w_k$:
0.09696383409440860630190007488268875917635627792180356426049546674623287790177858228915127179389357713
29
20
$x_k$:
0.5075929551242276421026279196275201533512238403845841641850643070982143663626368223191804672906345432
29
20
$w_k$:
0.09173775713925876334796641107711080689822902098195457127582987469869372431549449510101182698874301648
29
21
$x_k$:
0.5962817971382278203795862111889897800781868103855776384734623932303428339617398985912546984488341747
29
21
$w_k$:
0.08547225736617252754534484929720807138169825661359339532189074338243199255567235362042484677133000674
29
22
$x_k$:
0.6782145376026865151561850053919859263882629300146451627238098589493665032001680230838098520702723734
29
22
$w_k$:
0.07823832713576378382814488865968033136687907695966970946757519532476054420723229476932315706665102743
29
23
$x_k$:
0.7524628517344771339126100772121381902125919682289866084119979915246921307176859134886063227712441939
29
23
$w_k$:
0.07011793325505127856958148694887917310239488867477358191480742486000795714298251764075217384771232213
29
24
$x_k$:
0.8181854876152524449895722145787849756300215618822937711370342722953165253355751072030592577950030061
29
24
$w_k$:
0.06120309065707913854210984802390704492406453977913020831787741211199444407535551098152210778177271096
29
25
$x_k$:
0.8746378049201027904177934212565785469106168631190413707272208287147418370863111468389247030408469531
29
25
$w_k$:
0.05159482690249792391259438117954259791962211064614206768186283132730412029289842050925832246255854077
29
26
$x_k$:
0.9211802329530587850937534360831064254088393433122935984689914638059500132844502746385151869394400314
29
26
$w_k$:
0.04140206251868283610483001011407692153349078038857439725792487943479243705637103708286466659594791899
29
27
$x_k$:
0.9572855957780877257982080369808235637375595539540970705635296361533416041543241978620052958566647045
29
27
$w_k$:
0.03074049220209362264440852537461674974711626096870951032208435936635163243589561671731042105647377638
29
28
$x_k$:
0.9825455052614131748709260157863769561067819489064315590251200914466725857156303835521726347161469228
29
28
$w_k$:
0.01973208505612270598385980164039563114960656819036158765605384467534435633886111290616433970779897164
29
29
$x_k$:
0.9966794422605965861631915325493538856517734532508800021981573237567855859944197443375239635794152036
29
29
$w_k$:
0.008516903878746409654263813302249803002398889798518486052430094559465291587805764837701857101426068061
30
1
$x_k$:
-0.9968934840746495402716300509186952833408820381177507901080942978023876952101637408158820195580617174
30
1
$w_k$:
0.007968192496166605615465883474673622450480696587151721229485163356920038432901333294153661692286173521
30
2
$x_k$:
-0.9836681232797472099700325816056628019403178547097113635171800101511442953647910437020759716603547137
30
2
$w_k$:
0.01846646831109095914230213191204726909620653396818140337129836551458559952130797365408051902967541796
30
3
$x_k$:
-0.9600218649683075122168710255817976629303592174039233994856616724249399577070684292271894437038000238
30
3
$w_k$:
0.02878470788332336934971917961129204363958889454628749647418012260814598894001393310173020671148417155
30
4
$x_k$:
-0.9262000474292743258793242770804740040864745368253290609110371336794229956511023268167728801505588624
30
4
$w_k$:
0.03879919256962704959680193644634769203320097676639535210773278970594697095276979391905502627903510566
30
5
$x_k$:
-0.8825605357920526815431164625302255900566891471464842320683260531216162626951916557292158382857321049
30
5
$w_k$:
0.04840267283059405290293814042280751781527180919737273634519193679180542567710215279776743956356226345
30
6
$x_k$:
-0.8295657623827683974428981197325019164390686961703416788069529834536565065895816350829524435081401600
30
6
$w_k$:
0.05749315621761906648172168940205612879712067072176313454871579900323214740995437692521199965095012536
30
7
$x_k$:
-0.7677774321048261949179773409745031316948836172329084532064943873651585701729950450526096025862396842
30
7
$w_k$:
0.06597422988218049512812851511596236123744295365666037896703151604214367246609417936581991391159873744
30
8
$x_k$:
-0.6978504947933157969322923880266400683823538006539546563797228467399767212431599606953816364400890469
30
8
$w_k$:
0.07375597473770520626824385002219073415377052603704943894126918237459939931463521171040135271663818327
30
9
$x_k$:
-0.6205261829892428611404775564311892992073646928295281325950511701243353149748891177411525844553278211
30
9
$w_k$:
0.08075589522942021535469493846052973087589280370843929989025859370605118056702634560421240276921780808
30
10
$x_k$:
-0.5366241481420198992641697933110727941641780069302971054527434829120149086189783786311411600971899026
30
10
$w_k$:
0.08689978720108297980238753071512570257675332874354534401222212988215358225426149424795503350963910533
30
11
$x_k$:
-0.4470337695380891767806099003228540001624075938614244097544773817276153517285842070040068887212418983
30
11
$w_k$:
0.09212252223778612871763270708761876719691323441823410752767504700197304707009416829846405291681190716
30
12
$x_k$:
-0.3527047255308781134710372070893738606536310080214256265941844689002694162331910786643603967521135295
30
12
$w_k$:
0.09636873717464425963946862635180986509640646143016024591299427573283753474200312372495124781810419536
30
13
$x_k$:
-0.2546369261678898464398051298178051078827893033025184261642859750889635315690788029063662813842362026
30
13
$w_k$:
0.09959342058679526706278028210356947652986926366670427722136514618394666038990880901809229928932418471
30
14
$x_k$:
-0.1538699136085835469637946727432559204185519712443384617189629829157871485108161013969231065107407856
30
14
$w_k$:
0.1017623897484055045964289521685540446327062894871268408642609454196425136053176749454759978197839120
30
15
$x_k$:
-0.05147184255531769583302521316672257374914145366656956425516084398796475521042710905587009070728548584
30
15
$w_k$:
0.1028526528935588403412856367054150438683755570649282225863189866760162386566094293926288463218887092
30
16
$x_k$:
0.05147184255531769583302521316672257374914145366656956425516084398796475521042710905587009070728548584
30
16
$w_k$:
0.1028526528935588403412856367054150438683755570649282225863189866760162386566094293926288463218887092
30
17
$x_k$:
0.1538699136085835469637946727432559204185519712443384617189629829157871485108161013969231065107407856
30
17
$w_k$:
0.1017623897484055045964289521685540446327062894871268408642609454196425136053176749454759978197839120
30
18
$x_k$:
0.2546369261678898464398051298178051078827893033025184261642859750889635315690788029063662813842362026
30
18
$w_k$:
0.09959342058679526706278028210356947652986926366670427722136514618394666038990880901809229928932418471
30
19
$x_k$:
0.3527047255308781134710372070893738606536310080214256265941844689002694162331910786643603967521135295
30
19
$w_k$:
0.09636873717464425963946862635180986509640646143016024591299427573283753474200312372495124781810419536
30
20
$x_k$:
0.4470337695380891767806099003228540001624075938614244097544773817276153517285842070040068887212418983
30
20
$w_k$:
0.09212252223778612871763270708761876719691323441823410752767504700197304707009416829846405291681190716
30
21
$x_k$:
0.5366241481420198992641697933110727941641780069302971054527434829120149086189783786311411600971899026
30
21
$w_k$:
0.08689978720108297980238753071512570257675332874354534401222212988215358225426149424795503350963910533
30
22
$x_k$:
0.6205261829892428611404775564311892992073646928295281325950511701243353149748891177411525844553278211
30
22
$w_k$:
0.08075589522942021535469493846052973087589280370843929989025859370605118056702634560421240276921780808
30
23
$x_k$:
0.6978504947933157969322923880266400683823538006539546563797228467399767212431599606953816364400890469
30
23
$w_k$:
0.07375597473770520626824385002219073415377052603704943894126918237459939931463521171040135271663818327
30
24
$x_k$:
0.7677774321048261949179773409745031316948836172329084532064943873651585701729950450526096025862396842
30
24
$w_k$:
0.06597422988218049512812851511596236123744295365666037896703151604214367246609417936581991391159873744
30
25
$x_k$:
0.8295657623827683974428981197325019164390686961703416788069529834536565065895816350829524435081401600
30
25
$w_k$:
0.05749315621761906648172168940205612879712067072176313454871579900323214740995437692521199965095012536
30
26
$x_k$:
0.8825605357920526815431164625302255900566891471464842320683260531216162626951916557292158382857321049
30
26
$w_k$:
0.04840267283059405290293814042280751781527180919737273634519193679180542567710215279776743956356226345
30
27
$x_k$:
0.9262000474292743258793242770804740040864745368253290609110371336794229956511023268167728801505588624
30
27
$w_k$:
0.03879919256962704959680193644634769203320097676639535210773278970594697095276979391905502627903510566
30
28
$x_k$:
0.9600218649683075122168710255817976629303592174039233994856616724249399577070684292271894437038000238
30
28
$w_k$:
0.02878470788332336934971917961129204363958889454628749647418012260814598894001393310173020671148417155
30
29
$x_k$:
0.9836681232797472099700325816056628019403178547097113635171800101511442953647910437020759716603547137
30
29
$w_k$:
0.01846646831109095914230213191204726909620653396818140337129836551458559952130797365408051902967541796
30
30
$x_k$:
0.9968934840746495402716300509186952833408820381177507901080942978023876952101637408158820195580617174
30
30
$w_k$:
0.007968192496166605615465883474673622450480696587151721229485163356920038432901333294153661692286173521
Definition
For $n\geq 1$ the Gauss–Legendre quadrature rule with $n$ points is the unique rule $\int_{-1}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k)$ that is exact for every polynomial $f$ of degree at most $2n-1$ [2]. Listed are its nodes $x_1<\cdots<x_n$, the roots of the Legendre polynomial $P_n$, and its weights $w_k$.
Parameters
$n$
—   number of nodes ($n\geq 1$)
$k$
—   index of the node, in increasing order ($1\leq k\leq n$)
Formulas
(1)
$w_k=\dfrac{2}{(1-x_k^2)\,P_n'(x_k)^2}=\dfrac{2\,(1-x_k^2)}{n^2\,P_{n-1}(x_k)^2}$ [1].
(2)
$\sum_{k=1}^{n} w_k x_k^m=\int_{-1}^{1}x^m\,\mathrm{d}x=\dfrac{1+(-1)^m}{m+1}$ for $0\leq m\leq 2n-1$, and not for $m=2n$.
(3)
$x_{n+1-k}=-x_k$, $w_{n+1-k}=w_k$, $w_k>0$ and $\sum_{k=1}^{n}w_k=2$.
(4)
For odd $n$, $x_{(n+1)/2}=0$ and $w_{(n+1)/2}=\dfrac{2}{P_n'(0)^2}=\dfrac{2\,((n-1)!!)^2}{n^2\,((n-2)!!)^2}$: $2$, $8/9$, $128/225$, $512/1225$, $32768/99225$ for $n=1,3,5,7,9$.
(5)
$w_k=\int_{-1}^{1}\ell_k(x)\,\mathrm{d}x$ with $\ell_k(x)=\prod_{j\neq k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}$ the Lagrange basis polynomial of the nodes; the same integrals over equally spaced nodes are the Newton–Cotes weights.
(6)
The nodes of the rules with $n$ and $n-1$ points interlace: $x_k^{(n)}<x_k^{(n-1)}<x_{k+1}^{(n)}$ for $1\leq k\leq n-1$, as the roots of consecutive orthogonal polynomials do.
(7)
On $[a,b]$ the rule is $\int_a^b f \approx \frac{b-a}{2}\sum_k w_k\, f\bigl(\frac{b-a}{2}x_k+\frac{a+b}{2}\bigr)$.
Comments
(8)
$P_n$ is the Legendre polynomial of degree $n$ with $P_n(1)=1$. Its $n$ roots are real, simple and lie in $(-1,1)$, and $x_1<\cdots<x_n$ is their increasing order. Placing the nodes at these roots is what lets a rule with $n$ points reach degree $2n-1$; no other $n$ points reach $2n-1$, and $n$ points in general position reach only $n-1$.
(9)
Every rule is symmetric, $x_{n+1-k}=-x_k$ and $w_{n+1-k}=w_k$, and both halves are listed rather than the nonnegative one.
(10)
Every value here is an algebraic number, and the ones that are rational are written exactly rather than to a hundred digits: the node $x=0$ of every rule of odd order, its weight $w_{(n+1)/2}=2/P_n'(0)^2$, and the weights of the rules with $n\leq 3$.
(11)
The rules with $n\leq 5$ have closed forms in square roots, given in the comments on their entries, and the nodes $\pm 1/\sqrt{3}$ and $\pm\sqrt{3/5}$ of $n=2,3$ are also in the table of quadratic algebraic numbers. For the rules here with $n\geq 4$ the nonzero nodes have degree $n$ over $\mathbb{Q}$ when $n$ is even and $n-1$ when $n$ is odd, and the weights other than the central one have degree $\lfloor n/2\rfloor$; the polynomials whose roots are the weights are OEIS A112734 [8].
(12)
The same rule on $[0,1]$ has nodes $c_k=(1+x_k)/2$ and weights $b_k=w_k/2$, which is how it appears as the Butcher tableau of the $n$-stage Gauss collocation method for ordinary differential equations: $c=(3\mp\sqrt{3})/6=0.2113\ldots,0.7886\ldots$ and $b=1/2,1/2$ for two stages.
(13)
Gauss–Chebyshev quadrature, the same construction for the weight $(1-x^2)^{-1/2}$, has nodes $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$, which are in the table of $\cos(\pi x)$ at rational $x$, and all weights equal to $\pi/n$, which is in the table of rational multiples of $\pi$. Gauss–Hermite quadrature is the same construction for $e^{-x^2}$ on the whole line; the Gauss–Laguerre, Gauss–Lobatto, Gauss–Radau and Gauss–Kronrod rules are not tabulated here.
Programs
(P1)
Sage
R.<x> = QQ[]
p = R(legendre_P(8, x))
nodes = p.roots(RealIntervalField(400), multiplicities=False)   # x_1 = -0.96028985649753623168...
weights = [2/((1 - r^2)*p.derivative()(r)^2) for r in nodes]    # w_1 = 0.10122853629037625915...
(P2)
Python
import numpy.polynomial.legendre as L
nodes, weights = L.leggauss(8)      # double precision: -0.96028986, 0.10122854
References
[1]
M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1972, §25.4.29 and Table 25.4.
Links
Similar tables
Legendre polynomials —   the nodes are the roots of $P_n$
Algebraic numbers of degree 2 —   holds the nodes $\pm 1/\sqrt{3}$ and $\pm\sqrt{3/5}$ of $n=2,3$
$\cos(\pi x)$ for rational $x$ —   the Gauss–Chebyshev nodes $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$
Rational multiples of pi —   the Gauss–Chebyshev weights $\pi/n$
Lagrange basis polynomials for equally spaced nodes —   the weights are the integrals of the Lagrange basis of the nodes; on equally spaced nodes that gives Newton–Cotes
Data properties
Entries are of type: real number
How well the digits are known: proven
Table is complete: no (it holds every rule with $n\leq 30$, where $n$ is the number of nodes; each rule is listed in full, every node with its weight, and both halves of the symmetric set)
How they were obtained:

$P_n$ is built exactly in $\mathbb{Q}[x]$; its roots are isolated by Sage's real root isolation over the interval field, so each node is an interval provably containing one root, carried on as an arb ball at 397 bits; $w_k$ is $2/((1-x_k^2)P_n'(x_k)^2)$ in ball arithmetic, and the digits written are those the ball supports (the widest, a weight at $n=30$, supports 110).

more

Before a rule is written it must also satisfy the second weight formula, the symmetry, $\sum w_k=2$, and exactness on $x^m$ for $m\leq 2n-1$ with failure at $m=2n$. Outside the generator the values were compared with the closed forms for $n\leq 5$, twenty OEIS expansions to 100 digits, the OEIS A112734 weight polynomials for $n\leq 8$, and Wikipedia's seven-point row, with the controls that must fail failing.



API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.