NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Values of the hyperfactorial $K$-function $K(x)$ at rational numbers
edit · history · discussion · files · long url · special functions special values
Numbers
$x$
quantity 
value
1
$K(x)$:
1
comment: The empty product.
1
$\log K(x)$:
0
2
$K(x)$:
1
comment: The hyperfactorial $H(1)$.
2
$\log K(x)$:
0
3
$K(x)$:
4
comment: The hyperfactorial $H(2)$.
3
$\log K(x)$:
1.386294361119890618834464242916353136151000268720510508241360018986787243939389431211726653992837375
4
$K(x)$:
108
comment: The hyperfactorial $H(3)$.
4
$\log K(x)$:
4.682131227124219693020199953683930250093471942188758863445443019899270123595216331832573918434033641
5
$K(x)$:
27648
comment: The hyperfactorial $H(4)$.
5
$\log K(x)$:
10.22730867160378216835805692534934279469747301707080089641088309584641909935277405667948053440538314
6
$K(x)$:
86400000
comment: The hyperfactorial $H(5)$.
6
$\log K(x)$:
18.27449823377428404136185359148028099232547978841338950597412255321731403789106287983014992487128120
1/2
$K(x)$:
1.245143249363274035108003843179931879102243203146257562500891355912168860224688680433264434417426322
comment: $A^{3/2}2^{-1/24}e^{-1/8}$, where $A$ is the Glaisher-Kinkelin constant.
1/2
$\log K(x)$:
0.2192505830273453392618281519700802738095753982377920399114217924738148152511284793223766785405790213
comment: $\frac32\log A-\frac1{24}\log2-\frac18$.
3/2
$K(x)$:
0.8804492351734233932792435841896581846607405308676659912552116178113513011266314481860689524660896806
3/2
$\log K(x)$:
-0.1273230072526273154467879087590080102281746689423355871489182122728819957337188784805549849576303224
5/2
$K(x)$:
1.617488527948946062817035460231792759011605096464772908818546713291186141793317912937174351778145452
5/2
$\log K(x)$:
0.4808746549096192575202317644375156946298109662514057092721032739432690111396524984210736567683397794
7/2
$K(x)$:
15.98421199222371685263495341341630036763654263660586984957482818730861827323798924482353886683707403
7/2
$\log K(x)$:
2.771601484595006920479049793857543373255064016022061878752022978895232425484560120981750034510242088
9/2
$K(x)$:
1282.122099453457459415422712300688736341937526669787184950681137181861242848345221691330625721522455
9/2
$\log K(x)$:
7.156271874328794905387471970805054438720610099297682648937508470449884268222871053618033135080327026
11/2
$K(x)$:
1115284.580904968752671387586987035163633910334786449675112166895970431681615822086383776160913754570
11/2
$\log K(x)$:
13.92462015982202823556713455654599122420827451508127907100669743046706160832672553525418995692003173
1/3
$K(x)$:
1.295824724653845881722759337564514307220643117457428321923715590137690588330190884928501276656299848
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(2\pi/3)$, $K(1/3)=A^{4/3}3^{-1/72}e^{-1/9}\exp(C/(4\pi))$.
1/3
$\log K(x)$:
0.2591473454612303566981205593759735101328736672739398051919703989027946976175005239311978498080495159
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(2\pi/3)$, $\log K(1/3)=\frac43\log A-\frac1{72}\log3-\frac19+C/(4\pi)$.
2/3
$K(x)$:
1.163530242815571115496482336015469360339040421937910359926619306055699469230277938526847211972224465
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(2\pi/3)$, $K(2/3)=A^{4/3}3^{-1/72}e^{-1/9}\exp(-C/(4\pi))$.
2/3
$\log K(x)$:
0.1514586963880801853335750558013713787754597203470774664816809087824563266817439099032686467782590519
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(2\pi/3)$, $\log K(2/3)=\frac43\log A-\frac1{72}\log3-\frac19-C/(4\pi)$.
4/3
$K(x)$:
0.8984746824210509094086652115493199420044973993875094357800829105478768470739325914548577979584569155
4/3
$\log K(x)$:
-0.1070567507614728737669611862648683914162898520003100120529277123097034001220357983600074017965278470
5/3
$K(x)$:
0.8879397603950138651872900560071213865068928231479316444175937127819044127403470589430417468960564953
5/3
$\log K(x)$:
-0.1188513756840294026517670211748613789392005619612519985943286406469441208175322576085663050999498822
7/3
$K(x)$:
1.318532460590228458778350805784815341508441830160772936827008346750992285467870933668171803659103776
7/3
$\log K(x)$:
0.2765193458409016961519974883935681839217230958633713966226265348226872008390048207574737971089458681
8/3
$K(x)$:
2.080326107603786520607397623591877116463633041787242411213446581363236476196023138570241551398745069
8/3
$\log K(x)$:
0.7325246639259550693574231393312418458576507654483617850355939557475303699975490719856305670324626544
10/3
$K(x)$:
9.521455128395880576507258586662656262697278115361852934042943101970744461610355437597107723985490532
10/3
$\log K(x)$:
2.253547686744376794808915003608427575564109496634632115646916772856220196417078856223573532581937891
11/3
$K(x)$:
28.44775760394282214549585396564554692289547000105108704477975047734343780951238012967215195970567018
11/3
$\log K(x)$:
3.348069338623891700974626145869919178068343686136405280041849141994694563838816218502895170167193251
13/3
$K(x)$:
526.7838790928933006897994382652238589278910614954364216838985249833985893010516282452480516955328935
13/3
$\log K(x)$:
6.266790367830830103551402396147889252076145932654710529975695330623147917946223900764845033501491922
14/3
$K(x)$:
3334.596451904643920257987871516392863210268124536424152275553404527126468001587502055423523292934452
14/3
$\log K(x)$:
8.112106947101514827419186729692799027040470105223520266149384852135985443052451287908171331859836494
16/3
$K(x)$:
302827.2124628786444207214361490412639739730350082728717600513729761503951111986624552199410319756273
16/3
$\log K(x)$:
12.62091766593568063040378528293332515275984794271702707694121709773568620573802915504400030421744066
17/3
$K(x)$:
4416466.374461415620987506333545815306888737003735954681401547702677847435063874176210219394814008737
17/3
$\log K(x)$:
15.30085047152154313534677166026067512801091020044723289009447203917222167006717469833439966212244108
1/4
$K(x)$:
1.295619569351003130204944062435228833192658586974926619802696555196385487054500356368342551760423025
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(\pi/2)$, $K(1/4)=A^{9/8}e^{-3/32}\exp(C/(4\pi))$.
1/4
$\log K(x)$:
0.2589890126707119904002557318902269528255574663735613241900879869299665713450090347861224439498558647
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(\pi/2)$, $\log K(1/4)=\frac98\log A-\frac3{32}+C/(4\pi)$.
3/4
$K(x)$:
1.119865468470533690008117949503300442391353918267038051466065702670149464644431098825839712996383978
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(\pi/2)$, $K(3/4)=A^{9/8}e^{-3/32}\exp(-C/(4\pi))$.
3/4
$\log K(x)$:
0.1132085606553026003310635036560294933935243893806426890595872023740927529047896039228090317982888353
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(\pi/2)$, $\log K(3/4)=\frac98\log A-\frac3{32}-C/(4\pi)$.
5/4
$K(x)$:
0.9161413833260887057478595869366816795551293942374959834534021420126731589347817187220182633253564376
5/4
$\log K(x)$:
-0.08758457760926066430836032883886133121219260080656630287025201781673023963983832301680921954835347906
7/4
$K(x)$:
0.9025303200794401652631902239073761134024757732024285799010097151579454185996714048294503818040881403
7/4
$\log K(x)$:
-0.1025529936835330952483507508393410802341078937926781033204120616378769601357957443307741425860401295
9/4
$K(x)$:
1.210876964972115721951648435858001020924178958031729738226491840108492617942010827215042341313051664
9/4
$\log K(x)$:
0.1913448615335015303995085340484317980060587561284427142188578227925094400704970937561998105770743156
11/4
$K(x)$:
2.403136202173074269682812478954411444647598312541835290573376878744270886831877385825644660780674602
11/4
$\log K(x)$:
0.8767746352034566057257041250826054583665399127146855870611406675260101227863939696771065854552696364
13/4
$K(x)$:
7.507765223225045960573596549095389043287128371935488664820153623806820908516847048481843865270001854
13/4
$\log K(x)$:
2.015937848020241249300567553638002912580015661709666603481922281440962460690611224461085735754984621
15/4
$K(x)$:
38.80996883319420379988590465502556031725812366375940921309774215914614049385455864688513071615103632
15/4
$\log K(x)$:
3.658677142319276400101272296466739908460983022061178921248461815421422667714473994801258733982212531
17/4
$K(x)$:
346.0442254574033133718825129248935455284196803122844576019396493848898979600848783919265041849130068
17/4
$\log K(x)$:
5.846566586130591130262392949247140685706385608838680580059400129390164086691928656071591766459853991
19/4
$K(x)$:
5515.190880571246912255999336514391254402570922371072652486765400730557421791034528343077394222320764
19/4
$\log K(x)$:
8.615261542252974326957048523588090688543826684701516416520895088389745306415263870896344904909991248
21/4
$K(x)$:
162100.5764101789576308325982432729538082943728538431644612079805492181461815895156248823920676744149
21/4
$\log K(x)$:
11.99597226360997434127644204281342763331449727026592626604688043469606174710348151729815667614968267
23/4
$K(x)$:
9033482.211050281535085586787306698005649761464134894583375565646991570779914446909814441819075551866
23/4
$\log K(x)$:
16.01644847797408607253622367120271759370412689944995339042974612114664623250810119403289562156877822
1/5
$K(x)$:
1.282234050960547414129469329786129292732243403928761058541780587060214099853365498209597556261368346
1/5
$\log K(x)$:
0.2486039088870512217802196610530158920058904428389526705030640592624565745265579999825617217434981516
2/5
$K(x)$:
1.281701428493515182941118259180192976138659092563298770822623383604801044953973219965947147656925147
2/5
$\log K(x)$:
0.2481884362833433432046759536813798016737983975741296411388276072230904927964537103814713178236300039
3/5
$K(x)$:
1.197858284930113131538427966420451287841314718570645961993117295650010080792295446896540330149217616
3/5
$\log K(x)$:
0.1805351996494332058542310109801858607430094362766542473588311023742691454706925890612752001854376759
4/5
$K(x)$:
1.094032028123252710763953537684494523554311608292169599980957898313450655875112431284169710983942062
4/5
$\log K(x)$:
0.08986997973510168314434175456366240351924965968142337390004017013094069581073850040991001054192320170
6/5
$K(x)$:
0.9293371642112746677437047558695056493699587251261660833720651621503236211093499728051371109186850018
6/5
$\log K(x)$:
-0.07328367359976885313993220559222163589922982801475087387946551903237922301497355294346505387513777058
7/5
$K(x)$:
0.8884047356248646613806360284174650521398381651014200441484241814736885854390713984234727389759949552
7/5
$\log K(x)$:
-0.1183278564663186828687349310258246269062420903891753459779595455692236534987315092282369026150743654
8/5
$K(x)$:
0.8816499581375339079273951785350441179634282554631247040820544794898373622186818464619481411640567012
8/5
$\log K(x)$:
-0.1259601746101612040690774468020113001838570415908067147479410323277416712227366895926356737822308373
9/5
$K(x)$:
0.9151705283258569735778233966252199463563900406087190788891549585817660321231641759638546572749711861
9/5
$\log K(x)$:
-0.08864486131626612146869431768420519918043120875698239703699012785897269920387616632481576873835058687
11/5
$K(x)$:
1.156620272843866588963561391191778898560033280985241308107869810553979525856190425503345895693804439
11/5
$\log K(x)$:
0.1455021945529766983141294245931959239376373774826335068518062229556714899618015484757491905852276281
12/5
$K(x)$:
1.422951555779559589167486926700496145993363228369874356986893833807175223014427126225122764195897679
12/5
$\log K(x)$:
0.3527332748033794198376958432779642992498346350495055071874796162795375715634445951922975660774943173
13/5
$K(x)$:
1.870200477207411486722624557892453795485938816249361821317854621959286553013907243179426544385191518
13/5
$\log K(x)$:
0.6260456321830156817724218030353360033375814365087901499710863868818613338995455219072940908514914856
14/5
$K(x)$:
2.636286071255952932274046095703519950151064407280021682916251288423113606683177343966411769009417122
14/5
$\log K(x)$:
0.9693711355075480932728217354297495864044523617215837297651432685824845785093321380859599680233616333
16/5
$K(x)$:
6.554215217741103330840059570093596115942594644388493426338901511682777107172999248750919998289841106
16/5
$\log K(x)$:
1.880108387354371071128734763018867576589069476754212304124829821799739689614075235054575016386029025
17/5
$K(x)$:
11.63314375705971829211417442915527038834562859395389130744443849987881029150002797800015429706546137
17/5
$\log K(x)$:
2.453858244452739265347176195148423182304769368508886878539655123039783690244262115484798039789629965
18/5
$K(x)$:
22.42946259983757787920162180445375993863410486706126053143931381513156078411020828690025035444211781
18/5
$\log K(x)$:
3.110375389254350221549514884717076513064714571787182575687720196774004100903101800307840132754497168
19/5
$K(x)$:
47.10153089698186516815115119171687612232877026320996996519365345617817437240590562398297750452537128
19/5
$\log K(x)$:
3.852305503614791165053933224120221829328006188807660147633925618861509170148829550623446220998471324
21/5
$K(x)$:
271.0195554836544317132393638696791720015699403946237511510688208662224596016340671956149445123840419
21/5
$\log K(x)$:
5.602190978732549832946876051359727201473546862906222846749060690597805290161662747993197192042013471
22/5
$K(x)$:
745.9769577319415100181967365194330721911022184045559271035485096076605446033197031229889052788501990
22/5
$\log K(x)$:
6.614694711967932664553012162948015428917615006787458900847260600827369889761392070843465405600329309
23/5
$K(x)$:
2256.876897775523599222579008247127482389207153951271076015175724323561345721430353891373276785831277
23/5
$\log K(x)$:
7.721737232917781764934582628194421729306282196441233744126435023833135695420419385310499583465028884
24/5
$K(x)$:
7519.910815237416187865066515353178625205625383897023088103669483999697156950524240537418217752277022
24/5
$\log K(x)$:
8.925309557197683489605351999034552240632762235523982314810112529614941284703679742142739342744200407
26/5
$K(x)$:
112369.2929753259768150971337549578847688619381215192057421267315523522680286188091199234218088632089
26/5
$\log K(x)$:
11.62954598494770484492619836934570193946123738207781310353109437742156499686634872212398676833739429
27/5
$K(x)$:
505728.2213589503738600391248158978515787689686482865385158508600808166492317702340581530140518496249
27/5
$\log K(x)$:
13.13375469203448077161804417421533563375267979651573961352429984028643822573259619266691569598617433
28/5
$K(x)$:
2524607.666449591175308444358980218797013803545122952621012831343959129466618852291365688926629287389
28/5
$\log K(x)$:
14.74159622899500861948215272168086073232346541507205663652197745947368128349526583972452876814017882
29/5
$K(x)$:
14001373.12579848205055922929862860453680685864815000385105149115033115842873853187080292104122605930
29/5
$\log K(x)$:
16.45466596318414066582702688577471753350503234737197027729372758870372290751984941763588425975128140
1/6
$K(x)$:
1.266014448112062281780391695367624278354137368572063756571895328577233872256380071462710406387019715
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(2\pi/3)$, $K(1/6)=A^{5/6}2^{1/72}3^{1/144}e^{-5/72}\exp(3C/(8\pi))$.
1/6
$\log K(x)$:
0.2358737360676550716893818270488165705491914078810319901435416392257221497097845378072549192772568767
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(2\pi/3)$, $\log K(1/6)=\frac56\log A+\frac1{72}\log2+\frac1{144}\log3-\frac5{72}+3C/(8\pi)$.
5/6
$K(x)$:
1.077173803355971419560573092176426623920437174093726356351438090555939921852174285760907072572767825
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(2\pi/3)$, $K(5/6)=A^{5/6}2^{1/72}3^{1/144}e^{-5/72}\exp(-3C/(8\pi))$.
5/6
$\log K(x)$:
0.07434076245792981464256357168691337351307048749073848207810740404521459330614961676536111473257118065
comment: With $C=$ $\mathrm{Cl}_2(2\pi/3)$, $\log K(5/6)=\frac56\log A+\frac1{72}\log2+\frac1{144}\log3-\frac5{72}-3C/(8\pi)$.
7/6
$K(x)$:
0.9391755696325357341769235732118140120818581721538300245155197719549041843411679839332322346793289793
7/6
$\log K(x)$:
-0.06275284213702076177936439934796714157130704081613546083235408462942583615493274260599159435776825270
11/6
$K(x)$:
0.9253401603011542945581262382345248710549314043119811310768968173872446861346227573689668001007115935
11/6
$\log K(x)$:
-0.07759386820369904053386811594184882081808729410466733787416463900204284626105531477575988836490479062
13/6
$K(x)$:
1.124220175159232359101247512239648711806043043506823840183577017335869788249489796460009341825089957
13/6
$\log K(x)$:
0.1170896176614472598956568832249232248284693361491971022056643566450481026694604402535510585495726231
17/6
$K(x)$:
2.811322758107621624576289107569035534656995867517905675063969609903255738852011017165527806088057557
17/6
$\log K(x)$:
1.033655105008546122090153286629600728862892335778422189291689865330714286401321907982795426321315904
19/6
$K(x)$:
6.003450429377326684211823737650849755445310331056140104844280747294653011764215638391930314670832346
19/6
$\log K(x)$:
1.792334375500657686251178730124925277673403383399802325093618552965631065631024516913758152081973167
23/6
$K(x)$:
53.75523640163258859815132363873191234223617367485087058983585912512115991779725278914230364421352342
23/6
$\log K(x)$:
3.984441083688335847161815521858136140314327243586185753376969483793027491470433436875206820632147055
25/6
$K(x)$:
231.0158116711667912988644618557548339695523154388182823244145839846061760499204673558136299876320090
25/6
$\log K(x)$:
5.442486156972211640373587296230904281968967185600862015255140548347246224071354269990242608433005378
29/6
$K(x)$:
9278.213341380212937448745053462836147608377289734909089155187441464510983048779794240601383202705969
29/6
$\log K(x)$:
9.135424279375865492139871503337862548905320797106338058592803448809431259523662797131074526946382534
31/6
$K(x)$:
88327.28175087878742906642213822190373671209922536376747016325547122291219202341007259877273230653426
31/6
$\log K(x)$:
11.38880430547281892532792607986287514166985058707599009012981321425337147501723696491019541833387390
35/6
$K(x)$:
18821618.54417645246527535409406979368903054426530585280336646262592402943061629773930498826191246286
35/6
$\log K(x)$:
16.75051668970822411959871242758037432396767820218174502841323415661691344494648127606486668648362649
1/7
$K(x)$:
1.250087373643610725674400728613831422828947648842410806416575289249788704300854520096504903081630746
1/7
$\log K(x)$:
0.2232134477862830177689504845296807060673844141562139360988830933656641977961364074748726747490639064
2/7
$K(x)$:
1.298625203216929340021474508898106587330999326170211603172435978350020640970468080431641219705252630
2/7
$\log K(x)$:
0.2613061688947755866021415956361406462033779720820374371374333886385183949180967022421550674256667930
3/7
$K(x)$:
1.272811524198200649498433752233173010836940449354225866498250964530374387848582905378572639539818607
3/7
$\log K(x)$:
0.2412282522102251876251588673170513810026877042126465690850247161626660399874635404729484999422048041
4/7
$K(x)$:
1.212058620225326653946905598067002222737526468077768510941642140631430507132943665006344485786427567
4/7
$\log K(x)$:
0.1923202530000469151727615409661167978876345264194041960838630314623514964316080424591950063807020495
5/7
$K(x)$:
1.138560519413208651364526993201340871562222478521132340449712034968622371322415051166631514498065900
5/7
$\log K(x)$:
0.1297647622570511463687690941585215202186461854109451659689709459211565700027802076936317876656630647
6/7
$K(x)$:
1.065365500013236507673091654462337171119488549757140020814430615245122973281881293153836513088734527
6/7
$\log K(x)$:
0.06331793278500412172546093592104216888750574942701895995269932816275767164006250729646838399071333069
8/7
$K(x)$:
0.9466993462876071253600378600895919158136164250729439679156202063451503740130833216700176766011082092
8/7
$\log K(x)$:
-0.05477371636447602581752847881934496959505626149833766225245835662541863973987348792336425362063202602
9/7
$K(x)$:
0.9078953976724913537083657828108728497289628492955990936961711158035920133850247365750500808114967989
9/7
$\log K(x)$:
-0.09662610781818669788017858207386025709993191226699282981648379434553481673401031266692926731474830399
10/7
$K(x)$:
0.8852374169234579244312953584414858897893304064311533503946138138946636621734025567555869782304572045
10/7
$\log K(x)$:
-0.1218994022414335039648872069060860582785669408269727466541306336802277755268765884902126759609978123
11/7
$K(x)$:
0.8803284546313800843822173906284132314864671686619322025102017013485958039931333980566507316015700675
11/7
$\log K(x)$:
-0.1274601972487660484106033164777841126758423083585104783264399005095300000327804355841946191021746087
12/7
$K(x)$:
0.8953213726120883266993287173734188031833817308549584355078977534205923940845191171970345248165883744
12/7
$\log K(x)$:
-0.1105725496152438039916547702821871155752705112414430244215592386955583407432280088474572269734025898
13/7
$K(x)$:
0.9335028888581109168643020178062021491777128105372206631180912316921863327886541838944891179983742981
13/7
$\log K(x)$:
-0.06881122135264585338271796556108136561028913977200088227931422052869256912887942296768540181876159845
15/7
$K(x)$:
1.102779255782294208381257947798391177170199218943384119401528983162285511806161310780386130680818357
15/7
$\log K(x)$:
0.09783358949212125777829280224505500136427593678612470792199864742326822101100065953941458340952172899
16/7
$K(x)$:
1.254193131645741045054499501606988357967978507550193417540611527513593938598637039824771154235530237
16/7
$\log K(x)$:
0.2264924428286925448578556427285461881745062983862556609106571565168478280040379721382360325932993896
17/7
$K(x)$:
1.473493676873111608859998822240438981093062906788387465598731112521411811462670503749177598250859307
17/7
$\log K(x)$:
0.3876362319567556087674538091527489102414570006686155213086375820769047200806708578645569047557547182
18/7
$K(x)$:
1.791050179119801834485071154188852775030029787038319416493105719804763201995377805379157579327114959
18/7
$\log K(x)$:
0.5828021400617524699497537091995652118999924584859346437236962639366030532204826927245708528353105211
19/7
$K(x)$:
2.255612267542300477873564673520306272550237895581642070773905732235926063508897416410546188940938241
19/7
$\log K(x)$:
0.8134214516407910619358139206818685035585685121209548696070079659102159582383647859485723334015081592
20/7
$K(x)$:
2.947133558339732386670237627733448850244471058758158015578872641851962348961020598114805508215346618
20/7
$\log K(x)$:
1.080833022830340518378103616665747973987765402702070126788617163676522067934039412883016047193243188
22/7
$K(x)$:
5.646245685654886937343690012818720161796463972655670956970017712850802468512109928975785293730540105
22/7
$\log K(x)$:
1.730990843878328602543975288042627032512862756449137533324753094224896974241423796073895585521750670
23/7
$K(x)$:
8.298240191904678260028974556908455472217616569838337778758211743003279748321469520946237830676416490
23/7
$\log K(x)$:
2.116043467250333533574600196761749714265742430635763839249696900599121256865088474162909882645421043
24/7
$K(x)$:
12.71160581438603100671182222723177683866971392689917531242084060913074617595166188680348662448524800
24/7
$\log K(x)$:
2.542515419816090919831895504196905438979887116535189975629124581371207023199335746881045230562002454
25/7
$K(x)$:
20.31618188414193982633971171900908014258713160048050798352338679785218453893895713603574598966619614
25/7
$\log K(x)$:
3.011417705652513179641561899696832134643012082433087992916869618644380513475794245321407150642196819
26/7
$K(x)$:
33.91013680597640598575645472559820370477369343174986156450228575015982222400960487326744483962471881
26/7
$\log K(x)$:
3.523713990513850482388645217888840267045082241067824151248841057762007950656997985606214879020008017
27/7
$K(x)$:
59.16468383939975982802983199901208869715483112620199019312545474418217045957823040557953367469700906
27/7
$\log K(x)$:
4.080324807112276770749163138663922391243527955293975960201810765171911693348262064466450428616515927
29/7
$K(x)$:
206.4334503186356568233049981673999133987500562078995473295228220107671697669564165267303802016590548
29/7
$\log K(x)$:
5.329978085973479468861704578265880609901818426698830004661448310096400178366990587452711271385465376
30/7
$K(x)$:
413.5079869834781800408993869786173666747042921076922287536014215885762430010998218243103165623285668
30/7
$\log K(x)$:
6.024676829835795943736343344253374991768856496485365943735788362534050944629769574083921261502254701
31/7
$K(x)$:
868.7088608937398373507969644102093675826248839407420756967750948756433809150613798273617515569386371
31/7
$\log K(x)$:
6.767008041390830283974485873981622053506422766780860920671447594560105182201474647121778615299545166
32/7
$K(x)$:
1915.480321322619085438590948424820068986025413746871566651701449682666130723948250026530166526080684
32/7
$\log K(x)$:
7.557723690698539765699297339015387668264862007272996047795104022254302344415959464866440213493938586
33/7
$K(x)$:
4436.180997198082639500685469754027866965015864307543372386096598449334991888662741295575693075529139
33/7
$\log K(x)$:
8.397549149531048660888579119187154770521620396496914256118658147147899249241701743843681563030715572
34/7
$K(x)$:
10798.74282299532773532839955920795125143486180556994846200763120362354994698941047861861526523907592
34/7
$\log K(x)$:
9.287185001058480451487783155486598016421449024570040746217054618932251901405612933965892811193625636
36/7
$K(x)$:
74501.60196139630338773256672711516528903942075677805844914998475609837368373546696629896152731860391
36/7
$\log K(x)$:
11.21857590697400246032737020378634123845402090468248769371946628858937541167952043026207553862397423
37/7
$K(x)$:
211424.2616599706326779677575929776813692028907415059641283493031614072734598208170822898113681782703
37/7
$\log K(x)$:
12.26162211243654767362727455066927577438960214021248554077278301110899540238930748546372609571136410
38/7
$K(x)$:
632264.7999114892577421703997319257623302670676386075478015719345412087232950501732599462691692883230
38/7
$\log K(x)$:
13.35706357258009045047993716170655089710620565647524010384532839436859777780289477529497808889878348
39/7
$K(x)$:
1993691.622744987702250386558244412825209733930371088528278082420156170793617263778600363636492214719
39/7
$\log K(x)$:
14.50549856495871458618299043089060188879247774313317928045343498238864861685666488311402026558181018
40/7
$K(x)$:
6632606.216858427884337455412295675616598193128968512805706390756120612810225859600500362888152018389
40/7
$\log K(x)$:
15.70750837946940704683294917028253820901586589819463989473262564192020007703207625831702368010790795
41/7
$K(x)$:
23292879.09960700185762544979452034475466048368045194432686521963813808735386354627157397225190241241
41/7
$\log K(x)$:
16.96365825378259971935750827837176869026502419462442946058704580648876838578145990208449133678872616
1/8
$K(x)$:
1.235379750735697427398865635841561523786791571561887476196590583325585870661683597291988432023885033
1/8
$\log K(x)$:
0.2113784132886824513006478543741440625715720458782589927687430601033030456257020691178923470253034066
3/8
$K(x)$:
1.288189224700772095410252543987117835003580024212467753084003200457962032241864029830279939123244672
3/8
$\log K(x)$:
0.2532375304789736008853693467802138846999694845879268599389102221507169260789384831337380880079755300
5/8
$K(x)$:
1.185136490917230195484689043685782942618189197424564549927827003006036747301154930877103638746769286
5/8
$\log K(x)$:
0.1698579501627663195402409192344017142793211543444506742746296012804978813277603673915703969431606730
7/8
$K(x)$:
1.056655368576234552616586753232459099034631217408856096898466656959611529463429234297326302157249068
7/8
$\log K(x)$:
0.05510860696477047492092331271123316243490717713832348953921204695514709165441423794406794988470503495
9/8
$K(x)$:
0.9526080125371780597241252041472940984832125730040851660149338414104422388857093860376962722434045541
9/8
$\log K(x)$:
-0.04855177942129703973081419117267215045674050450683672752651194345671956261293344923430640059835360119
11/8
$K(x)$:
0.8917464466889431601702640213174924072775327417090724984363792105990656798776567315067779628397245268
11/8
$\log K(x)$:
-0.1145734394004237379357998260142876151421592073838292565463444134152905386799897093452522468078459602
13/8
$K(x)$:
0.8834732030620420307067979200808373232156718011912031603907428533082782091697889286014337960059202515
13/8
$\log K(x)$:
-0.1238943181158184014915947252333120761587407511632043510062404843482532925481311214755896673668871094
15/8
$K(x)$:
0.9401354093603092618430784538869685874691370879157982349969008410448817024665573260647800114873911882
15/8
$\log K(x)$:
-0.06173136158168682033212735560369806533083153717321801262560659676962878610797378120712209721650643373
17/8
$K(x)$:
1.087579011606312018409798475390052877621866831131459203765425561956831265098560670810729053704083779
17/8
$\log K(x)$:
0.08395413569213434662532918198166476774530029712848805621925527518743912298121706106154031911963052813
19/8
$K(x)$:
1.381680401839627300974695181825990941798332070916221314128891492884242147197578102866807456454016780
19/8
$\log K(x)$:
0.3233004408875613588032900926727868288012496625440664361313811474789995035757200692587617528355497919
21/8
$K(x)$:
1.944599187421885480586948665974517696859477609527531716683356016140220230826728808256093396549729250
21/8
$\log K(x)$:
0.6650558825294454111863157752017198872817565040658878493363934241995828847517736814701354416163672081
23/8
$K(x)$:
3.055398038084839971201647919108044818883686293659139670295438207217440008507103459283963769932806470
23/8
$\log K(x)$:
1.116909874835264687938450530222896259569027542221472133534335021914419492049243565079427250129097886
25/8
$K(x)$:
5.396330662962130205530248208476010417475958483364052476670855679804636760983614466159987546957057049
25/8
$\log K(x)$:
1.685719215741942169620735470666183034388918342326568484206550407666926506501392221012363204097155159
27/8
$K(x)$:
10.77974979303886256162033116257636359855726011396440288215751012395904922913076105242097902743048898
27/8
$\log K(x)$:
2.377669354918247121726951378016930932202086950812678694549191641310640114444113781263111709548448896
29/8
$K(x)$:
24.49314382829030411261937137526048046653007061196423318890038523130025790952645642386586321091828338
29/8
$\log K(x)$:
3.198393234643861465339682517178556178684203075415980653645510118823677771163458162059806656698779535
31/8
$K(x)$:
63.62848919086496056151632554579081013395739716247338775388674856060427378733909563372037034009152175
31/8
$\log K(x)$:
4.153061313302041755284237874100437200439682288530523324989546650297505084766921750299259194724846797
33/8
$K(x)$:
189.8912140785574293942136110437855018085870670595618523243622998676648499751604430334613853511554037
33/8
$\log K(x)$:
5.246451350705582235088930164659450455716113046877411238779224640379979973708365291145731251588102530
35/8
$K(x)$:
653.9321334003182218134973057660892433371563282011405124094643243203019410655808985344285348782810993
35/8
$\log K(x)$:
6.483003574513411489254334172093465939993489988370432445391086673269659410839370575349105041198747083
37/8
$K(x)$:
2609.372447291969156702988610701026695528222535864364457172805137224132582815368827517306181681921304
37/8
$\log K(x)$:
7.866865029755424573966644313632815570780748427218152051174170040288102463867742838034498766827455840
39/8
$K(x)$:
12111.68243957923152094148664511859103353455207182702648455806353671919635222852998105392082306655114
39/8
$\log K(x)$:
9.401925756672619236284426219750768787055506582204849886393924070777357218684731706209824239818815248
41/8
$K(x)$:
65633.97039760537476569576778592272855143272299319746429037229920321828705393569904402172704963977190
41/8
$\log K(x)$:
11.09184868232549000231158652302609231921723820767993980521801544931751406000225661531143823912493465
43/8
$K(x)$:
416688.6581094695081010583785749174314392047945454950290346009019958623219489338549362193399213069803
43/8
$\log K(x)$:
12.94009459868031415186740291338338072408930234173748996793482797984531309324843319984999052235035054
45/8
$K(x)$:
3109409.035829854094241830291835277106515064031573995667166168536524672980960918296695752731993457709
45/8
$\log K(x)$:
14.94994324546572146100499110692105882177104290361992765710745605908484353886864858647361969798592661
47/8
$K(x)$:
27357773.40102398343104236302522737365524710714693149197229985438849413085341095442231155289681483134
47/8
$\log K(x)$:
17.12451126586544541986997825105317748753351481727803006462846067290365043002516482855587637148552213
1/9
$K(x)$:
1.222085441096761534077390115550477754083351303606410553131369590921135803287648628096786509534365783
1/9
$\log K(x)$:
0.2005587773696326983579521490883724271029257518998865204351726727858285010429905717273969702186268644
2/9
$K(x)$:
1.289650296990841212920950058746547501002951021922578775914074820054645748120325903010901950996508095
2/9
$\log K(x)$:
0.2543710940186952095343774625470998718223375007982057248908609825594660636635077001220708950044789990
4/9
$K(x)$:
1.267275858245633269609273591587420753434362253012858631800455035268141456537665976845951694962346344
4/9
$\log K(x)$:
0.2368696031695467916278249006975086383110121572317025106458861273626186065815922238497556128485064861
5/9
$K(x)$:
1.219748077832668067394393390456088456567060173427554510984089139042219192309805370877521692298458171
5/9
$\log K(x)$:
0.1986443438426502832160138712770980946484662686789285380100650752036188929023907671008659188098668791
7/9
$K(x)$:
1.105446641573782918220564631646334349687676366322096272661415306531423271583230295213603498492061277
7/9
$\log K(x)$:
0.1002494538219526409969678346991040937108159808334359331282379861946797156293325153778471136334780963
8/9
$K(x)$:
1.049974817073265016054468770625643895697746271110003019220417617726050688738510791959683572932905495
8/9
$\log K(x)$:
0.04876618014206991444417171613591981553481213817893658840494089853992907637609797238941981520966874732
10/9
$K(x)$:
0.9573585600723248959771671806015775390807547788910229771045030812336570662485878913682049884525304550
10/9
$\log K(x)$:
-0.04357728677883612195210234800552217392984992761628002439475940135583689745003364313340653085109137754
11/9
$K(x)$:
0.9232379034383090455218920427830170564468350921346695783856338478438251874274454891100134412884232282
11/9
$\log K(x)$:
-0.07986832748714347343745772687220564844865827282073730829774094139199948399594190390934425669130888766
13/9
$K(x)$:
0.8837829074958790047731099477766310848967432838295322787188715066174449458291304139777627618849079190
13/9
$\log K(x)$:
-0.1235438262599326590192978686041350386418682191794034427887932718765819900841093328326909896557720928
14/9
$K(x)$:
0.8799380221851589561061381450384970700625172503743169180624725617393722994516517600382721059904887359
14/9
$\log K(x)$:
-0.1279038033251936102227256512889373330011891543082832295214575780190531063918093268530772098202912135
16/9
$K(x)$:
0.9091753276233821692824874129868841892609037389406480552469335451291496373759048736640390802172516393
16/9
$\log K(x)$:
-0.09521732372986319720258373339124054602310343054939340076842752728997151390356089147959856161953840973
17/9
$K(x)$:
0.9456054663192970455642430080928430937391423847195119866721139961050500567202390752310992690448857046
17/9
$\log K(x)$:
-0.05592985155249315625697860339343281119272627298971509257936900261101111964890983821470598802429402152
19/9
$K(x)$:
1.076257723285067814820605771811261043347747941514890730035452634073518811704570983576842677633639186
19/9
$\log K(x)$:
0.07348995284097087941178763070482537974361715347624672289850641385814535059456029740966646410683542332
20/9
$K(x)$:
1.179860080802093195566569677839494962453632281532515079260681244577574071899960575515520030441643396
20/9
$\log K(x)$:
0.1653958558554857236720960670523339955284509628693850238401445542092711173636366041579952079894551959
22/9
$K(x)$:
1.503227088448499031833233827348705463189069847375198871996040039743140378434008170458091014598310172
22/9
$\log K(x)$:
0.4076141894766368512494755292140286882063238673196195314718221685734390156418350219984713436297089123
23/9
$K(x)$:
1.749607696032216160650553767430742577066495708709131583450333161416834044218236229416621802811198025
23/9
$\log K(x)$:
0.5593915891088674169160878459097591600928611208197884979840469653347011798285956392633743927792159551
25/9
$K(x)$:
2.528565806767732293563484315172148906595324109744299636848910444794317221999522349459667470065700813
25/9
$\log K(x)$:
0.9276522672098023225813060656979236548782644304204236890330504650630700886592140928336846354617248304
26/9
$K(x)$:
3.143642826664756473826814794218548975583793458746123877811931790937270765979052409853928416192894150
26/9
$\log K(x)$:
1.145382263363056161165660335326264649583359532341860465762123686313896415815882039763369244528001433
28/9
$K(x)$:
5.211890130448871546172594425228616666428132986181949151820969363350914072005856755585179501558056939
28/9
$\log K(x)$:
1.650942578926993153539810097684074316510902127633909876932157504252787372473738935673178754059861940
29/9
$K(x)$:
6.957758744413405801023539582323743221428897820148164952660037443495848509425453375887064940829181309
29/9
$\log K(x)$:
1.939857403006089302882614072157865920820940979188339083139298427955888106718812742146059702341794770
31/9
$K(x)$:
13.36316887016740500638218368852517384622411849807489416227490411421115508121696082315254363655554211
31/9
$\log K(x)$:
2.592502330863983779599594969516428475900653778247154816931477627426497960953579120725260627871371649
32/9
$K(x)$:
19.24385476197968516632430466428256309114316213905287405653267514784115977058927659898418086571884609
32/9
$\log K(x)$:
2.957191776624133759624313871820684527913992407651293752003233002532935309783523237305252214788905360
34/9
$K(x)$:
43.18841980486983060657551343242286482148129658693159000692661421724956594792561849422876679681941421
34/9
$\log K(x)$:
3.765572399243083895945273267384934404201102188452469634466125786377985058042818524814340875903099953
35/9
$K(x)$:
67.36485771938730748084522287774436665533510256671054910109823862773318605414748559041967133393267963
35/9
$\log K(x)$:
4.210123483120481631130766592952879966608966315713977148409763483528186668513555483398187966866395207
37/9
$K(x)$:
178.0369759669377798521788688727699527162101996845435349818662028601417822228027100208132380075604190
37/9
$\log K(x)$:
5.181991258870500614893270358840238847822780873677514122540837731606409435486932427568767865469956638
38/9
$K(x)$:
301.8973306622186600327280628452121624825957155029652860704785988174764911780913023357085202946942415
38/9
$\log K(x)$:
5.710086994879132045926021316267748775241654551415017981818872744252107400754190251794718874621947560
40/9
$K(x)$:
946.2080690828333234296561782597656227768833687133256327450695194000134292888694239613476400360618382
40/9
$\log K(x)$:
6.852462491043620752632804899696037346545508473790253163254501134226473264839171593221442069312182320
41/9
$K(x)$:
1750.145606483268107289342538183768275042450826875487609207023378105552363005318621899833441435523317
41/9
$\log K(x)$:
7.467454267161048121564474346294751838429617496205168835146384576548862504134654416974888216049809396
43/9
$K(x)$:
6546.937385326792012677586081106368987763481530334447435257148054257475483203413073022243902084748980
43/9
$\log K(x)$:
8.786752644522864810811205825888551916260718751143251711160568977869509367524582317503752798549717014
44/9
$K(x)$:
13249.49623091006798840952953074649867933144258112171900850356843733437571586728773955040294684968240
44/9
$\log K(x)$:
9.491714810382903896913739492825219810538930080955177175253399938504515473045535311561480227630344497
46/9
$K(x)$:
59506.54808689026668337798851130223766059544840241527811939851062427486016911355235329780249113301390
46/9
$\log K(x)$:
10.99384163735896586804564728060653250564373303437963396992910312215819198442763196880390463098707507
47/9
$K(x)$:
132139.5283268713380610107018387452755392080477492592789998581182410231600040322957060979796517611555
47/9
$\log K(x)$:
11.79161367608205678949926854082743660287278062258475536284015718734683118171792521643538861295732394
49/9
$K(x)$:
716432.7918099159730586736548794897822775803435561346719017001986207974555872608325074192285169900748
49/9
$\log K(x)$:
13.48203972116680706401931700527677483302160021469596241127805336835701223008150038300140806688983341
50/9
$K(x)$:
1750233.029072150857867890846387879572406709845029317250085445653743239346716549620067603890996457152
50/9
$\log K(x)$:
14.37525949650456203980082866483770776535612899663915905027358946125826152954643469039916720510819028
52/9
$K(x)$:
11514068.76707206179612275420222610003915484293880161342029582118776066331520475900030047229044726671
52/9
$\log K(x)$:
16.25908021667461489407133223683679768618945963749329948938931938885377995193992072927991957673093076
53/9
$K(x)$:
31022107.16242497056598246836544794500676412441420281304847727156719113329758695357193697153308742135
53/9
$\log K(x)$:
17.25021064256177482187600207833666038540781278190482898854047979151166884885419767419927950587393911
1/10
$K(x)$:
1.210148676309977592133447736446212832586409124465445768841290206625183736115915661207182330153178406
1/10
$\log K(x)$:
0.1907432250438355566743962563747294217925311887550243379689499201105097019225026788766168723067471687
3/10
$K(x)$:
1.298535425939353355094273842906692148773833715608482526658130889886372007871772305002162802713356856
3/10
$\log K(x)$:
0.2612370339505569776096358301840013947463604647563111049380379740996123094939179563794560677111597788
7/10
$K(x)$:
1.146059713682846758559432456784651567191536186446840207109593491952985483953961038655330014766310609
7/10
$\log K(x)$:
0.1363297231155625076489803950452448767251141622475195052250123373925071044409790174669024153286809930
9/10
$K(x)$:
1.044692959761823977263206101392253666271823237794519947553768583858474312692797077826217252646131097
9/10
$\log K(x)$:
0.04372302383395065000601236042885873661842183587878429588744147069593041523883180777009489906776736577
11/10
$K(x)$:
0.9612552618072304383398071435584561581243662525272271514008203130241263559498996558946985078284164687
11/10
$\log K(x)$:
-0.03951528425556901172740288909370699896757896010785295963438286998624755904523256914698284820221266109
13/10
$K(x)$:
0.9048783109632347391356285231576449219833359355840735257440259525258358366181662323047765952152774154
13/10
$\log K(x)$:
-0.09995480734722382017718803514455015613972281448549595235155209609941118544370509762925836737160008406
17/10
$K(x)$:
0.8928445962180237569454509455052603912133175145237559803359480832619356150283616547833643764305163506
17/10
$\log K(x)$:
-0.1133427376415501575898667028235842578496975690853187460767440883284878184067192312469346792225277470
19/10
$K(x)$:
0.9501822789079061238327922971108437240450735940981025850995409154753426081687557131147616838151264150
19/10
$\log K(x)$:
-0.05110144025809302109873852232652278185708649980616236942010383962739520567728928406979422684815334292
21/10
$K(x)$:
1.067506882630810149139046349405443197468825051264613544749924894485477588895197715552506862271682537
21/10
$\log K(x)$:
0.06532591352918833432094444651513460247508694173165565946938091899305355661424008697598040500212748129
23/10
$K(x)$:
1.272672138922468538254577853357415136111894742853101507985593302257479257837223991775656285818421668
23/10
$\log K(x)$:
0.2411187364605145474689567478006905602256935784853684301498807965052484894974699112833923284845584635
27/10
$K(x)$:
2.200589522331191295462484435951239709941366944054727778995495623861268872638161128498148428269292900
27/10
$\log K(x)$:
0.7887252891641395160037566745973116997283750216415333330719026344265361240033647299024313477889101566
29/10
$K(x)$:
3.216908944787485773728100630512767735023667816077682810492098659777839573591823988048716416458933051
29/10
$\log K(x)$:
1.168420943469457053284229834360106944451841268267513731338697597711872969857715852038712012731515692
31/10
$K(x)$:
5.070271352940310314613412781708000566991936494030896851408605650632498973402641990981524287097302205
31/10
$\log K(x)$:
1.623394337460880690534418150445951178510381919160914754206969742468806803830224171269062206457338648
33/10
$K(x)$:
8.643518374635884136522561473792741894052058664354239805026470805634333715386500266887081857341632655
33/10
$\log K(x)$:
2.156809719211253763083107915190103955160634878772192791870087992490715953004595292596921268730370450
37/10
$K(x)$:
32.15297805122585621447665541268636870936382370816896112555260203327823794071663490001775553942968812
37/10
$\log K(x)$:
3.470505076291904669456666166021986546850074520708116856832941404277793852945245664941526508038224670
39/10
$K(x)$:
70.53309841762383975825176687990056951078454032790675811202387322787453613066162677520752308813462220
39/10
$\log K(x)$:
4.256082080747499248463543509624994398342734401620029929714890704669976667093165425905084750943464253
41/10
$K(x)$:
169.1423863672939020024821858327723655721315351271177747632798166245710349234664332111577476431850983
41/10
$\log K(x)$:
5.130740883083292432459054047005729487341777988901553640949479274141774105282840302400451847821452478
43/10
$K(x)$:
444.4128021950969548869767111286568060240854887383548258418292619724744499785976513115274906640711698
43/10
$\log K(x)$:
6.096753865170287782832459203860963584825351425105791839905870660432350467604422851648743019228706770
47/10
$K(x)$:
4069.748606147274986757337333533151421419677506128475003590855138520895242390246647368380147594592688
47/10
$\log K(x)$:
8.311336508997566082752051766506193485156286085301910650995805091111837261003377430044716523793735011
49/10
$K(x)$:
14241.14569695451202888937837202847529622033055841967425272683404056764787089727436363557656011105925
49/10
$\log K(x)$:
9.563890637976342147843434282458566795564196756041345938984497283670183435469265423450138282285495042
51/10
$K(x)$:
55038.45904952666358361547952357147973135350514055244857065789020832882746232072129938894650510465940
51/10
$\log K(x)$:
10.91578747529536712383901891225320734852054481006072113705181281224063873286889090787836358657924538
53/10
$K(x)$:
235342.8021536488675523295780155509728612740307699873230012744518645699042007012787890803334989904002
53/10
$\log K(x)$:
12.36879846277820976248831875610533974504490061899275632828680732544008269364564887234560062910462242
57/10
$K(x)$:
5867154.374856637298172846548253429792736161703331680707653136148259644824059155233418508079724095039
57/10
$\log K(x)$:
15.58488029996282672592596007741889814124254644824173061968155318655629159899708581420577150101592912
59/10
$K(x)$:
34316716.09222945259224311450908087027375018173314748809030487258565066146454790412455841041131939647
59/10
$\log K(x)$:
17.35114314304758868618773304024834352876222981166259800332321403831736030302051709461280526350760434
1/11
$K(x)$:
1.199436248993026930429526640548961925685540341845578791951473187332112875763827577359916836341913346
1/11
$\log K(x)$:
0.1818516539010704431795303147199456385308394014194467046773904333139873905319883852220487303530787491
2/11
$K(x)$:
1.274201514715946607133875608537680726337607356032341986272011733097060196825871334632386432901573196
2/11
$\log K(x)$:
0.2423197194579389544144278160657637468726013398430719225917528210790355676932798125858905411290270254
3/11
$K(x)$:
1.298090337759485727437285666363924499493160369577194025895866791007600459473942983503087089388730820
3/11
$\log K(x)$:
0.2608942135176327331079821456041793111999187537130760958390214933765149661800929704668950894260857863
4/11
$K(x)$:
1.290690745746124452040705504994391085959139994513165080720242757654966420254319067950011889404829968
4/11
$\log K(x)$:
0.2551775368837574424155002399700115263843618844054376169816323651448942214824431515137443810979262757
5/11
$K(x)$:
1.263553720383587231002493707015697620495584389284284040743750273755907151485486158126145315463582615
5/11
$\log K(x)$:
0.2339281640642373484342934338478016242603104131199458866544953766083327260006143872207194522740626186
6/11
$K(x)$:
1.224553482172387114903539872912381672086238134874906275874580922975866421253185354528472222589978564
6/11
$\log K(x)$:
0.2025762731997608056547843675812538245369429939688891088122917666998306332384069509242683204028691560
7/11
$K(x)$:
1.179284445743987363024284497361589755376599250568913827219167030040045464595638511494904392733609745
7/11
$\log K(x)$:
0.1649078526296957250877531609815902921741481333136911728021502558511383692922622721895252147808953054
8/11
$K(x)$:
1.131749289359732113719783676317186045335271452727268233682291560838224546232652998004630908584832896
8/11
$\log K(x)$:
0.1237644794209722291932217888113856970603928148151911981416900897395371057208425685206926910509396247
9/11
$K(x)$:
1.084793168354651457980060285549314908450930829198301150429576278591205412800325846516161415095165168
9/11
$\log K(x)$:
0.08138934057598877496169565179987632917155965362763534338190262939079594172563412441085090401212532981
10/11
$K(x)$:
1.040414496401842065940422765369338171174734758554377500266061723145568622288418076986204259655918757
10/11
$\log K(x)$:
0.03961918798418014600522295313060864829673279987022973272807847671614060764926789255628202222155053197
12/11
$K(x)$:
0.9645063861609391241907693355983132750549021975154416193477054234084772413176773906081226017820281581
12/11
$\log K(x)$:
-0.03613882544423596991701001054961157054386122166577303852429754024333748436921495233022897037443350463
13/11
$K(x)$:
0.9346020276962898074699809622875708452720734092526626297415672444875786338309145376190996689172932752
13/11
$\log K(x)$:
-0.06763447913086563370279244875368220435398170008004842669877221521863352356918236877214425541755772078
14/11
$K(x)$:
0.9107783719877552143978776398454710583074538245195513226186957410548931412528182307009371062133017931
14/11
$\log K(x)$:
-0.09345569124516568125566285649834894202941296340910601056567124539432485128207823304258826144361495081
15/11
$K(x)$:
0.8934388905251131425875151370236265163333780525112966709009686985327188105963576072284209759175421429
15/11
$\log K(x)$:
-0.1126773400902352576672195182295434422231677829461648073737158858164826439625922237092840021783636939
16/11
$K(x)$:
0.8829722152403256025519696812409123173539362365722765455997579814928464504211349297380814178033354880
16/11
$\log K(x)$:
-0.1244615451922490922298812228517173122379193594568265921209227223263921086382851347996991067756897362
17/11
$K(x)$:
0.8798153210120442012489500556996410363892925958312483196033888148763571456253049361381647335983091265
17/11
$\log K(x)$:
-0.1280432560204113088449244794647972811532658215335176926585409783909070260661019748551365666112130341
18/11
$K(x)$:
0.8845121363825842625427555671259380706545450177570385277380468556690926967939933806726537791988055320
18/11
$\log K(x)$:
-0.1227190442977043360664410064414685252160659458216626369536900090898576605375715566297269184830449537
19/11
$K(x)$:
0.8977728136939635676807822911942492023885489213804627960170042386996896687486294563125481679685558091
19/11
$\log K(x)$:
-0.1078382341197802186687761847090503724633936948987371021176027689152939910094502069392816558678812690
20/11
$K(x)$:
0.9205391261464027615236427265153932357706577214751451259915318341374446085358060402296093348021235663
20/11
$\log K(x)$:
-0.08279577389304399335131143338927830853212504133847960623106204121831908893656305867554989465846880878
21/11
$K(x)$:
0.9540621813748421326085367694688796871220892502214441820808108975027571369679205478887585131784654792
21/11
$\log K(x)$:
-0.04702643001975154494382443167008689008563571404671953925850316706840576892880868275195207133575537083
23/11
$K(x)$:
1.060544734640226162683007681452091919835378735910372896524058883900813485795719911111509691534532162
23/11
$\log K(x)$:
0.05878267672626922953873460967629701961263038481332818121114243447707114826143415859008488504804068350
24/11
$K(x)$:
1.138592756177215651918253760533818146111167312193673777549192828567356088479727986045757279746601543
24/11
$\log K(x)$:
0.1297930754710580477417593900465415197174995890741578674472470047747831640985680914295611464635432852
25/11
$K(x)$:
1.237976058983150144617775072733405258663461223375337635535240848724293942528286258641386311254565744
25/11
$\log K(x)$:
0.2134778356126918629669715086932126916498863220514203297126046004425476988378655655445517063875828604
26/11
$K(x)$:
1.363781285248565423027432445077454524860541367836644355375650947583527929499420941278677301638737635
26/11
$\log K(x)$:
0.3102611985059095449701363802026166182559936599909033723018857268850168883279032559662090772365593627
27/11
$K(x)$:
1.522794461608562305333408998835575661754532593884492538421860350089983079491528450439489970879313025
27/11
$\log K(x)$:
0.4205471085407119166530059158647582840970532710938699042632988468997909662206852642525170386541865674
28/11
$K(x)$:
1.724127345690873386254249403116571784211961845755345956204547715804196409819727114253698544056586099
28/11
$\log K(x)$:
0.5447210359235317925358980367566529923040464236502613441903127024072040813966987208930164079881286617
29/11
$K(x)$:
1.980108354453351525631395048980709035243085730322655241343274589672227642647771859968230573616001878
29/11
$\log K(x)$:
0.6831515676805042699902882946572384016819285204719796978360388470447382049975345209161569283517246214
30/11
$K(x)$:
2.307562572766244318689226311795904254896696987437013927044028926401902627423701902399117224612839972
30/11
$\log K(x)$:
0.8361918041523405452398231993392914921636768269078557363431661418388571439785726055282610569002093658
31/11
$K(x)$:
2.729669640632568443964050724633885878228747113013415000387226494825938228760675749897934128203815196
31/11
$\log K(x)$:
1.004180591117175005509197654206015283931319993300813220924283779382394743306728728173187967311316999
32/11
$K(x)$:
3.278688884377621764844048954997103821316982625165328382666892785042010373316864970892993746684685410
32/11
$\log K(x)$:
1.187443612109894046075424882003740275707113113481558893876574311416549792271761494821739788062276021
34/11
$K(x)$:
4.958161528075432954733223057486832615270391198626163098492897467144459313202108266897140905833809982
34/11
$\log K(x)$:
1.601035012363352900005153958625073094910402166701457911751283922850312176229244745666172779180611641
35/11
$K(x)$:
6.246099575605535072323346575649055715408717466337674655987186734618144757413454572344546403713582645
35/11
$\log K(x)$:
1.831957201033767303563573259134380303104301277000189952272337884019368331839200238228436116209768798
36/11
$K(x)$:
7.999209519061544767592865551322425696311050000809058619068870718040236132363335265415481427787966827
36/11
$\log K(x)$:
2.079342726680487783738733073436953553535104173414189122000622950028421224978953784147308634077865656
37/11
$K(x)$:
10.41726149113839535811482074360008595324398251341222328072271852793961957488767884856947595816393805
37/11
$\log K(x)$:
2.343464189033264002845425072158754136395592919514464743060986007492598824682682595074387744808478272
38/11
$K(x)$:
13.79885426707824919200577203596592561510480981457556630525673476897856632841758004756781057094169197
38/11
$\log K(x)$:
2.624585564591701036047768423652584736938930555396819164227745472182659139407042997319462404457928370
39/11
$K(x)$:
18.59630176413321212470955926359443741276178251975199561021368706957867218135035517627163020831637417
39/11
$\log K(x)$:
2.922962731064562214043212167215134796582099882033781944326777145518678401195809230518584812368680943
40/11
$K(x)$:
25.50422043493369534807079266340553824948266654662575125000936634317743447899687380219609048310665845
40/11
$\log K(x)$:
3.238843945721867998219245128976028116637508133160568807598763995486011619498793883309889637228218013
41/11
$K(x)$:
35.60443763904921935935271705492335595027375598854713183693328202441608720672421725586194868934621604
41/11
$\log K(x)$:
3.572470282871753721652440781998638616964272806491779152387133029496566086658730971077056289356651900
42/11
$K(x)$:
50.60629800052847516602432951787232938789638052339544399234167664917614967857096103100942781887257000
42/11
$\log K(x)$:
3.924076034961724710771365212741839395701792209013396738440889348807543977235251463928016496705590364
43/11
$K(x)$:
73.25079354407793514369205289113697078069644125617043162174782647986660960675084417661499522579744881
43/11
$\log K(x)$:
4.293889081204747873054965330951386939142149674540058080450632022940606478628814192870501757457064810
45/11
$K(x)$:
162.2305575140334859573112742751755258112135589628726573130690346926056151316856890175447247123347955
45/11
$\log K(x)$:
5.089018517981979150056425548302337579512936163273441316367456768335205586333902530853329011822770975
46/11
$K(x)$:
248.3307504257155417346725963287609666162390118580536607424035543230029112008068538925969554035458817
46/11
$\log K(x)$:
5.514761528687086371522291209556955978280144281268704564124288941277684961759851254318965062004729900
47/11
$K(x)$:
387.4417955462089845666721691333480119201233135182435049752636195128788027005992476441911357695365490
47/11
$\log K(x)$:
5.959565632469453281217678618588399811941820818453218259611397057003264809768166826676447216099320511
48/11
$K(x)$:
616.2367661585926442410178337459466567243290132564189816286986633052888152018008721106553127136930210
48/11
$\log K(x)$:
6.423631250332954394784300294290914224659203567652474067767782731702543965942100871073185249333274015
49/11
$K(x)$:
999.3989847702139896431410203443041512123011713019658568296692411003481525147528529903570066780887667
49/11
$\log K(x)$:
6.907154083070299087306314520422969337726617517709068446293450599213593921642034003438439323254465105
50/11
$K(x)$:
1652.964013920318413739915096779649655763467028302686143983262536244695987498380166261572076073693134
50/11
$\log K(x)$:
7.410325327420903982414555341795669830728555727231603428369660170213680958337765130039247785078852276
51/11
$K(x)$:
2788.702959850219815395270011468255987055061570627754271572538476220993761563632360655741772973730688
51/11
$\log K(x)$:
7.933331877778470757457471018559984640020762327385537204166473853027052454784267331937777459336584857
52/11
$K(x)$:
4799.929525990919944568693175516590349507828410946629118680223049040734288885833193212048446854030293
52/11
$\log K(x)$:
8.476356514702974417288587290904403147031804464122439406426087870069802876857753926384125359187873064
53/11
$K(x)$:
8430.219438816853396885292391665327602577133881891128466079253325216134895678386468517909813705619086
53/11
$\log K(x)$:
9.039578081358988892402931940202531532666472195263655484080913432934048928975226187752332918578888137
54/11
$K(x)$:
15110.90048641697278617810424812516806410034927335065968433121232204638842396444327760362326125624170
54/11
$\log K(x)$:
9.623171648885952492570297532894192633388464331867143927618273377401359083016926756042238436866027293
56/11
$K(x)$:
51645.43735373803114606994261358423478026218908263675651596680432650412273209913739604426103589560660
56/11
$\log K(x)$:
10.85215713286722593185813284919096837087197277408680270339982933495672629182697110709005451976008051
57/11
$K(x)$:
98506.88097188513770478499371997121976827091696694309299946150361978641405292729360581023644057124767
57/11
$\log K(x)$:
11.49788168230284318819991877900688286810050658873330417880014286681472216411419578464111476316398633
58/11
$K(x)$:
191883.5132544407598871887054362521258133309343172146770355798559488100500885091517947924690071353890
58/11
$\log K(x)$:
12.16464376509212037300616346540031683253219822389793847098877978161994623802730545378325150112743196
59/11
$K(x)$:
381780.7400609662894034863494853070616064651325337134477789139503855740805067909162372609487845939748
59/11
$\log K(x)$:
12.85260174390177062024857728973863499758044389344019752812638634979925010638203301458742970662827931
60/11
$K(x)$:
776002.4947209028400908868032047471081745519939832000940885930479795815282855116003182377001909647962
60/11
$\log K(x)$:
13.56191101400671247287807211470844913892395094098988252659439759434856837418332394003051679320740191
61/11
$K(x)$:
1611577.566365644232453080888257135786260799905927265678313028879955314690171582108143778237084364120
61/11
$\log K(x)$:
14.29272411210170177585458811427486322756944658614011944076696963980994447411855391090777676317041190
62/11
$K(x)$:
3420135.811630353038079812367159980994944954116150239140079902950378688610101630161340791806410429655
62/11
$\log K(x)$:
15.04519081925335408534153012022877281830379164920598540911934498774067750027712917468718215545282236
63/11
$K(x)$:
7418283.531563543001208456646233089787305506052017782736028480959489358069614481706734548823851275610
63/11
$\log K(x)$:
15.81945825840469752301153470352805832330427634559985971287841211252646387160586944201001842195114468
64/11
$K(x)$:
16447285.17841117294152744882116576233625680794224937939736282232249928582451236780397863029340488421
64/11
$\log K(x)$:
16.61567098680888147189146418896509598162359561759196663635062009902803470457553679769406723981654098
65/11
$K(x)$:
37280131.82063875955906237321008548580654237903836986168030444125275498701613942984093994802298155756
65/11
$\log K(x)$:
17.43397108373675315940805296290089414598831046915065914959414122002557320996814355333218550100138445
1/12
$K(x)$:
1.189800970589342696636473780491811363672970084308050367162557015611239861547297868383882639598330216
1/12
$\log K(x)$:
0.1737860415297341468745845849688945650275890325727452836653873379747882442987865222149981804804706598
5/12
$K(x)$:
1.276692493959615479639713104047231746507648017858542387661638644584344316615787852420153755863709947
5/12
$\log K(x)$:
0.2442727445753895528155675175029920763659732010574439940454152942391972475404195161735005912954301555
7/12
$K(x)$:
1.206192880947550241202736751594141607031391778101547242722047957358288040165329315033126492381270686
7/12
$\log K(x)$:
0.1874690199675479403644772625206695693369813798264049476414399966637415910145152925250984343305568932
11/12
$K(x)$:
1.036879612190411520518660301461761253756466417088680587830563852548667961804808401468979209556264976
11/12
$\log K(x)$:
0.03621583011702990590008520230562045948053675114655948322869492280907880957106483804564912124325454945
13/12
$K(x)$:
0.9672584855108508945957648768776575632025643836948781379055671993561089910372280310360692555640342438
13/12
$\log K(x)$:
-0.03328951261926587897789120501767867170561853630585971299928385807723521713104667762544702025341012889
17/12
$K(x)$:
0.8864718607018652609494839601962188435137618269235508574914999147999350579064493432969279957449168958
17/12
$\log K(x)$:
-0.1205058959887354203631617102522959241643974123903652718143373979066788147305557477661696298351489499
19/12
$K(x)$:
0.8807815810032360527682498346636897228594270959179803186201548787310847077650444808004850560400051528
19/12
$\log K(x)$:
-0.1269456054598528126247308337101549121738388434010776690766141215701677190556100334818838466303502366
23/12
$K(x)$:
0.9573898547096001549859188155435772845249003480084272621335576653819127938914654489057108849438489086
23/12
$\log K(x)$:
-0.04354459879013071308703354107864995308151522374212973613233450039348677756996670654711460449368556697
25/12
$K(x)$:
1.054876206986279762874764779844216877614729018022972784689474142690784153386254687569023458554715910
25/12
$\log K(x)$:
0.05342342069373191566453492018596440596839000842916637314728989646521317388256608546497125560000323141
29/12
$K(x)$:
1.451980646646473706055184926303043808257995396745955632986408328930912679297447145347689906844731915
29/12
$\log K(x)$:
0.3729285875579035871649239019628883101210281845031549002240057312088368233469325029050630207420068186
31/12
$K(x)$:
1.823298547425461970680970457710391056967718980411465604167900034815330397242973483109442569032878428
31/12
$\log K(x)$:
0.6006472493893440911925225903673883571877345116290480236464035277560999587125382100137414471341696139
35/12
$K(x)$:
3.331474180841626065195760001926056627436432845811564984823957178103047923693118424154103008652908480
35/12
$\log K(x)$:
1.203414902980405599685632883533041495735939628827457179410945797252377331014733102002914538586963021
37/12
$K(x)$:
4.867234292925790410729155886050021337925347941346040382081390446655027263811858699951575475781619230
37/12
$\log K(x)$:
1.582525868777482830189137392297415318994873095916198631166542876307039086918643442079399062641231893
41/12
$K(x)$:
12.24807897554845055793134564834892128018187464273003227055195772740454754388850911419682664986505113
41/12
$\log K(x)$:
2.505369106370881736469366737226884158136414895670241521009244395503543329631579512991122726935950302
43/12
$K(x)$:
21.16690087980533361938283400761739743773231592119487389398639821290902904036749081773910704648148107
43/12
$\log K(x)$:
3.052438682356971091749447605851374145453975446800489054079784804037074647264716364845757705335422295
47/12
$K(x)$:
75.60600317499214173874920248177407356871789115968995194265722066060653827302358396104111002207640430
47/12
$\log K(x)$:
4.325535687109527927325140457621966370131509129306554118065898222882519494811441618805893611554201237
49/12
$K(x)$:
156.7095244980312471802846253364987599849653566525998978799820032449627152755589632326754159784293437
49/12
$\log K(x)$:
5.054393929250840577115828148474500981891432274508025259145522722727222733901761666296576364310162750
53/12
$K(x)$:
815.0987575721546299029370187623641619902538577979434974511836202556316459457664446740254597495483435
53/12
$\log K(x)$:
6.703309280834932339729300872321857379027640342095050572623540300758841683727748131570786396534459572
55/12
$K(x)$:
2050.468539460425242250284450938972960817512563494307231229444566739249270922197357393896343547005045
55/12
$\log K(x)$:
7.625823601851901997537340975918010176679621314179381101935795573106977845493423509799652066912871994
59/12
$K(x)$:
15878.62930819581282837803803540901916323448975618815145541731515677250715536261420992118168764120185
59/12
$\log K(x)$:
9.672729415470922843974168451527371270180284524924663404861676366764121477173668760696837378014559262
61/12
$K(x)$:
48986.07370367020111082188682558873265248364271384841086223302604835286918211277596859666450199955284
61/12
$\log K(x)$:
10.79929132656823130203822851058504684066712002437491346166165367400164200298183389438063926681762158
65/12
$K(x)$:
575941.2065230902262481525733827712064317914409869783149183828736392177705975464051593107884422849627
65/12
$\log K(x)$:
13.26376086245980240368615603374514765125754093355353016285853873591445202786366874855527217911826320
67/12
$K(x)$:
2199216.875565584713026170239280261315896336747213119545188945247638704606118429732940329968411038273
67/12
$\log K(x)$:
14.60361188930572561952189420295001812836170098013330789723028462635080360344836387472394704615524463
71/12
$K(x)$:
39950995.68784844178954098115067772440854476484382585398201633434839006118167481325529028301722641476
71/12
$\log K(x)$:
17.50316415321637528420701117977473028789915967529503670508025622690247114795186173379399200374520876
Definition
The hyperfactorial $K$-function is $K(x)=\exp(\zeta'(-1,x)-\zeta'(-1))$ [1], where $\zeta(s,x)$ is the Hurwitz zeta function, $\zeta'(s,x)$ is its derivative in $s$, and $\zeta'(-1)=\zeta'(-1,1)$. Listed are $K(x)$ and $\log K(x)$ at positive rational $x$.
Parameters
$x$
—   argument ($x\in\mathbb{Q}$ and $x>0$)
quantity
—   $K(x)$ or $\log K(x)$
Formulas
(1)
$\log K(x)=\zeta'(-1,x)-\zeta'(-1)$.
(2)
$K(x)=\Gamma(x)^{x-1}/G(x)$, where $G$ is the Barnes $G$-function [1].
(3)
$K(x+1)=x^xK(x)$ for $x>0$.
(4)
For positive integers $n$, $K(n)=\prod_{m=1}^{n-1}m^m$.
(5)
$K(1/2)=A^{3/2}2^{-1/24}e^{-1/8}$, where $A$ is the Glaisher-Kinkelin constant.
(6)
For integers $n\geq2$, $\prod_{j=1}^{n-1}K(j/n)=A^{(n^2-1)/n}n^{-1/(12n)}e^{(1-n^2)/(12n)}$ [1].
Comments
(7)
For $x>0$, $K(x)$ is real and positive, so $\log K(x)$ is real. The table holds no values at $x\leq0$, where continuing $\Gamma(x)^{x-1}/G(x)$ encounters poles and branch choices.
(8)
The hyperfactorial $H(n)=1^1 2^2\cdots n^n$ is $K(n+1)$, so $H(n)$ is the row $x=n+1$.
Programs
(P1)
Sage
import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.complex_arb import ComplexBallField
from sage.rings.rational_field import QQ

CBF = ComplexBallField(numberdb.bits(100, losing=96))
x = QQ(1) / QQ(2)
value = CBF(x).gamma() ** CBF(x - 1) / CBF(x).barnes_g()
print(value.real())
print(value.log().real())
Links
Similar tables
Values of the Gamma function at rational numbers —   $K(x)$ is expressed using powers of $\Gamma(x)$
Values of the Barnes $G$-function at rational numbers —   $K(x)=\Gamma(x)^{x-1}/G(x)$
Values of the Hurwitz zeta function at pairs of rational numbers —   $\log K(x)$ is a derivative of the Hurwitz zeta function at $s=-1$
Glaisher-Kinkelin constant $A$ —   $A$ appears in special values and multiplication formulas for $K$
Values of the derivative $\zeta'(s)$ of the Riemann zeta function at rational numbers —   $\log K(x)$ differs from the Hurwitz zeta derivative $\zeta'(-1,x)$ by the Riemann zeta derivative $\zeta'(-1)$
Data properties
Entries are of type: real number
How well the digits are known: proven
How they were obtained:

Non-exact entries are computed as Sage balls with arb at numberdb.bits(digits, losing=96) bits from exact rational arguments.

more

The entries are checked by comparing the Barnes $G$-function formula with the Hurwitz zeta derivative formula, by the recurrence $K(x+1)=x^xK(x)$, by exact integer values of $K(n)$, and by the multiplication formula in (6).

Table is complete: no (it holds $K(x)$ and $\log K(x)$ for every rational argument $x=a/b$ in lowest terms with $b\leq12$ and $0<x\leq6$, which includes every factor in the multiplication formula for $n\leq12$ and the integer values through $K(6)=86400000$)


API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.