Singular values $k_r$ of the elliptic modulus

edit · history · discussion · files · long url · special values modular function elliptic curves

Numbers

$r$

convention

$k_r$ or $m_r$

$k_r$:

0.7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883398689953662392310535194251937671638207864

$m_r$:

1/2

$k_r$:

0.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727

$m_r$:

0.1715728752538099023966225515806038428606562492461038536466405240185350430757859222992249313447168545

$k_r$:

0.2588190451025207623488988376240483283490689013199305138140032073150569747488019969223679746942496655

$m_r$:

0.06698729810778067661813841462353190826429868654740484298604825513701674577279999072971345331068785608

$k_r$:

0.1715728752538099023966225515806038428606562492461038536466405240185350430757859222992249313447168545

$m_r$:

0.02943725152285941437973530948362305716393749547662312187984314411121025845471553379534958806830112718

$k_r$:

0.1188769458026001011927468428418141369035869990099698731574444523370427533163632995562193805442976604

$m_r$:

0.01413172824335432181713612410546743780751401599762698904826158756188447208624290188152867417004787703

$k_r$:

0.08516423317474258764879930929823996871221423752353523819094705017336145435070102300137673796385424070

$m_r$:

0.007252946612241925929625505032827059292755203645759397066478181225473860512157819228345025253462944667

$k_r$:

0.06262291254316797010266468003906811674412447729401465915328671833152028488492276107179408847356814334

$m_r$:

0.003921629175389264280947046192638670179326403172040591180937288899799595644321819794926333786023073010

$k_r$:

0.04702189950099110167091430362349100744278102015792997239838804325672867247235649994365432741515549097

$m_r$:

0.002211059032681307216329011198714649106853496189276288763252159574974218430159353419724044688621803427

$k_r$:

0.03592156820389893411062550016477818118301192441180663807703476337756399733968415297849160326424456135

$m_r$:

0.001290359062227362895139482184855380406431958841196462290857508300142681403283012349239937518313465227

$k_r$:

0.02784244474454950317011830363123913081422323179123602254900400468009448413913729947741189758862122209

$m_r$:

0.0007752017293532922488376453553255501692319869434272712607280923833754612812020806740099251537389029166

$k_r$:

0.02184972261085453699635444400253632837557616482636254693682044065139242811863149389527736992693722323

$m_r$:

0.0004774103781712880047613845988705322979509030521801237358010434701145669317780402524325961119304859579

$k_r$:

0.01733238012099927101897904171464979805003839277354352208350305220237708590543974890613755215373146914

$m_r$:

0.0003004114006588107046886875131926651573156840693907717841913330506224450179699313700922032483917177902

$k_r$:

0.01387952560881456335452610450411214990648485269415106692910015909753877709042817695373743869259758332

$m_r$:

0.0001926412311257392755416304137971542720771076216543563176052847129250832471320437709354690804652805925

$k_r$:

0.01120809801247990895013436673591778295672460693714222329061168685534487754339283147692533622155118056

$m_r$:

0.0001256214610573560852441143184918571344037416135172307259827729611870993694082669445752963688820663127

$k_r$:

0.009119006268575232151750625398409049443474944497637483543387359738197355548191578789619562254182051273

$m_r$:

0.00008315627532631437901906905239043189273254743861702428193054305384330592816939709102154112001832663607

$k_r$:

0.007469666729509581905511156010832455867535925788485759179207980635522574580798863454463008823841434679

$m_r$:

0.00005579592104994237345185388130331149910695355960995525244113729099149454010695420530815643511513380818

$k_r$:

0.006156331061153274511510448306946294532687243345332277551682580385376818807728323205252889744568717046

$m_r$:

0.00003790041213452060299316624295205543673141041188025285931325062615621320553325872147395070570736037580

$k_r$:

0.005102439323328962881921415386031185018113131750437578092534909310553670473846867238468268577610468271

$m_r$:

0.00002603488704825372461815468790068752976323991928464510554858517450513258070466424316030331733807247549

$k_r$:

0.004250780756180397036127157707355502048909414207334692856760025067686733524248286620827719526706738469

$m_r$:

0.00001806913703711358803525006059345115856348456241791289110424392186767508655537448701446556447759722853

$k_r$:

0.003558117966557891254934069637087011022900517093209718641293258426451112600578731264540816606041750385

$m_r$:

0.00001266020346394206295082164129476069873083281566036263788169865449406931940249216638823169625072721707

$k_r$:

0.002991438376254797453885349570319519821418073655224268413927040661773301905939193316646271472208918830

$m_r$:

0.000008948703558929939139384371760164301192213344499490577244027121588837408712024142418550897152971041839

$k_r$:

0.002525300837362703208003789875526910288420512940723015112622435500783073741856832862602088206215278206

$m_r$:

0.000006377144319184769998640664960776705198767541941387482964885963946779131256686691321983451377199982879

$k_r$:

0.002139931789640673999172648462478393486968725110535721804193053911203230474110483794800448606002641762

$m_r$:

0.000004579308064314737835841083461574850659614139330055628070444370149680510389967319400815065012556510807

$k_r$:

0.001819842267589316966987668748188903905861595132162730253087867206026571496018476053347248694003504869

$m_r$:

0.000003311825878904627139716100999077839113743534992587221464215782171454894972026083655488148085316342779

$k_r$:

0.001552811879661263224941544698331369943648910779491350543035570764026264282255128644643518688993961490

$m_r$:

0.000002411224733617145423107428429016937396087103165114501965375264559618021417913125769234376763471985782

$k_r$:

0.001329134629885546602172564524533153671870102563525817046222749537941877668253890954548578975588792867

$m_r$:

0.000001766598864360988950865877071207243468404051269991809559844338681297661327281748686567185381713829824

$k_r$:

0.001141053747690946626066989401697497720326211726166403754321576604086622452429550408924576220270409307

$m_r$:

0.000001302003655119554482778899499705791946770140929858989832333169997415993769261897850674325013102278216

$k_r$:

0.0009823344155736841562281940979942062345970791111317949030634672083702780561073695048880493628926646763

$m_r$:

9.649809040204916053354968226264375227805964782136595257311607535866018721031611117791538282258440087e-7

$k_r$:

0.0008479381027623533848651297958198760257216311633570155064748607873939226667179959200622038956752356863

$m_r$:

7.189990261162193690128100535176271338848788669560528544480151649516541679367325972713411640083808021e-7

$k_r$:

0.0007337724523730478078398275545696573070511023175832438530675590352465819006994747258494035300480628946

$m_r$:

5.384220118615567134828748428815833986752857694402085472951322207974915129226916668321416281118243641e-7

$k_r$:

0.0006364978296732490123220155118199445082456363171918657904010324887435272436343360034965100745733088811

$m_r$:

4.051294871787563108919784769480064312642381432274177331217705335392043280369641666370218115591243217e-7

$k_r$:

0.0005533767017185478097196114638196822870240334950955125152659089600081767616329289860004521303432270350

$m_r$:

3.062257740048986344231396085534842485586611421540714968840875740584476511094600330521800449563673117e-7

$k_r$:

0.0004821556352980580922398935265256822485018932718945078299837840303880332277629683056317274829659887363

$m_r$:

2.324740566496740025504674975784442143256576824674646981474319316481636705832556267292248312186601645e-7

$k_r$:

0.0004209723087754698788306391133445259177483787322025508556469062583653208093121924468433826645922785009

$m_r$:

1.772176847557495539529825102930434579852830237329702692626661305319362166718544732923316678513874328e-7

$k_r$:

0.0003682818319906624543466773053385776662991186832958340070919483532066276128327844755648817818983417970

$m_r$:

1.356315077743985271609085520046574119865233023087711621561493147543228656323472895285907901213693137e-7

$k_r$:

0.0003227980618724423070114573518417409147778715677294498884694705397210542214017659273918076588341757098

$m_r$:

1.041985887486050918364858549808914982552959316216119633202688116914359267879482865319151303752013726e-7

$k_r$:

0.0002834466323137864328633059570481321087396677024423116603333101027127786857953928378887978863949609047

$m_r$:

8.034199337002683922325830527073743294488757891980684065980129483662238591562653292215420172454181743e-8

$k_r$:

0.0002493271852306380620775613150291354574881513795299378029299544675785930222850147299026580201585243502

$m_r$:

6.216404529503290259650114436111809997341421711428206932670736156954996133584541354131010023049842804e-8

$k_r$:

0.0002196828664634626391899873361837583227075405246226143357929179160815664584676856897307354037871116772

$m_r$:

4.826056181760355793715829095805544741219559479118008931326680284120221815571700787126779052306978797e-8

$k_r$:

0.0001938755859676046091013388372667023503615320448840030969372643198141383633528926980489300285870825953

$m_r$:

3.758774283428204521269546227075817142462784621673434207569870816264655190727475650290357104923048626e-8

$k_r$:

0.0001713658731000353048568362913164026838152048391110512052061110612900525999421542647650953854704549059

$m_r$:

2.936626246333740370523284437683550475737733129676674448662727387436633516080710503164877606910219873e-8

$k_r$:

0.0001516964112766822686104836024746384012493710633918221418018123145605357940466295635184193650932848245

$m_r$:

2.301180119422433534764971670295052777629197221313817601873455449013752336485910326981519707426316856e-8

$k_r$:

0.0001344785312585786036122783594819507726055050303062262312492938563611398182584971144662762249176558959

$m_r$:

1.808447536946450259048386893852109688744077645749682672789404319766302340143065923203964742525984256e-8

$k_r$:

0.0001193810931302256277263080343793823127869936124033106405203283317091620535811647590147311419779534219

$m_r$:

1.425184539696760456611423011449544220266694318028588302144570203769676446682674218253109838556652642e-8

$k_r$:

0.0001061213042693065382175075128700497131493817902020424644516762919334917753475541860239136293348342457

$m_r$:

1.126173121981873809526147731783075081583326716741135470493775783389768183109354404331298968810991946e-8

$k_r$:

0.00009445711219239282182530309070923460131975715369656842063699572489577890240258774456366896201173498156

$m_r$:

8.922146043726284675312394836039485626533561490687874828011419691696556814506342653233857684642939947e-9

$k_r$:

0.00008418088304320467615926663217621383206582655467482644064207977772590332093970108247557820958887233894

$m_r$:

7.086421069933704579498871500086886467164834161747620344765958668939372253046618063454833907353865833e-9

$k_r$:

0.00007511413315941879221112017678767326758320601010302367358307897238327366896329117306889307834854723898

$m_r$:

5.642133000290897747105241386477916308785404283029065460615891601855741689647893068567972319653223272e-9

$k_r$:

0.00006710312602136466393502682662997356626268112616624421072897685112896028870647481884337010006556690519

$m_r$:

4.502829521839147472415970786519179155280869815850112562496275549009311532748391027257589714831039233e-9

$k_r$:

0.00006001518255453393697141932116751349908503402034408438812850958145523023838583547461699126144738803581

$m_r$:

3.601822137054034612540405969391606560684549913349222451497174954480098189396249166728947505989748662e-9

$k_r$:

0.00005373558122483751113314396026595101468034680687601840510190285046360318230240280342938339466433634423

$m_r$:

2.887512689571109633218824535610218862261892430563703871140513628201430992873945835162294178305070445e-9

$k_r$:

0.00004816494717052011095605057544306351537683793086341115861319511545741391401652468071886315082019233167

$m_r$:

2.319862135938993242341698831533110965779849498354798705028573582859871846328255837979067601464296397e-9

$k_r$:

0.00004321704794979455344742911179630875727846541248616698763172607565470312662709145646298300858158258596

$m_r$:

1.867713233494841615472805665739935655347080059982997400521389231695247072255002932884417276121616686e-9

$k_r$:

0.00003881692827590692129171565983808586535926297216090481336440793650060251770976870737323188703627423256

$m_r$:

1.506753920776902273089016745487921498853695331431126793000505597870475303503223464260806913948350198e-9

$k_r$:

0.00003489932808582660554419577621185701645655819391449959587556844506589781029750473444237040041172454154

$m_r$:

1.217963100842165723393219999703368164193584103636053230010450552147122615357421556028858054764560541e-9

$k_r$:

0.00003140733801316249724154371801509607622706027875499820063359874792049524019686774101741106722325008791

$m_r$:

9.864208810730419997517137205872691229025576711220485876651505649724329395114142493476630094055212722e-10

$k_r$:

0.00002829125425753217653711448845026600561872249560450528133523145416473690621192780028001858942731118457

$m_r$:

8.003950674643325054915147915965860969891286721484805297003341458681903601060006571727056843226895923e-10

$k_r$:

0.00002550760131496564575612256959992993549977620669207535642239517364993511556005231325264951968531936357

$m_r$:

6.506377248432371405123936314707760832880425765816861600622453228853543540741472816728773788040682328e-10

$k_r$:

0.00002301829633741550948233643044636268269030898765314522788328116577960141104780892683666835568289912711

$m_r$:

5.298419662770762583596794944202423162927729113719431527035735861502480954761220287844582616080226009e-10

$k_r$:

0.00002078993324727063648583703118316122526452005530804485637875995683666443205402047189808000265695823788

$m_r$:

4.322213244259689919585823225446248249563966462833512589902004200764204887470543890947734278719490787e-10

$k_r$:

0.00001879316832319378391623968059687741023271443847436570670940832645752258761609934260343481210167623875

$m_r$:

3.531831756238942598414024535439417449448117775245513557239263975715804480673714467179415902079636729e-10

$k_r$:

0.00001700219193946475867156574137594990971105771264192758586814960648468422820954932005923343949872766707

$m_r$:

2.890745307464004119997667936842641993755989681929432378799130543804395456056486962383512368880889148e-10

$k_r$:

0.00001539427359712493443464809177408058706917119031571709141379044300918976810134649324342412982586387921

$m_r$:

2.369836595831378681463340909812841792527729864799915946775477584129499103997132318570554924675772733e-10

$k_r$:

0.00001394936942415739777784737689413895310431683457202545716386638465417705245008394654909998458506384602

$m_r$:

1.945849073316172912754442616318832866900095878711300920890607366311117534699489180350812385235549125e-10

$k_r$:

0.00001264978301855605526939359082054295856933370134294984744464363268488190059473369421042867527386096278

$m_r$:

1.600170104165491453319981181021103845600108664869306407812816776852045416387297608411964550445506981e-10

$k_r$:

0.00001147987192314113994981241793975062224401889502101540731183846453674692773606146567362645294672672540

$m_r$:

1.317874593717242550231503321320023996966097339677853691702417314193560902825625415224626213064617783e-10

$k_r$:

0.00001042579320373179066203799172676690672777052705639865942108831048550171029674479038421188072058282562

$m_r$:

1.086971639269799954301246461184393008812138636159751089558967921110404916210031771669338429789826425e-10

$k_r$:

0.000009475282593038518390770253712285006495870991762805902270556297551311594435140388464723907323205469744

$m_r$:

8.978098021793874892415299739084303457680744337153211931139433256439489727634913345557385101337589266e-11

$k_r$:

0.000008617462494292941953622691262586457263716442190304315231031838701313009638718149943727531068726476149

$m_r$:

7.426065984054553263261107375355288080336458490500307139806756591048433735259007968323866988246141792e-11

$k_r$:

0.000007842674838155017111765487069676251195917461959368005486846905518803176864688950591786176506210475474

$m_r$:

6.150754861702982384782926870126868963046268125235964377586610805613935447157493458802361951295840508e-11

$k_r$:

0.000007142335375982798466344197262326414832087492779999509013577430322462311925795322391841603759012541039

$m_r$:

5.101295462301534313129770689083272114323644148719864121161801382728250336387280832455547068877102355e-11

$k_r$:

0.000006508806490360068033264203071064736867548897565550978924876739191918461548152966437810190360277357931

$m_r$:

4.236456192895334640363281065582693231658055103588868865910561291118814903215723994657016359089465512e-11

$k_r$:

0.000005935286024911057269109864495852256399456714681662316940176687920080866104889109513781499754101586752

$m_r$:

3.522762019750449952965279667312933080923450697905440323175323094492556207565704529678926695362095462e-11

$k_r$:

0.000005415709992345750739806418315890103731595363689151901212574346893520830194698879941370159809188184965

$m_r$:

2.932991472119361153674156721227237988520958258060240722307666083227110450605426594346416737214598574e-11

$k_r$:

0.000004944667322701160096904534678963951788277089760152284785035104709443346789002533909864688506842445811

$m_r$:

2.444973493218865852180003744286880290844794705483553182782242588033023770021502127181231710198659040e-11

$k_r$:

0.000004517325071453456372132492586132600240833272233554963700429341829102149042702386944903928382301765142

$m_r$:

2.040622580118197471808325166754440559554028430086127822236316851164146698211711003351096085697455264e-11

$k_r$:

0.000004129362726715933640752512115727198527217918511896028726622095572864351459314476763175698351463860524

$m_r$:

1.705163652879085045733835722105573104227116182616144879817936453733855976143456895177647306624541328e-11

$k_r$:

0.000003776914442067067224907105947799923010487462436639804285416615510809350267953052411338787517673555719

$m_r$:

1.426508270269478570467751913799599502200492936174300414969694325486395571073786438384005743249647847e-11

$k_r$:

0.000003456518181651775309989837222054073464968400798492274005267378380526014752972704615330715223952810889

$m_r$:

1.194751794008929517923837762123322659805365632180761032652645979271867646546411723431099879450660558e-11

$k_r$:

0.000003165070901238015922750582233003860566599057746601324950877171785433737013679553426952366729341276419

$m_r$:

1.001767380986362634320171499245905292902193950871106640230744199797274991896438853103103695656626949e-11

$k_r$:

0.000002899789006389079324091981663995603450628625025899678897074351934678845610760049254472824820979226636

$m_r$:

8.408776281574963929079061444451947140241170963597413941731826605169568204389665280971628193449823078e-12

$k_r$:

0.000002658173429770263540018334077193158672969710121506854400176880397547582898750411736261897474553280449

$m_r$:

7.065885982736606192401733554761754312541175398476990778779431595847715764341547071432910626972842951e-12

$k_r$:

0.000002437978756323201978228161629352943995980932653720489186793396699665292595419282680725385662341384977

$m_r$:

5.943740416283226649739324665324244040391732830032027161856663717050773949947301546206133949595338884e-12

$k_r$:

0.000002237185899700393170244792743440718191036183018938728956377013424127335303417336017175038762332708145

$m_r$:

5.005000749818257649945664000531750190040679826540177629990336970260408467649111871491413219056490992e-12

$k_r$:

0.000002053977897720869500826638457501093549211359730496462006308934173502371751580940633281988165699436103

$m_r$:

4.218825204325842652158330078256886910581329587477443407720448022557805545713657195256013512225557301e-12

$k_r$:

0.000001886718450178523964946167448216708217038908260013942995806317474287139898892916706562507689466537892

$m_r$:

3.559706510244051416894045568739866406529880967990640729891797549851861579278195657182385300420116316e-12

$k_r$:

0.000001733932870372910923019702632848944748919076330475601847643730847000128923035744853602426203404026359

$m_r$:

3.006523198959641914150866661952060672932215244433269883407890462219402847162275443409644907554252571e-12

$k_r$:

0.000001594291163312662422034950200239785821352282430722012767203119161432352165722728069026100059914369898

$m_r$:

2.541764313416842442002752952927503344503215526187858333569751974174467452273224901924117078627310042e-12

$k_r$:

0.000001466592979577408666686935232614104345631453184013118610365209452666065924500718373815912422513164073

$m_r$:

2.150894967745741434487021574724338768409056502279983863610865411148284919238101827900556003959549251e-12

$k_r$:

0.000001349754225092996958533392703968323585482130453549491790486431379002437862205548917016949548821980638

$m_r$:

1.821836468156396700393841645827299613404713503624807451917858003720384041147382671277757004677102759e-12

$k_r$:

0.000001242795134240065331700605742613916166402957917557906484706838221285768376618865174961465668397729582

$m_r$:

1.544539745690782008216848887030584765072130352266629975510599644736491552083503722406893362426713552e-12

$k_r$:

0.000001144829637343980187102943879135479314914514708301759519214663723055819862072177264681516520163291573

$m_r$:

1.310634898541149194590833014683461594430837707481841963860895413703085310414542942314283324207864344e-12

$k_r$:

0.000001055055874169087663824126822184753095702476205542492996501736380113688465913391405457685163977102872

$m_r$:

1.113142897618697741905755251391455460158021283418710922208633266001934577544553799643368762259894745e-12

$k_r$:

9.727477229768646879183942957934117942792219002565557254811444621188712095458713919110925655894256407e-7

$m_r$:

9.462381325566750847039825647635728934351728115213893359840166516692207063275202183600916756338872319e-13

$k_r$:

8.972472303614829841521219998382902668388753624023110775890882058810250766522797972195505836203306436e-7

$m_r$:

8.050525923913521125759206737854560646046100195263861303110634091089280449430138049259022981301739076e-13

$k_r$:

8.279578407528261844374123379077889517994387405203573353466309914704714031803351819616770825367662920e-7

$m_r$:

6.855141860640822836912303329415588979700629799021316151817445586885408158363221588959225273086011605e-13

$k_r$:

7.643383364385959905473269564431310395731258098527607913408691794304153953892084388110329609144554876e-7

$m_r$:

5.842130925497203553747976731955654317638369348949328226466071578783740893921926734937083128509859788e-13

$k_r$:

7.058974094297335156253753272873165476994105917811034242973184030992692276496448534087308849060937603e-7

$m_r$:

4.982911526396088316654978108210321997376799050316592478362675746618793346609347322974528021118503533e-13

$k_r$:

6.521887956716755306599410621994093259950559059041480549764995340567349371875883844230848084825222771e-7

$m_r$:

4.253502251996705353953330507410190619435800294847479656885583987959793190723754804521488972255239257e-13

100

$k_r$:

6.028069101559710828825407122901634913213270687573716935111665152320078993702329080832023251403212681e-7

100

$m_r$:

3.633761709317889930678834981452173395852150790801766582922724678989566591858380396691422399583869694e-13

Definition

For a positive integer $r$, set $\tau=i\sqrt r$. The rows store $k_r$, the positive square root of the elliptic modular function $\lambda(\tau)$, and $m_r=k_r^2=\lambda(\tau)$, one number in two invertible conventions [2] [4].

Parameters

$r$

— index, with $\tau=i\sqrt r$ (positive integer)

convention

— whether the row holds the modulus $k_r$ or the parameter $m_r$

Formulas

(1)

$k_r=\theta_2(0,q)^2/\theta_3(0,q)^2$ and $m_r=\theta_2(0,q)^4/\theta_3(0,q)^4$, with $q=e^{-\pi\sqrt r}$ [1] [2].

(2)

$K(1-m_r)/K(m_r)=\sqrt r$, with $K(m)$ as in the complete elliptic integral of the first kind; equivalently the nome is $q=\exp(-\pi K(1-m_r)/K(m_r))=e^{-\pi\sqrt r}$ [1]. The values $K(m_r)$ themselves are in their own table.

(3)

$\sqrt{1-k_r^2}=k_{1/r}$, where $k_s=\sqrt{\lambda(i\sqrt s)}$ for any real $s>0$; this is $\lambda(-1/\tau)=1-\lambda(\tau)$ [2].

(4)

For $m_r=k_r^2$, $j(i\sqrt r)=256(1-m_r+m_r^2)^3/(m_r^2(1-m_r)^2)$, using $j=1728J$ and the DLMF relation between $J$ and $\lambda$ [3].

Comments

(5)

The lattice $\mathbb Z+\mathbb Z\,i\sqrt r$ has complex multiplication by the order $\mathbb Z[\sqrt{-r}]$, of discriminant $-4r$, so $k_r$ is an algebraic number.

(6)

$k_r$ is the elliptic modulus and $m_r$ the elliptic parameter. DLMF writes the complete elliptic integral as $K(k)$, while mpmath's ellipk, arb's elliptic_k, and the NumberDB table for $K(m)$ use the parameter $m$.

Programs

(P1)

Sage

import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.complex_arb import ComplexBallField

r = 2
CBF = ComplexBallField(numberdb.bits(100, losing=256))
tau = CBF.gen(0) * CBF(r).sqrt()
m = tau.modular_lambda()
k = m.sqrt()
k.real(), m.real()

Links

[1]

DLMF 22.2: Jacobian elliptic functions, definitions

[2]

DLMF 23.15: modular functions and the elliptic modular function $\lambda$

[3]

DLMF 23.19: interrelations among modular functions

[4]

MathWorld: Elliptic Integral Singular Value

Similar tables

Complete elliptic integral of the first kind $K(m)$ — $m_r$ is the parameter at which $K(1-m)/K(m)=\sqrt r$

Complete elliptic integral of the first kind $K(m_r)$ at the singular values — holds $K(m_r)$ at the parameters $m_r$ stored here, for the same $r$; by (2) it also gives $K(1-m_r)=\sqrt r\,K(m_r)$

Values of the elliptic alpha function $\alpha(r)$ — holds $\alpha(r)$ for the same $r$, built from $K(m_r)$ and $E(m_r)$ at the parameters $m_r$ stored here

Rational singular moduli — both evaluate modular functions at imaginary quadratic points; that table holds the rational $j$-invariant cases

Hilbert class polynomials $H_\Delta$ — those polynomials record the algebraic $j$-values of imaginary quadratic orders, while this table records $\lambda$-values at $\tau=i\sqrt r$

Data properties

Entries are of type: real number

How well the digits are known: proven

Table is complete: no (it holds the modulus $k_r$ and the parameter $m_r=k_r^2$ for every integer $1\leq r\leq100$, a compact initial range that ends with $k_{100}\approx 6.03\cdot10^{-7}$)

How they were obtained:

Each value is computed in Sage's arb-backed ComplexBallField at numberdb.bits(digits, losing=256) bits. The generator evaluates $\lambda(i\sqrt r)$ as a complex ball, checks that the imaginary part contains zero, and stores its real part for the $m_r$ row. The $k_r$ row is the positive square root of that real ball.

At this precision the widest value ball before writing has radius below $2\cdot10^{-176}$, at $k_1$. Before the values were sent, the generator checked (1), (2), (3), and (4) on every computed row.