NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Rayleigh-Schrödinger perturbation coefficients of the quartic anharmonic oscillator
edit · history · discussion · files · long url · eigenvalue physics
Numbers
$n$
$k$ 
$E_n^{(k)}$
0
0:
1/2
0
1:
3/4
0
2:
-21/8
0
3:
333/16
0
4:
-30885/128
0
5:
916731/256
0
6:
-65518401/1024
0
7:
2723294673/2048
0
8:
-1030495099053/32768
0
9:
54626982511455/65536
0
10:
-6417007431590595/262144
0
11:
413837985580636167/524288
0
12:
-116344863173284543665/4194304
0
13:
8855406003085477228503/8388608
0
14:
-1451836748576538293163705/33554432
0
15:
127561682802713500067360049/67108864
0
16:
-191385927852560927887828084605/2147483648
0
17:
19080610783320698048964226601511/4294967296
0
18:
-4031194983593309788607032686292335/17179869184
0
19:
449820604540765836160529697491458635/34359738368
0
20:
-211491057584560795425148309663914344715/274877906944
0
21:
26120222383762781149654970754934417034805/549755813888
0
22:
-6763740228794489740596394161822714805728135/2199023255552
0
23:
916117527799746577984641800484328417887454935/4398046511104
0
24:
-1036464696105720129803188216619901855131610583785/70368744177664
0
25:
152773774949844438983482018830957022324392611587683/140737488355328
0
26:
-46864661934282542604967271035084212028364938136115903/562949953421312
0
27:
7468424771414634117845409123534119931849505977965315619/1125899906842624
0
28:
-4939479898777642568776881638048610516053578367250019222857/9007199254740992
0
29:
846284774074565106837237848622053215062153108475654677813615/18014398509481984
0
30:
-300121824583301012159970897013428849261973957431788548963467657/72057594037927936
0
31:
55013796260436012961915328581386011752918767976598738126819263089/144115188075855872
0
32:
-333240020344369737849675013849465176026142994492806680094689746926621/9223372036854775808
0
33:
65076055174022071568381890075793502303462805706717017711390547642799543/18446744073709551616
0
34:
-26196102740035235752678912553130143340030565552770639738211749276321280935/73786976294838206464
0
35:
5429503623068290163468199795080936674227387982382152657766482260304499995635/147573952589676412928
0
36:
-4631479820569115919052453543664412502364375912603134344155219573167803001916007/1180591620717411303424
0
37:
1015438889090892177780991319334821408616101579513325223022119873844127738685843305/2361183241434822606848
0
38:
-457434181185240616571298197385274519570309753116298319551669175466660293397126000219/9444732965739290427392
0
39:
105773672925610672077302486488887096882750882938362897510560200115737495193422101413435/18889465931478580854784
0
40:
-200738015204206438773807584391706805459910769533187349347664421355735913747266729477812003/302231454903657293676544
0
41:
48823413717686496957215061936797144287037118459605462044366255477764480845997041190000837105/604462909807314587353088
0
42:
-24334918491718184419520927372574936537445132584493251649912617774027023765184670151964125475069/2417851639229258349412352
0
43:
6210465133553377190588054522036337113043083778772184126795096762963959301963619314146520934896985/4835703278458516698824704
0
44:
-6488759046023255696832218896838310000054401427153759534471872075642219729693682705055581596307073095/38685626227668133590597632
0
45:
1733780451402409923384512431034568884310846890908527492677822277773646060899055458065451021503409160465/77371252455336267181195264
0
46:
-947312357260952709124304013622856930117446354369520661438441772174434895491815401993721734674906330825615/309485009821345068724781056
0
47:
264478347117583696763861416487974937521615516113571573316135145604779260888480072911288293228253988559930615/618970019642690137449562112
0
48:
-1206798732846123138549993794102801695952917119058428852369131897934854567167845643634942880584755481187842675865/19807040628566084398385987584
0
49:
351395105200425215330838554451976924478485719346400535951975084616707436051061016213347936952027763722452616359835/39614081257132168796771975168
0
50:
-208852066265545944642087879843646908751339472756098960632783131926454687409501660022062439675130333171343608582714835/158456325028528675187087900672
0
51:
63318041677153914463750613874374053091029811048084243196020848277390527253714601657718845442151633120615277746136814431/316912650057057350374175801344
0
52:
-78303666829275443405100475475208020276456772861650739113542305634224059261254472020176318371199181300501824420862744450695/2535301200456458802993406410752
0
53:
24678541073177128328547656515552800133975658278109033251937749700165846031439389977283463896497521362248085975824556642601689/5070602400912917605986812821504
0
54:
-15851579910957312801157568716244745094850775528470011910392291550601378753426433454088203918561490116098482817663892598794632515/20282409603651670423947251286016
0
55:
5185970824489871053856067854682863251802899230417577494759792127071120686170781256252386374827259078925844254626562111860399322739/40564819207303340847894502572032
0
56:
-13821851835218324228143518626513130809516258169572553591809773307535434817105711901759660303325956979810730658511090433147749381357025/649037107316853453566312041152512
0
57:
4687707295518050774466670334992342105737489915869348633919379163112476602184000150185527261783903670052310164405987927064087619643867883/1298074214633706907132624082305024
0
58:
-3235915271479808444185629108816301247702045048535153407060053077523648168770263731680544033224360507204446008749690531066952596904975344375/5192296858534827628530496329220096
0
59:
1136279583439201234840501380057080878023634539294159592906927893056972676848512002654852599024652171587238568215274316645867243049348251803035/10384593717069655257060992658440192
0
60:
-1623259979392391334878094928269740039377189602370605802713528863648975213422895399534030904796396807023409474508404800688399870119613066156711545/83076749736557242056487941267521536
0
61:
589472329658404347182720217382745610295451544576049922534236447834929617602097697476294063854000127561656802087253993853531645020409502793699294111/166153499473114484112975882535043072
0
62:
-435193949767706488635582279813071083425556734791184191194153794324269121209062800325985674289386437592237338996732449795961902617406447170588376368425/664613997892457936451903530140172288
0
63:
163256997943085396138773805702505108452759622852581743045786281538118539712221413530114102139127861095067197169360867718007570173803543231494574272644337/1329227995784915872903807060280344576
0
64:
-3982257446189184945121588537070734900799972181361899668959625212059088137353092083426956303931370198780925161026381998977622961808902671785582548794812123485/170141183460469231731687303715884105728
0
65:
1541657882292998975864773572123475314257988486700538307036510323269094642036529206462372998645882530660864626119163700812619525796848018049669199950600273372887/340282366920938463463374607431768211456
0
66:
-1212142351861616609721974019363536239886311833133738629282499852173117263441367638801786220319167601280113929692199851248908036436594177868328753217617614308054935/1361129467683753853853498429727072845824
0
67:
483799227378685448722637049228416595867147844563502747129076229519091406257842466817699230561416125084408949224603476012424666054335703784925620892154335032898673091/2722258935367507707706996859454145691648
0
68:
-783997384222914076223799028111595075024105698139359437370202775988427973642070985663531430936208170814238827063317493359587258438582485794897599728502031169442544937215/21778071482940061661655974875633165533184
0
69:
322319687804134552735601402087677350796958013390177435881211745081890925557397029184379285253548943442533194861029668018039536409100928370329298555069076968125490218620785/43556142965880123323311949751266331066368
0
70:
-268892959292222861283594444370955990301643036493828083538430805812863137489943550979083707327182967290852585210406291950910267419830601744798043657913065398971448085410337955/174224571863520493293247799005065324265472
0
71:
113773904148301536932382627662772481471680012255436391712776406848640118622965102385606555880395472728723499786445179601828477597470462307126511078970410905090881783044874449955/348449143727040986586495598010130648530944
0
72:
-390579350176596488172526027539597564499946385694596471059574251805172462093841767488682332903931918024565438052958211061426092320073754814039967127099225429743291502014977599198015/5575186299632655785383929568162090376495104
0
73:
169947389749018833138914146233667808184590813062735183096802475752810645429830945841598274003130221350462465925390692906065276690306460892173630896022478691963792664015485462011605765/11150372599265311570767859136324180752990208
0
74:
-149932510496719239702458510228638452165121714029104889574028075120154819614735009632892818770598548716093648853249145161848090649784152040196889375412991751270953904068586278557772305905/44601490397061246283071436545296723011960832
0
75:
67036752142252731932302725629566258761838758915583481875758462910188110206282935877525158022306127510997960111960047666978687040576589093079445505025777306049845600236215615031170453600669/89202980794122492566142873090593446023921664
0
76:
-121500429531994555370627025881739789791074697138190338216571983872094693504307799515338052939766189608001709226663388849141696549075947320005549558991021833570816295745206043162501447847649595/713623846352979940529142984724747568191373312
0
77:
55782027973014991268632248704523218609220283720466497606430591076562747467803299216941987809716504920404092692975032521146480994639093042097317138682603153528588798941371461031651986270043298269/1427247692705959881058285969449495136382746624
0
78:
-51889359096325309349963492801067061416348608472701474987747254243440801389835530927844078438904413596804778846815943282439565417104629789867770336303571480825344664019901558887628950370685757745715/5708990770823839524233143877797980545530986496
0
79:
24445427608915083019651658972187506640903216888783406218434800352378280855567427019007559563390329849837244545418599015236980918509315727820368635368752548806712585356912586040089285229643937145975195/11417981541647679048466287755595961091061972992
0
80:
-186608702228183155080141849401754271668052020930355158648067915464071146529558125162161827353832279960121916641035435868493127621095766949938892819407668471163410395399625242798184900463437503976373632275/365375409332725729550921208179070754913983135744
0
81:
90151400911632061601660896978076139210562133493740084542461391778970653609769500804736279954912468630127506748625436396926033543595132572937774971288510727492141254758093651157146945840200388684885612865481/730750818665451459101842416358141509827966271488
0
82:
-88186569162549345434011067985942034028216774098286010612203083999207404337146410512141018231885777098368784755727410330120986601323672942959908505957961521766176474717447167364639896708529581863508089658486625/2923003274661805836407369665432566039311865085952
0
83:
43661283792348702223377688009133245045944098988054115193585863565354229210008177485634998738788290401580658508383113200908214510394300231742136313457781069820125645002912888014689713826847384011801582710167638917/5846006549323611672814739330865132078623730171904
0
84:
-87514678119520250367155736811809187827829476486193228880309311225169699138900651630734914747990530773393367383449575234019446327862514836661528092707482583796885684603201866689816621334341096757649985520570784862005/46768052394588893382517914646921056628989841375232
0
85:
44378584429124459080480470549111700191240840732010418726237208976115076084781331712598422020098460980668332723552414415534939070530167011441064101507181093777041092787253975625095512092187460462863909125056895201822795/93536104789177786765035829293842113257979682750464
0
86:
-45541084846583129948513530470808972101703610987025001648494816211735454740469748778278388391825088373931359549684323068533880348677872596291057693779233458358761175981406879294276997391455231422394356761068163358789068825/374144419156711147060143317175368453031918731001856
0
87:
23640210919856394678648959837288631249924509621000930347579652558705232313162251671728514302244635653708750883264579336629535948878421031391297927384212640035365921980541771535638956792494128766779655586298392281891766281865/748288838313422294120286634350736906063837462003712
0
88:
-99306888429891908045151471627696683588662318745883096753159535674392439361027986633425824170088641491022975402123034962222655408172313372228918325220505317379618429595147041741626945791603272618729752346632371167140045242844175/11972621413014756705924586149611790497021399392059392
0
89:
52741298399404067817943851309720634237010031458646431210422357701155053790321222865065471514936305797815218314092688006024325960669098517958163219034902220761775342841475734409719734168564375874618550338228448892664562453957421445/23945242826029513411849172299223580994042798784118784
0
90:
-56653959401459103958943736135347427708723034171125852502503887594116140882678378903745521081303560010197980116052016014412132843968815180524934376708853013689046904561787484183288292240770301826822987771959666124743589948985430818345/95780971304118053647396689196894323976171195136475136
0
91:
30768304940064754117304816012258212122256633957740335045112602445342332631638868336132128266521497687150114878751472956590299162126920630900433712780634219642520595906780314594176516558538289966162383643446208337229962171112384190766565/191561942608236107294793378393788647952342390272950272
0
92:
-67578374962260640282078728903589795101217923235327387617697963684082984825068777429364576300882116583610216182764393241769080294272166444661165769349802053158052197900969557637020768031271199361892995069168636292133647662103578605363491775/1532495540865888858358347027150309183618739122183602176
0
93:
37512065797788621042454161894471458868685038185047191672964240875183616209924565622009178648515771281468016720294055559044538719643005120563591596869391034745550964029631806968939404209195255719749047851139232362689577353374960411656709102985/3064991081731777716716694054300618367237478244367204352
0
94:
-42095198449890186729562543835225458185696808350093623704390435555038114527031332789162474627280033249741653140204419835241453076681346601210300891653756672332412129508944959176093777330496393862364690417690165678905491126757422954797555341975455/12259964326927110866866776217202473468949912977468817408
0
95:
23871673244322929533427263520457915625987420078021730947460592474760402430383685330620600644163269074992281278471946767617229704196874083956501136813402801176430312106416698981577421365921769703779960549100186148778601724595563826267084914999325495/24519928653854221733733552434404946937899825954937634816
0
96:
-437777330027513718382465331472964822550050910866686120499865584945381700780683105536546654213667100951699534721730922739282256221108143898796470727749884111345763809266987015075900120146084742407070848065757683004251395746759760863657100807547615425785/1569275433846670190958947355801916604025588861116008628224
0
97:
253510673884709225791993979833797681172032734009893062082309239665806664241244934528804130818687725449098360489360973578274019388600351576527388954834677159160318050034443790745047011282739117262157890520745818216887675317021093485741050998332915177573515/3138550867693340381917894711603833208051177722232017256448
0
98:
-296650567748632260596337096251239011961175255058503663812523113292501956611848524306609600878218178599960792133917581470124630699736751839728836948032718542663292852773285334738342144704203959735461755715296674753026977198964166388092312914723099432443954395/12554203470773361527671578846415332832204710888928069025792
0
99:
175345422755518012962289999437806177144470334770282536289103832217751572075356851026343153738588999620985219398362838503224856055121519717225727917740026762789732768146440429293577853464177831492196108848240923627962536298908254165516230770505100731680974459255/25108406941546723055343157692830665664409421777856138051584
0
100:
-418783209574852460594758294269036988001626462879229780026348773382141725993006229048442708013825384216125017390898494184360839564003975157016000559133376145483156285643148101757248595505298872943449478754907592926930657733855374025695150778783660618847102306340395/200867255532373784442745261542645325315275374222849104412672
1
0:
3/2
1
1:
15/4
1
2:
-165/8
1
3:
3915/16
1
4:
-520485/128
1
5:
21304485/256
1
6:
-2026946145/1024
1
7:
108603230895/2048
1
8:
-51448922163885/32768
1
9:
3325989183831585/65536
1
10:
-465491656557283395/262144
1
11:
35043703273186461945/524288
1
12:
-11299343984449814857905/4194304
1
13:
971557181614730784561705/8388608
1
14:
-177643128042098094074828985/33554432
1
15:
17218849952764827927631139535/67108864
1
16:
-28240347773124088043314285193085/2147483648
1
17:
3054025585164744432905209414362585/4294967296
1
18:
-695333082062146558997774082818352495/17179869184
1
19:
83148938327426012005471504504493790645/34359738368
1
20:
-41695637844435236712986864752529473241355/274877906944
1
21:
5469647417130157338299108254372511406084555/549755813888
1
22:
-1498939596055212482888908906440496866960249735/2199023255552
1
23:
214181273377826159196203342036489598994095372585/4398046511104
1
24:
-254912612848721288292531682167031042240117823836905/70368744177664
1
25:
39427115268415428690846013245040837347354750457403805/140737488355328
1
26:
-12662313288497229216805128713965931081178096883354131135/562949953421312
1
27:
2108253349210529489270292340705244491679600823059105937885/1125899906842624
1
28:
-1454071738624920819211153009959804228844392667394302963189065/9007199254740992
1
29:
259349639269433817253509687188972513395678306527022525073630865/18014398509481984
1
30:
-95597208689959110687191441548680059454363689291835524669895770505/72057594037927936
1
31:
18187156161973702603276233015364068903126324613102329399000766381455/144115188075855872
1
32:
-114185205787340322591984237225825413524198117631339540210350069684550685/9223372036854775808
1
33:
23082833681785082788965268424228385975746438450068560399084708820458547785/18446744073709551616
1
34:
-9607554572081358524754141046866334536390411239809218611252839651435877725095/73786976294838206464
1
35:
2056701092076330605358248339048776401927953277881847849878380515388480074386445/147573952589676412928
1
36:
-1810183403661086284692396710537265582967575923022576456496311427025063267984394855/1180591620717411303424
1
37:
409102970822368354110933025571013695642598749261900511151203515131782632787256776855/2361183241434822606848
1
38:
-189798463614772717681779064312618321615940281094042826797571903009850296154742283513435/9444732965739290427392
1
39:
45160507302498411977353354502370877586396383722321952585588926420592626248630533989138885/18889465931478580854784
1
40:
-88121255558874356936832315823079817170224459788131409735799594026907675312085881478726168355/302231454903657293676544
1
41:
22020173342754442063218942039403585557756350892088715432995788646154690681811399901998298775055/604462909807314587353088
1
42:
-11268166313230791065405566260704786703258864727045644161681664548384467362042931002807587167711485/2417851639229258349412352
1
43:
2950418277624351562142517565670411411179133913069571099889515321832131748937943141948895874512071335/4835703278458516698824704
1
44:
-3160657691148223521993714442442285395234394534476587553289943231454728565094165330669781393086285523015/38685626227668133590597632
1
45:
865366944958305106811697288253596724312975176340848043972924475808144468224544837384185837244860151103215/77371252455336267181195264
1
46:
-484213176889985860273542476860384828349512813058159749691942737292744181486517854805649537350225896535098255/309485009821345068724781056
1
47:
138366011004809678793144819606029316144985488182159848408086474062049205386296249636174808991176735061528394505/618970019642690137449562112
1
48:
-645862094374310099511020852953264825959081712778244470556828633320520017102134910664010208964429310696206120932505/19807040628566084398385987584
1
49:
192285429968234355412719370839164503092148307223702207632326274010067139859705833364416298177354036192444091516309605/39614081257132168796771975168
1
50:
-116795164506058188194735252693836734430077232560942444457761404441757015892773260064260756985012572998982181087207175635/158456325028528675187087900672
1
51:
36169931264733243412230462348461391859262598907360932979272212045115038134234990751785666790482032904791156499644750490785/316912650057057350374175801344
1
52:
-45671321449767955257638508007499419715212923497148676827429552750891721827137313944848977620333584337882134950104561940027015/2535301200456458802993406410752
1
53:
14690524177865999406032463862879553952497489788279021522221986605808910653093013667277479756628223091148587994157824806259717415/5070602400912917605986812821504
1
54:
-9626517387276366437040733248911619028970822286706144787675419055824443940033221566101165479497253409277397307230202892755160415555/20282409603651670423947251286016
1
55:
3211700563168805254222102021373749030640994068742501278664670901131979173998953537881094578118958347585251586918559642760918462712205/40564819207303340847894502572032
1
56:
-8726008543098864855032386959430807786441362397676414574994796506377304675418095242877983909187045111387711529088296808433431414252944865/649037107316853453566312041152512
1
57:
3015758848600416154293627128401504720496235901943961214343386650051636740674217307134441570572467076067380485081449312135876430007841881365/1298074214633706907132624082305024
1
58:
-2120645904320246310369874215755694538040503001992169109128855272139419522923154449883645321235932355269618343020493451756882674505252607697655/5192296858534827628530496329220096
1
59:
758306577568593307464749941945292648996653361199833116279950901374813261678825053547305139235858287396995724682456179088524412290864219972412005/10384593717069655257060992658440192
1
60:
-1102796198534113002282494237076578644563141984058250912818732189880883816529430496991598110444517805692245884660019802137888335809789797238033882745/83076749736557242056487941267521536
1
61:
407551113965894501853856960332757437361896566965672230598749207588240072340564911505497296199019176110556927200065805536214254023477569875365575656545/166153499473114484112975882535043072
1
62:
-306112893628296305561523564504745131378245104336089495652330611206176039825353718879330199046838895517938873947155609932006037622186731423161751347463465/664613997892457936451903530140172288
1
63:
116794876355534814695509665218831217470432317130484068261625929068737381906479342666879517029960262645140551856663478794415731877087984289473037831857273615/1329227995784915872903807060280344576
1
64:
-2896755703691106136255376872570112231068452119302722290520288841342395185291087756272200995927174981676160004066793634670672755913346998008089756757044779534685/170141183460469231731687303715884105728
1
65:
1139941258770513656958307995717329030445684596235591026676713427488641599069201016108091678023759950225962316906298019124165540336060330165914748521366412496754985/340282366920938463463374607431768211456
1
66:
-910846574128081634202166250594558947242836033046923809390276579838022614033703110466506912331496352354346492640173470106985473912093914173344194031095069517733631895/1361129467683753853853498429727072845824
1
67:
369353975263209766644147690557965276202876243535667301458547086280408816064344405688443925885844725754182152553980741815630665395509182023349393961689940773060124419645/2722258935367507707706996859454145691648
1
68:
-607953790519287002008381113668155375464561372815007523303704152311406611813880813305914523994969172899009392507508227074196097285833439443417050720010140784602637967616255/21778071482940061661655974875633165533184
1
69:
253814720729951252916580524446528449985664554082379934964885302881975559681937672852965295804490745031938273702441109031485905156767798946722905445713860366635033848903411855/43556142965880123323311949751266331066368
1
70:
-214972176992979345304348565979655610658816564008500672798074517433708921686809752963519475659553910095479958259671813677486317363313872991198439157445411268542741478260495209635/174224571863520493293247799005065324265472
1
71:
92325187106724986443021569449533927623841891612491200454312444815206967938749252634207669729426720085618611087626995820115719116731796329661399802537945204273705997585445959224285/348449143727040986586495598010130648530944
1
72:
-321637204111885402772185180602301048357857906716392359793106661809088294108082569658866540189407628141404702935911742319374695232203435628641125485707075530234475976585735423861838655/5575186299632655785383929568162090376495104
1
73:
141990236137822641978746265172723842966105424865789767065293978627907954081526183280636478068169356241450299097793453081085717689543369047037221903946456493923455170043256989741033032955/11150372599265311570767859136324180752990208
1
74:
-127068219503808946271504008806204621495005158644122720827804543087901652792273995204931020781395809952352438919030940327768699995384500734471041008337975844852678114742246257142673191359985/44601490397061246283071436545296723011960832
1
75:
57618765043869602495902725098555645992234244923502429094068973474578901131904845597807911244124137368653845759499890143764941744768106904311162212656221049946546908233700382576183370851944035/89202980794122492566142873090593446023921664
1
76:
-105889713213490854843103554576906413100116674222024744367117327455548079302149212427093984596970599996693197625472567251569255709675476131650005352103456236151559946999360195086873231047188685115/713623846352979940529142984724747568191373312
1
77:
49284765423762627373707417950257195822112560707824801795139423930876365464124631249905260710596823463423419474804185802618792052393305368106787879234500990536092780545929010540090551797806373742115/1427247692705959881058285969449495136382746624
1
78:
-46468518744250188665956572776140461277721475398979793455145851499363889396529495834672330692304147949591424555925311591267275258083672499262471286525387012642305546350923349972932912158025661690735155/5708990770823839524233143877797980545530986496
1
79:
22185137486443454437662819809680702588634694073442682241509630963675546068396450990769947704665846459440067316055225338648478244356064652393583861308184477087379762471732182741368901744488945943989948005/11417981541647679048466287755595961091061972992
1
80:
-171594845419892440995828829559201908229035650662103306922479904309582686779242057761818319364024662451416273883187833978306621986743109061875857159770873996718934944108209881681267756850321616570826900782355/365375409332725729550921208179070754913983135744
1
81:
83980519924804675984789693848821152298912857771849981761759376499954528317700297858757963769092245931568202002818309513234954548959050365470149758876304727020254537822980529460581812947593943453879172073216055/730750818665451459101842416358141509827966271488
1
82:
-83208949194722825695073970299602006926611834875815019131756179761949301710554620047476134597857129004184221440413154808312241812796912330914804677687297180891923650706595349281166626043632546387898553919610629985/2923003274661805836407369665432566039311865085952
1
83:
41721048187990058122493582882500768037150010751949502012652849796795135877624876910416922741864969066139441516092500203740164377155869575551729111771374710960634828536054167267866569090546058848366694407634389363835/5846006549323611672814739330865132078623730171904
1
84:
-84676343865007686220856680722299097408904088612702047772416611055819839375329713061887112007314165990807508606747084598288075823264352122186878291214620990129216252793197358324375512358226200036996889977180975859027765/46768052394588893382517914646921056628989841375232
1
85:
43472057667309538528387627991322321827784712031252980734244246269293019195044995911307741185148926766778504089248671492472465139044689676985821772172457078080047220985299149724991669480181892440311675756017715945076438965/93536104789177786765035829293842113257979682750464
1
86:
-45157550602665073389789604103699932182479579630110928332707011232488154578019120270983730976036973825940150050461630474609937413971607634844617834673062034607385753343816653105964355122945894770829039182969877509177798420505/374144419156711147060143317175368453031918731001856
1
87:
23724926744135686505135551339654605334974256398317987912428415221582773704299696459294380090580574082866875505815696880263117528778691016452906448302219714033484907600695600933633336824997083559833683639462742484589197486971255/748288838313422294120286634350736906063837462003712
1
88:
-100854952208127391545090197837651501930292657118903034156270157475249679655979176564522333104183284746655503561325733308653094464332939134409369059892130088282692477385629675606099157451836967535679429783105872633491646228201292815/11972621413014756705924586149611790497021399392059392
1
89:
54196625771207368193750494299900543241548239657506961787587059827027134396140092049580954847383903269338861251631059846245365145482523188847393188060977439935178910018949624667583416629086388878993871106292585111785708360221010581115/23945242826029513411849172299223580994042798784118784
1
90:
-58897376140525952384454758702195674819138728579084074936702008396072935528563980510198563446047209354492704317904390265988579224052166666464046229044381776752802651883140773535819307210591685020726064017276138074059600749256839160446505/95780971304118053647396689196894323976171195136475136
1
91:
32356052888969855645916118722449813653874810273622142808761492490258241261530215005503441229728028262303349490704134773462182154977379435454897876053733339469719209051466446645197778797330469412192805424387347990672472857233159613774012955/191561942608236107294793378393788647952342390272950272
1
92:
-71876901769778185373634127435701592631913503487790908787540796252270764161661526087543087455110085251893792580481738258694965847483472775627461901580520499741636251027989228440502049764134054924320244651112617203597478173210386568432605557695/1532495540865888858358347027150309183618739122183602176
1
93:
40348449716203414044453436894420228792760005243064233601389056913433973424499678484034552639602585101911311307794406535343680096972578443397268577192063479135832087239507201273897037356392997555995701990444012484756293369667356931547306930315895/3064991081731777716716694054300618367237478244367204352
1
94:
-45783454468970839108083173132406484578578790175336976483751549959508820076136371114361467301499282890541318503037269652335334276752194117054142850658476588794036126081351429096461905343305646392595466316263454150729492977669577631352035003958157215/12259964326927110866866776217202473468949912977468817408
1
95:
26249802068592137188512801475730518735115174735577268783486595750346654592131033843284507027532685507406817830138521487421280707664121027581410561104931906312886486792059664834881848015857873145823048727885374627955082316425895474225154337385074494665/24519928653854221733733552434404946937899825954937634816
1
96:
-486644496233063148122440574018359988443476812202947070457437637160133037226737670371584152752679770657040764112109514772255942601385368397466288948219262433556298725718655780469716760048760899453030369722351547155876391870209960518715732075189635159930105/1569275433846670190958947355801916604025588861116008628224
1
97:
284852141621152895862800345727799310334351242198319149859323986670217146986773319551128075460399674714409306565534586834975499610795262437502832773828489301042151285344647387365826056516468090610685150858158736210612897615295706219379509798791801476354847605/3138550867693340381917894711603833208051177722232017256448
1
98:
-336886423151451108178326942213736861500206196706865771258455231839571558544604766123594364505620992523290438302937935879304666609350593921164229859699193679201775688179728267550537889975975851348624933705233142983745263625833044126855044576961175743043503113435/12554203470773361527671578846415332832204710888928069025792
1
99:
201233037728690390811801783183655682700895146806927131389512346697536211400918905942796493939993965596942764708433936042285622090511380960985649546889229230260585749489285212572299729990750717861072053286074523663107017882988231981607142521151375991203298268917385/25108406941546723055343157692830665664409421777856138051584
1
100:
-485638474755527903736312211816929419111436317609143745959708296177515572952351517470818095012601668429978910341096158429619159441673499086779619642282591964656936453375413809874259541294089176404701718953939677058661686726093665539759496513166511912622316299586883115/200867255532373784442745261542645325315275374222849104412672
2
0:
5/2
2
1:
39/4
2
2:
-615/8
2
3:
20079/16
2
4:
-3576255/128
2
5:
191998593/256
2
6:
-23513776995/1024
2
7:
1593440096499/2048
2
8:
-938728108308135/32768
2
9:
74240114890410045/65536
2
10:
-12511008808003116345/262144
2
11:
1116918623511149740101/524288
2
12:
-420898421140614115942275/4194304
2
13:
41721137070673556014627509/8388608
2
14:
-8683038228080109373268653035/33554432
2
15:
946876595975161924196157257907/67108864
2
16:
-1728761385100555366160354949795255/2147483648
2
17:
206160413120394698133258656666250933/4294967296
2
18:
-51327784083522997695278597364732624285/17179869184
2
19:
6662576689697582376540046397912584092465/34359738368
2
20:
-3603317545456961387790935497304078695152465/274877906944
2
21:
506940081949115388244765524549167530778951055/549755813888
2
22:
-148265303641262194384306222336247969337494604405/2199023255552
2
23:
22513244897425839893694790338077870728837392114885/4398046511104
2
24:
-28367602806162190258666545811734813819917397945017115/70368744177664
2
25:
4629877182651074444246038440116312380559646217706307849/140737488355328
2
26:
-1564456298810252643060396913533354447771275474511730352685/562949953421312
2
27:
273350783872119873064379107451200182538810041135119934294297/1125899906842624
2
28:
-197387072722295900469415009650203178864486921485617968640021515/9007199254740992
2
29:
36782508551909046359573440897355003312379909934705562598450715965/18014398509481984
2
30:
-14138260021563819100856386506806325342237621070060908577477599145755/72057594037927936
2
31:
2799985046305646021202942564882400889281861879718867252694336800751027/144115188075855872
2
32:
-18270445693296109541170387675604380482932287246858629845181845078557719255/9223372036854775808
2
33:
3833011346676514869742662622008146107301893041910648903248223845486294346149/18446744073709551616
2
34:
-1653435285510978097788815767272775411782067726319313900073577359303394992560645/73786976294838206464
2
35:
366372909163179661931353466853682542310964812726275923052555479761310290393202025/147573952589676412928
2
36:
-333384294352348804981313043550578237996796161056837646127263725659391856461672639205/1180591620717411303424
2
37:
77813005383589920859895677090286987413863148770329205434444646349426251022106568543915/2361183241434822606848
2
38:
-37244872179542730709335024617788383466637814723102420375060533716355402167528715492222385/9444732965739290427392
2
39:
9134225812297979740536371943735293701808820080629501421442454270494284166820465346699705265/18889465931478580854784
2
40:
-18354506691352702858719215122787906209203970460359463031010791909794097861219302300858768863305/302231454903657293676544
2
41:
4719159660052900375079473907620477004146520263389460378678332523804506436622421214573151600315955/604462909807314587353088
2
42:
-2482748357920985391511139825101765067970127830648225737576895508284282661116880191200961274986240135/2417851639229258349412352
2
43:
667838203693640408923931098715395292709322299341426276491455812258818014922486397706890887659249273435/4835703278458516698824704
2
44:
-734452243608862756200879252141587097017699467725908314174880390823046062298317126028692894755467487851365/38685626227668133590597632
2
45:
206296174239820633788447929789061490291743300992474650465309868579839118938421901651104830302827392442406915/77371252455336267181195264
2
46:
-118345971079080299273268380130491845705475293511837266888770530192982506040935866499075322189619704586529252205/309485009821345068724781056
2
47:
34650323526346131608030943882755051520442040232165685736306477291399995405410974038673983100306756767562411529285/618970019642690137449562112
2
48:
-165625205122644670301833719557629345567425314018035569987331263826750175270296549944899665812234551910261039053090955/19807040628566084398385987584
2
49:
50466290492012853838700065771548679516160778030299990971768391119465096446067899326264160643913236463556707588060518545/39614081257132168796771975168
2
50:
-31355872124514890730520665560321270643001302715230939768748772336960882005882001876320897752948585174609065192631593342985/158456325028528675187087900672
2
51:
9927997221586719904448661473045102382758668264502647127352989427273822742012784593487998807307138118741446625422441877061293/316912650057057350374175801344
2
52:
-12810556851665602804583221718995062718725405716176277949018365223786440270178915529793681778715039692049464803219346722882187525/2535301200456458802993406410752
2
53:
4208929910427573738682063162558017168139392832783916191299511825510446143148149418642986754332958420943502452849634512761434267067/5070602400912917605986812821504
2
54:
-2815927604471120814910064661588204408811532987193510113407942218251213362391800956336152057619411710334444240281189598606782245435305/20282409603651670423947251286016
2
55:
958784532359506816290238729355433997861157024347561650588101637916812239039562556767167354746170554590933801437608755421356493911565337/40564819207303340847894502572032
2
56:
-2657409610855846037262547151482405709183782625818852399032479454966877639155274214742654323856706026353461527854754891390872021342667123075/649037107316853453566312041152512
2
57:
936540480138471110595690048470316465815963374819909524963551212517119734178656449875366318739007748940288669732815772124411036911992184695329/1298074214633706907132624082305024
2
58:
-671308147056194167110456088523337835580144881217395247849167064527761946577671981989201592273541638090385933879743533652997780767478842356698325/5192296858534827628530496329220096
2
59:
244604999100295377428580277270136006293930679738701257790033288767109692636706986728622393896275161853019841448654628556340941476807837367569174145/10384593717069655257060992658440192
2
60:
-362352516034585191849905956798757639140883991694898453954860143846589853000434106461684100700199174571985621818473484678166214077054290115470050722075/83076749736557242056487941267521536
2
61:
136360287911443923347487536557433971298352914048548006700113518418369209623448987553458328389982880861399528550906551343006539709854102392626422133896013/166153499473114484112975882535043072
2
62:
-104259769876118694933797989870624560693447988428365834490220382405896250749697429589360049893021779796519306192567034020615502331999205360809965980072920955/664613997892457936451903530140172288
2
63:
40481136774677996930955461025468058592297805858763578186184803694513059205971812722377968934972323429528587602530190693364349755069637803388450053410780520371/1329227995784915872903807060280344576
2
64:
-1021418430863826893908342888396392613651410296295502532510243960150552284269262287926183562111938204958734799567731046073229278833335078835309992243396182599223575/170141183460469231731687303715884105728
2
65:
408799910590825911827937273930769371902647947520093432692659333616329011964238048385834869471432287032204032946243370788678249120251665170807014972932234525219464581/340282366920938463463374607431768211456
2
66:
-332114518463074587679651942958781619565918237644480214785529064754609024407985020035656259439959990600844294519177641456077848985001039395879716975175162881478273660245/1361129467683753853853498429727072845824
2
67:
136893097234500363566911259241627333044739193894555999108208829509957485947577490002373872347740392710626143249914982790495236961535386779221188066361110258828919784516953/2722258935367507707706996859454145691648
2
68:
-228976614128922083979350267332336390278219075291014558933374208335190084668243016066282382158161790199399496133142978980128002227217852475142805258103768414391512117361305005/21778071482940061661655974875633165533184
2
69:
97119946639513582736162762454064611508206908565730950649129742835344132949696234725878076560721586437782795266001612602957974822218921424870679320721605355031447899058662048195/43556142965880123323311949751266331066368
2
70:
-83548316144508145537348085435126238719267729748472598931481629557143052323209828247366607438104741484460779705298014139895267062674227667854440524633306153252617172285484869630985/174224571863520493293247799005065324265472
2
71:
36436404535435314360839041727447165508704216222502677895184562138847665255241150244169551434788083680993143501927801052520557517674784572332825969258236968836630828974370423383616745/348449143727040986586495598010130648530944
2
72:
-128866690724811137861802695073388196479514028250368252921694056187289143986621719863072282350606807553903439609050673592560870273661845399025952849436364352725033038497430023303357960605/5575186299632655785383929568162090376495104
2
73:
57742313146444171972330416776214435865268080783236504548023458897446752850763839204148030710258783272090180692087539215666839112405313244288528899155511596320867036587682488736869731674735/11150372599265311570767859136324180752990208
2
74:
-52437144923138954527931532544141359099667940969315955187823319784490635608664632596867678841305740368290120415422658463744382877587151571310233771859648853642103526038268724492098420111276835/44601490397061246283071436545296723011960832
2
75:
24123498223911656402419180867595270831681299976722279714985547262010984627689057785883657998682934993800494583477102657363999808639081404511716034599556605735679378278945367158499611399517032167/89202980794122492566142873090593446023921664
2
76:
-44969167419142994128962506703328384818492917509654588023752676107131600168302368176455086545217818630814712690268575631569937141238178555182052854084956759174008662799059136545800258923210340617345/713623846352979940529142984724747568191373312
2
77:
21226163836959335924914949515171412115557575906701646068930776334552677717835519863385040211704244872266482340960103045370436442616405516762536082049098477413102452827642556430262534268856073834717607/1427247692705959881058285969449495136382746624
2
78:
-20292278663159576569690848963419815247370212541016678430127883895157568652689795338857372039413308572895708511358795617041353570696253028714933255356288594013614394848511330870616722233977227964794677465/5708990770823839524233143877797980545530986496
2
79:
9821210713123596466073215028323248911515224484422889456505273522575664815745513933880415250897506533089841176414742714661341127188507710574503340003364238236034047722238040169634798023933899845826267211825/11417981541647679048466287755595961091061972992
2
80:
-76994202864157975552068327640956140704238962962418454901603817540135498874884973533968995061722425111559290984862248473625509738866096623552517041123249034320654431475319104933350372633776972120945325777839865/365375409332725729550921208179070754913983135744
2
81:
38186102752309693719725217136433674602193254769178107028282958862617574134643659150363051882398610323579807174066529035278788204729741428409953832939115458267742216535246446166095589465226714506908252573491749403/730750818665451459101842416358141509827966271488
2
82:
-38334866761137833717956955684240523405225824310085669373581022995748014511447375529974589403414964629223840383547291985852260967043941716398643505457223492631802735761241391987787535804233920374049010904326359335635/2923003274661805836407369665432566039311865085952
2
83:
19471634047717366641096889083772782382483767243770838819980304423576392869733608139093779795933618207451260420230935135393795555598168606711225264972177523153859341606225874110778890711837985012029613873108743025515071/5846006549323611672814739330865132078623730171904
2
84:
-40027694054300914170933179514804195790446277476894567506168634947936969493144599094891843078527255087876297315210301983973533614965686010063546277248628411849719921647579587878321969320515847258631016282541018845525354095/46768052394588893382517914646921056628989841375232
2
85:
20810848996173288520005797799903785472285303558510915184179150660805720650598984554167590338995998284034635394248509578880174013774269499023511376222158152686342310118943782430822556584357110157956584704979657895328521112305/93536104789177786765035829293842113257979682750464
2
86:
-21888837644030604537468392095592326630485341885826394914576746511987527754094496295023203955229622394667571672967869745031492621757990703673944448943629822219454005376250395229972658798269405850064073119234597210964514440075115/374144419156711147060143317175368453031918731001856
2
87:
11642418553210827362499740166249166320505181093880585495014198050392215033472020089924884382161304735810250116272372554754846220253081199644776405523636776395274348404423715070494053036944893414143721234782962180946637531539667035/748288838313422294120286634350736906063837462003712
2
88:
-50097548268454631235574623714190014799183815443617826649541607892378736421190144718722372083347784984965338738698403916354430302513060521293276275435538038606314200231111056412190954386327079403035067450200199530101022224120882935245/11972621413014756705924586149611790497021399392059392
2
89:
27246384925507358294141352821855317136210060099209636099081228609558861912057800782386885688082233189928251019946181413570357441400511556313702811742509978013076981799467291671627741893294419612669817269028943300756903764411247687201455/23945242826029513411849172299223580994042798784118784
2
90:
-29963184749112856478257202670708119027873997821178116272415140425032635734234546539798530071420231411434736737839706964283811065322146242676020705856279035054076938820295652141560289094545320445644540899498947247360352065069128213867579915/95780971304118053647396689196894323976171195136475136
2
91:
16654914043589689959510104892242054771116673059576763808443980952207505960896113656085423116811219429910265259737982032980926691523110140160165360365801569624648931662112899459343838380809604206053604781049865696629672225972964335550331947135/191561942608236107294793378393788647952342390272950272
2
92:
-37429316702614336249299930357298379560707967536132638876187815462544953000508693951172103575718290451260595241995702767161647851644029247088367363491251570007458267113062050494905421309673573780359384015539732380180502917294119104206889639859085/1532495540865888858358347027150309183618739122183602176
2
93:
21253345865128044526739716856026254195578361820171522659069346564739292639953384614718184831886021841428638593703128764849536507662322414708013064689662750275150541991995054238390284436227097369903328531666940256757854449337747606547601501920118315/3064991081731777716716694054300618367237478244367204352
2
94:
-24391047409940486449985927094834957097424693387824794174817853051749583341062242648695915126225576220210701831037379700211575444682926561993406728617159906601210906049853323457179391473223148946037916794702601744118107784220971551341635799853235434845/12259964326927110866866776217202473468949912977468817408
2
95:
14142108252753161277712750721310294716801095522916526869740214268517295568208619621686510313741744551628202847260831201974820593746904251055377658952455579129864004005274874507882490649694609317348074163819671754127544365829432658354812644223176634209605/24519928653854221733733552434404946937899825954937634816
2
96:
-265101506113837942904314588731506588586030341806758767358972431195447184979876471799850961556380536784270099735571129905151206917493668201262352431532836013720614948278113284095871881115577366959844228541193042579689415973394152923181318330919156931320183915/1569275433846670190958947355801916604025588861116008628224
2
97:
156884244726501806115356238255813849672636110872004095679033456033401637468062189944916605636035632589796531549655309248397840681047646676434592140694783133003569828014212029442256514208109316567630651858790843888094085962862211536018153585373251680042481463585/3138550867693340381917894711603833208051177722232017256448
2
98:
-187564727189765229861086109543689485647034392126420546425470614075693228412078873368396081978968365696707331855284802664231862349579927089638180348033787302283473781338553057494511188734763924811341899860446980211682742475006182581263345418151094095885633461425505/12554203470773361527671578846415332832204710888928069025792
2
99:
113246353798316424327132265658622200092144829046476185598564667363678054560508082761020564302521196103772483567007345231332771532254650043167154645210062532205341038413050415100433335311617209295473765194277973954345568794693215288112574052695479517088886177025221045/25108406941546723055343157692830665664409421777856138051584
2
100:
-276214106601686941489608324999706948555629545160871488274433838446758377756185983799593204178895930516572325352552896832346828255558980207888163962976822733175772621564019972639110084627515521374659545416630154341309333594195317166057816259568779590895059353044875794545/200867255532373784442745261542645325315275374222849104412672
Definition
For $H(g)=\tfrac12p^2+\tfrac12x^2+gx^4$ on $L^2(\mathbb{R})$, this table gives the coefficient $E_n^{(k)}$ in the formal expansion $E_n(g)\sim\sum_{k\geq0}E_n^{(k)}g^k$ of the $n$th eigenvalue, counted from the ground state $n=0$ [1].
Parameters
$n$
—   energy level ($n\geq0$)
$k$
—   perturbation order ($k\geq0$)
Formulas
(1)
$E_n^{(1)}=\langle n|x^4|n\rangle=\dfrac{3}{4}(2n^2+2n+1)$.
(2)
If $\mathcal{E}_n(\lambda)$ denotes the eigenvalue of $-y''+(x^2+\lambda x^4)y=\mathcal{E}y$, then $\mathcal{E}_n(\lambda)=2E_n(\lambda/2)$. Equivalently, if $\mathcal{E}_n(\lambda)\sim\sum_{k\geq0}\mathcal{E}_n^{(k)}\lambda^k$, then $\mathcal{E}_n^{(k)}=2^{1-k}E_n^{(k)}$.
Comments
(3)
The table uses the Bender-Wu convention of [2]: the unperturbed Hamiltonian is $p^2/2+x^2/2$, the perturbation is $gx^4$, and the level index $n$ starts at $0$ for the ground state. The conventions differ by a factor of two: in the normalisation $-y''+(x^2+\lambda x^4)y=\mathcal{E}y$, used by the table of eigenvalues of the quartic anharmonic oscillator, the eigenvalue is $\mathcal{E}_n(\lambda)=2E_n(\lambda/2)$; see (2).
(4)
For every stored coefficient with $k\geq1$, $(-1)^{k+1}E_n^{(k)}>0$.
Programs
(P1)
Sage
import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.rational_field import QQ


def b_times(v):
    out = {}
    for m, c in v.items():
        if m > 0:
            out[m - 1] = out.get(m - 1, QQ(0)) + c * QQ(m)
        out[m + 1] = out.get(m + 1, QQ(0)) + c
    return {m: c for m, c in out.items() if c}


def x4_times(v):
    out = dict(v)
    for _ in range(4):
        out = b_times(out)
    return {m: c / QQ(4) for m, c in out.items() if c}


def quartic_coefficients(n, K):
    energies = [QQ(n) + QQ(1) / QQ(2)]
    waves = [{n: QQ(1)}]
    for k in range(1, K + 1):
        acted = x4_times(waves[k - 1])
        energies.append(acted.get(n, QQ(0)))
        support = set(acted)
        for previous in waves[1:]:
            support.update(previous)
        wave = {}
        for m in sorted(support):
            if m == n:
                continue
            numerator = -acted.get(m, QQ(0))
            for j in range(1, k + 1):
                numerator += energies[j] * waves[k - j].get(m, QQ(0))
            coefficient = numerator / QQ(m - n)
            if coefficient:
                wave[m] = coefficient
        waves.append(wave)
    return energies


quartic_coefficients(0, 3)
References
[1]
Carl M. Bender and Tai Tsun Wu, Anharmonic oscillator, Physical Review 184 (1969), 1231-1260. (doi)
Links
Similar tables
Eigenvalues of the quartic anharmonic oscillator $-y''+(x^2+\lambda x^4)y$ —   holds the eigenvalues $\mathcal{E}_n(\lambda)$ that these coefficients expand, with $\mathcal{E}_n(\lambda)=2E_n(\lambda/2)$
Data properties
Entries are of type: rational number
How well the digits are known: exact
Table is complete: no (it holds the coefficients for levels $n=0,1,2$ through perturbation order $k=100$, the rectangle covered by the external exact coefficient files used for comparison)
How they were obtained:

The generator uses exact rational arithmetic in the harmonic oscillator basis. The multiplication by $x^4$ is applied as $(a+a^\dagger)^4/4$ to the unnormalised basis $(a^\dagger)^m|0\rangle$, where $a(a^\dagger)^m|0\rangle=m(a^\dagger)^{m-1}|0\rangle$.

more

The Rayleigh-Schrödinger recursion fixes the normalization by setting the coefficient of the unperturbed vector to $1$ at order $0$ and to $0$ at higher orders. Every stored coefficient is checked against the exact coefficient files [3], [4] and [5]; $E_n^{(1)}$ is also checked against (1).



API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.