NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Intersection numbers of $\psi$ classes on $\overline{\mathcal M}_{g,n}$
edit · history · discussion · files · long url · combinatorics algebra
Numbers
$g$
$n$
$(d_1,\ldots,d_n)$ 
$\langle\tau_{d_1}\cdots\tau_{d_n}\rangle_g$
0
3
0, 0, 0:
1
0
4
0, 0, 0, 1:
1
0
5
0, 0, 0, 0, 2:
1
0
5
0, 0, 0, 1, 1:
2
1
1
1:
1/24
1
2
0, 2:
1/24
1
2
1, 1:
1/24
1
3
0, 0, 3:
1/24
1
3
0, 1, 2:
1/12
1
3
1, 1, 1:
1/12
1
4
0, 0, 0, 4:
1/24
1
4
0, 0, 1, 3:
1/8
1
4
0, 0, 2, 2:
1/6
1
4
0, 1, 1, 2:
1/4
1
4
1, 1, 1, 1:
1/4
1
5
0, 0, 0, 0, 5:
1/24
1
5
0, 0, 0, 1, 4:
1/6
1
5
0, 0, 0, 2, 3:
7/24
1
5
0, 0, 1, 1, 3:
1/2
1
5
0, 0, 1, 2, 2:
2/3
1
5
0, 1, 1, 1, 2:
1
1
5
1, 1, 1, 1, 1:
1
2
1
4:
1/1152
2
2
0, 5:
1/1152
2
2
1, 4:
1/384
2
2
2, 3:
29/5760
2
3
0, 0, 6:
1/1152
2
3
0, 1, 5:
1/288
2
3
0, 2, 4:
11/1440
2
3
0, 3, 3:
29/2880
2
3
1, 1, 4:
1/96
2
3
1, 2, 3:
29/1440
2
3
2, 2, 2:
7/240
2
4
0, 0, 0, 7:
1/1152
2
4
0, 0, 1, 6:
5/1152
2
4
0, 0, 2, 5:
1/90
2
4
0, 0, 3, 4:
17/960
2
4
0, 1, 1, 5:
5/288
2
4
0, 1, 2, 4:
11/288
2
4
0, 1, 3, 3:
29/576
2
4
0, 2, 2, 3:
5/72
2
4
1, 1, 1, 4:
5/96
2
4
1, 1, 2, 3:
29/288
2
4
1, 2, 2, 2:
7/48
2
5
0, 0, 0, 0, 8:
1/1152
2
5
0, 0, 0, 1, 7:
1/192
2
5
0, 0, 0, 2, 6:
89/5760
2
5
0, 0, 0, 3, 5:
83/2880
2
5
0, 0, 0, 4, 4:
17/480
2
5
0, 0, 1, 1, 6:
5/192
2
5
0, 0, 1, 2, 5:
1/15
2
5
0, 0, 1, 3, 4:
17/160
2
5
0, 0, 2, 2, 4:
7/48
2
5
0, 0, 2, 3, 3:
109/576
2
5
0, 1, 1, 1, 5:
5/48
2
5
0, 1, 1, 2, 4:
11/48
2
5
0, 1, 1, 3, 3:
29/96
2
5
0, 1, 2, 2, 3:
5/12
2
5
0, 2, 2, 2, 2:
7/12
2
5
1, 1, 1, 1, 4:
5/16
2
5
1, 1, 1, 2, 3:
29/48
2
5
1, 1, 2, 2, 2:
7/8
3
1
7:
1/82944
3
2
0, 8:
1/82944
3
2
1, 7:
5/82944
3
2
2, 6:
77/414720
3
2
3, 5:
503/1451520
3
2
4, 4:
607/1451520
3
3
0, 0, 9:
1/82944
3
3
0, 1, 8:
1/13824
3
3
0, 2, 7:
17/69120
3
3
0, 3, 6:
103/193536
3
3
0, 4, 5:
37/48384
3
3
1, 1, 7:
5/13824
3
3
1, 2, 6:
77/69120
3
3
1, 3, 5:
503/241920
3
3
1, 4, 4:
607/241920
3
3
2, 2, 5:
17/5760
3
3
2, 3, 4:
1121/241920
3
3
3, 3, 3:
583/96768
3
4
0, 0, 0, 10:
1/82944
3
4
0, 0, 1, 9:
7/82944
3
4
0, 0, 2, 8:
11/34560
3
4
0, 0, 3, 7:
251/322560
3
4
0, 0, 4, 6:
251/193536
3
4
0, 0, 5, 5:
37/24192
3
4
0, 1, 1, 8:
7/13824
3
4
0, 1, 2, 7:
119/69120
3
4
0, 1, 3, 6:
103/27648
3
4
0, 1, 4, 5:
37/6912
3
4
0, 2, 2, 6:
179/34560
3
4
0, 2, 3, 5:
167/17280
3
4
0, 2, 4, 4:
407/34560
3
4
0, 3, 3, 4:
1057/69120
3
4
1, 1, 1, 7:
35/13824
3
4
1, 1, 2, 6:
539/69120
3
4
1, 1, 3, 5:
503/34560
3
4
1, 1, 4, 4:
607/34560
3
4
1, 2, 2, 5:
119/5760
3
4
1, 2, 3, 4:
1121/34560
3
4
1, 3, 3, 3:
583/13824
3
4
2, 2, 2, 4:
53/1152
3
4
2, 2, 3, 3:
205/3456
3
5
0, 0, 0, 0, 11:
1/82944
3
5
0, 0, 0, 1, 10:
1/10368
3
5
0, 0, 0, 2, 9:
167/414720
3
5
0, 0, 0, 3, 8:
1061/967680
3
5
0, 0, 0, 4, 7:
251/120960
3
5
0, 0, 0, 5, 6:
547/193536
3
5
0, 0, 1, 1, 9:
7/10368
3
5
0, 0, 1, 2, 8:
11/4320
3
5
0, 0, 1, 3, 7:
251/40320
3
5
0, 0, 1, 4, 6:
251/24192
3
5
0, 0, 1, 5, 5:
37/3024
3
5
0, 0, 2, 2, 7:
149/17280
3
5
0, 0, 2, 3, 6:
2567/138240
3
5
0, 0, 2, 4, 5:
463/17280
3
5
0, 0, 3, 3, 5:
2393/69120
3
5
0, 0, 3, 4, 4:
61/1440
3
5
0, 1, 1, 1, 8:
7/1728
3
5
0, 1, 1, 2, 7:
119/8640
3
5
0, 1, 1, 3, 6:
103/3456
3
5
0, 1, 1, 4, 5:
37/864
3
5
0, 1, 2, 2, 6:
179/4320
3
5
0, 1, 2, 3, 5:
167/2160
3
5
0, 1, 2, 4, 4:
407/4320
3
5
0, 1, 3, 3, 4:
1057/8640
3
5
0, 2, 2, 2, 5:
311/2880
3
5
0, 2, 2, 3, 4:
2941/17280
3
5
0, 2, 3, 3, 3:
3043/13824
3
5
1, 1, 1, 1, 7:
35/1728
3
5
1, 1, 1, 2, 6:
539/8640
3
5
1, 1, 1, 3, 5:
503/4320
3
5
1, 1, 1, 4, 4:
607/4320
3
5
1, 1, 2, 2, 5:
119/720
3
5
1, 1, 2, 3, 4:
1121/4320
3
5
1, 1, 3, 3, 3:
583/1728
3
5
1, 2, 2, 2, 4:
53/144
3
5
1, 2, 2, 3, 3:
205/432
3
5
2, 2, 2, 2, 3:
193/288
4
1
10:
1/7962624
4
2
0, 11:
1/7962624
4
2
1, 10:
7/7962624
4
2
2, 9:
149/39813120
4
2
3, 8:
947/92897280
4
2
4, 7:
1781/92897280
4
2
5, 6:
487/18579456
4
3
0, 0, 12:
1/7962624
4
3
0, 1, 11:
1/995328
4
3
0, 2, 10:
23/4976640
4
3
0, 3, 9:
971/69672960
4
3
0, 4, 8:
341/11612160
4
3
0, 5, 7:
527/11612160
4
3
0, 6, 6:
487/9289728
4
3
1, 1, 10:
7/995328
4
3
1, 2, 9:
149/4976640
4
3
1, 3, 8:
947/11612160
4
3
1, 4, 7:
1781/11612160
4
3
1, 5, 6:
487/2322432
4
3
2, 2, 8:
53/460800
4
3
2, 3, 7:
16243/58060800
4
3
2, 4, 6:
1081/2322432
4
3
2, 5, 5:
533/967680
4
3
3, 3, 6:
1997/3317760
4
3
3, 4, 5:
719/829440
4
3
4, 4, 4:
175/165888
4
4
0, 0, 0, 13:
1/7962624
4
4
0, 0, 1, 12:
1/884736
4
4
0, 0, 2, 11:
7/1244160
4
4
0, 0, 3, 10:
431/23224320
4
4
0, 0, 4, 9:
431/9953280
4
4
0, 0, 5, 8:
31/414720
4
4
0, 0, 6, 7:
649/6635520
4
4
0, 1, 1, 11:
1/110592
4
4
0, 1, 2, 10:
23/552960
4
4
0, 1, 3, 9:
971/7741440
4
4
0, 1, 4, 8:
341/1290240
4
4
0, 1, 5, 7:
527/1290240
4
4
0, 1, 6, 6:
487/1032192
4
4
0, 2, 2, 9:
17/97200
4
4
0, 2, 3, 8:
3457/7257600
4
4
0, 2, 4, 7:
5797/6451200
4
4
0, 2, 5, 6:
3559/2903040
4
4
0, 3, 3, 7:
134867/116121600
4
4
0, 3, 4, 6:
44921/23224320
4
4
0, 3, 5, 5:
829/362880
4
4
0, 4, 4, 5:
257/92160
4
4
1, 1, 1, 10:
7/110592
4
4
1, 1, 2, 9:
149/552960
4
4
1, 1, 3, 8:
947/1290240
4
4
1, 1, 4, 7:
1781/1290240
4
4
1, 1, 5, 6:
487/258048
4
4
1, 2, 2, 8:
53/51200
4
4
1, 2, 3, 7:
16243/6451200
4
4
1, 2, 4, 6:
1081/258048
4
4
1, 2, 5, 5:
533/107520
4
4
1, 3, 3, 6:
1997/368640
4
4
1, 3, 4, 5:
719/92160
4
4
1, 4, 4, 4:
175/18432
4
4
2, 2, 2, 7:
4907/1382400
4
4
2, 2, 3, 6:
7897/1036800
4
4
2, 2, 4, 5:
7597/691200
4
4
2, 3, 3, 5:
1837/129600
4
4
2, 3, 4, 4:
177/10240
4
4
3, 3, 3, 4:
185251/8294400
4
5
0, 0, 0, 0, 14:
1/7962624
4
5
0, 0, 0, 1, 13:
5/3981312
4
5
0, 0, 0, 2, 12:
269/39813120
4
5
0, 0, 0, 3, 11:
337/13934592
4
5
0, 0, 0, 4, 10:
431/6967296
4
5
0, 0, 0, 5, 9:
235/1990656
4
5
0, 0, 0, 6, 8:
229/1327104
4
5
0, 0, 0, 7, 7:
649/3317760
4
5
0, 0, 1, 1, 12:
5/442368
4
5
0, 0, 1, 2, 11:
7/124416
4
5
0, 0, 1, 3, 10:
431/2322432
4
5
0, 0, 1, 4, 9:
431/995328
4
5
0, 0, 1, 5, 8:
31/41472
4
5
0, 0, 1, 6, 7:
649/663552
4
5
0, 0, 2, 2, 10:
3211/12441600
4
5
0, 0, 2, 3, 9:
270559/348364800
4
5
0, 0, 2, 4, 8:
47587/29030400
4
5
0, 0, 2, 5, 7:
36767/14515200
4
5
0, 0, 2, 6, 6:
135803/46448640
4
5
0, 0, 3, 3, 8:
245491/116121600
4
5
0, 0, 3, 4, 7:
77303/19353600
4
5
0, 0, 3, 5, 6:
126449/23224320
4
5
0, 0, 4, 4, 6:
77303/11612160
4
5
0, 0, 4, 5, 5:
22823/2903040
4
5
0, 1, 1, 1, 11:
5/55296
4
5
0, 1, 1, 2, 10:
23/55296
4
5
0, 1, 1, 3, 9:
971/774144
4
5
0, 1, 1, 4, 8:
341/129024
4
5
0, 1, 1, 5, 7:
527/129024
4
5
0, 1, 1, 6, 6:
2435/516096
4
5
0, 1, 2, 2, 9:
17/9720
4
5
0, 1, 2, 3, 8:
3457/725760
4
5
0, 1, 2, 4, 7:
5797/645120
4
5
0, 1, 2, 5, 6:
3559/290304
4
5
0, 1, 3, 3, 7:
134867/11612160
4
5
0, 1, 3, 4, 6:
44921/2322432
4
5
0, 1, 3, 5, 5:
829/36288
4
5
0, 1, 4, 4, 5:
257/9216
4
5
0, 2, 2, 2, 8:
23/3456
4
5
0, 2, 2, 3, 7:
9407/580608
4
5
0, 2, 2, 4, 6:
156683/5806080
4
5
0, 2, 2, 5, 5:
19291/604800
4
5
0, 2, 3, 3, 6:
115541/3317760
4
5
0, 2, 3, 4, 5:
104203/2073600
4
5
0, 2, 4, 4, 4:
2827/46080
4
5
0, 3, 3, 3, 5:
107591/1658880
4
5
0, 3, 3, 4, 4:
328621/4147200
4
5
1, 1, 1, 1, 10:
35/55296
4
5
1, 1, 1, 2, 9:
149/55296
4
5
1, 1, 1, 3, 8:
947/129024
4
5
1, 1, 1, 4, 7:
1781/129024
4
5
1, 1, 1, 5, 6:
2435/129024
4
5
1, 1, 2, 2, 8:
53/5120
4
5
1, 1, 2, 3, 7:
16243/645120
4
5
1, 1, 2, 4, 6:
5405/129024
4
5
1, 1, 2, 5, 5:
533/10752
4
5
1, 1, 3, 3, 6:
1997/36864
4
5
1, 1, 3, 4, 5:
719/9216
4
5
1, 1, 4, 4, 4:
875/9216
4
5
1, 2, 2, 2, 7:
4907/138240
4
5
1, 2, 2, 3, 6:
7897/103680
4
5
1, 2, 2, 4, 5:
7597/69120
4
5
1, 2, 3, 3, 5:
1837/12960
4
5
1, 2, 3, 4, 4:
177/1024
4
5
1, 3, 3, 3, 4:
185251/829440
4
5
2, 2, 2, 2, 6:
2471/23040
4
5
2, 2, 2, 3, 5:
13783/69120
4
5
2, 2, 2, 4, 4:
5609/23040
4
5
2, 2, 3, 3, 4:
26017/82944
4
5
2, 3, 3, 3, 3:
134233/331776
5
1
13:
1/955514880
5
2
0, 14:
1/955514880
5
2
1, 13:
1/106168320
5
2
2, 12:
49/955514880
5
2
3, 11:
307/1672151040
5
2
4, 10:
29/61931520
5
2
5, 9:
2351/2627665920
5
2
6, 8:
2291/1751777280
5
2
7, 7:
173/116785152
5
3
0, 0, 15:
1/955514880
5
3
0, 1, 14:
1/95551488
5
3
0, 2, 13:
29/477757440
5
3
0, 3, 12:
1571/6688604160
5
3
0, 4, 11:
109/167215104
5
3
0, 5, 10:
2507/1839366144
5
3
0, 6, 9:
2315/1051066368
5
3
0, 7, 8:
2443/875888640
5
3
1, 1, 13:
1/10616832
5
3
1, 2, 12:
49/95551488
5
3
1, 3, 11:
307/167215104
5
3
1, 4, 10:
29/6193152
5
3
1, 5, 9:
2351/262766592
5
3
1, 6, 8:
2291/175177728
5
3
1, 7, 7:
865/58392576
5
3
2, 2, 11:
257/99532800
5
3
2, 3, 10:
35521/4180377600
5
3
2, 4, 9:
11827/597196800
5
3
2, 5, 8:
12491/364953600
5
3
2, 6, 7:
195983/4379443200
5
3
3, 3, 9:
213631/8360755200
5
3
3, 4, 8:
10723/199065600
5
3
3, 5, 7:
1276397/15328051200
5
3
3, 6, 6:
1178689/12262440960
5
3
4, 4, 7:
15727/154828800
5
3
4, 5, 6:
424987/3065610240
5
3
5, 5, 5:
41873/255467520
5
4
0, 0, 0, 16:
1/955514880
5
4
0, 0, 1, 15:
11/955514880
5
4
0, 0, 2, 14:
17/238878720
5
4
0, 0, 3, 13:
659/2229534720
5
4
0, 0, 4, 12:
659/743178240
5
4
0, 0, 5, 11:
1853/919683072
5
4
0, 0, 6, 10:
26233/7357464576
5
4
0, 0, 7, 9:
26233/5255331840
5
4
0, 0, 8, 8:
2443/437944320
5
4
0, 1, 1, 14:
11/95551488
5
4
0, 1, 2, 13:
319/477757440
5
4
0, 1, 3, 12:
17281/6688604160
5
4
0, 1, 4, 11:
1199/167215104
5
4
0, 1, 5, 10:
2507/167215104
5
4
0, 1, 6, 9:
2315/95551488
5
4
0, 1, 7, 8:
2443/79626240
5
4
0, 2, 2, 12:
4309/1194393600
5
4
0, 2, 3, 11:
5399/418037760
5
4
0, 2, 4, 10:
27577/836075520
5
4
0, 2, 5, 9:
3761/59719680
5
4
0, 2, 6, 8:
733/7962624
5
4
0, 2, 7, 7:
41531/398131200
5
4
0, 3, 3, 10:
71143/1672151040
5
4
0, 3, 4, 9:
1229/12386304
5
4
0, 3, 5, 8:
23879/139345920
5
4
0, 3, 6, 7:
249869/1114767360
5
4
0, 4, 4, 8:
58333/278691840
5
4
0, 4, 5, 7:
90151/278691840
5
4
0, 4, 6, 6:
27749/74317824
5
4
0, 5, 5, 6:
12295/27869184
5
4
1, 1, 1, 13:
11/10616832
5
4
1, 1, 2, 12:
539/95551488
5
4
1, 1, 3, 11:
3377/167215104
5
4
1, 1, 4, 10:
319/6193152
5
4
1, 1, 5, 9:
2351/23887872
5
4
1, 1, 6, 8:
2291/15925248
5
4
1, 1, 7, 7:
865/5308416
5
4
1, 2, 2, 11:
2827/99532800
5
4
1, 2, 3, 10:
390731/4180377600
5
4
1, 2, 4, 9:
130097/597196800
5
4
1, 2, 5, 8:
12491/33177600
5
4
1, 2, 6, 7:
195983/398131200
5
4
1, 3, 3, 9:
2349941/8360755200
5
4
1, 3, 4, 8:
117953/199065600
5
4
1, 3, 5, 7:
1276397/1393459200
5
4
1, 3, 6, 6:
1178689/1114767360
5
4
1, 4, 4, 7:
172997/154828800
5
4
1, 4, 5, 6:
424987/278691840
5
4
1, 5, 5, 5:
41873/23224320
5
4
2, 2, 2, 10:
13081/99532800
5
4
2, 2, 3, 9:
117871/298598400
5
4
2, 2, 4, 8:
27629/33177600
5
4
2, 2, 5, 7:
14237/11059200
5
4
2, 2, 6, 6:
295693/199065600
5
4
2, 3, 3, 8:
747709/696729600
5
4
2, 3, 4, 7:
2821883/1393459200
5
4
2, 3, 5, 6:
1924831/696729600
5
4
2, 4, 4, 6:
4699193/1393459200
5
4
2, 4, 5, 5:
92599/23224320
5
4
3, 3, 3, 7:
1455581/557383680
5
4
3, 3, 4, 6:
807977/185794560
5
4
3, 3, 5, 5:
1790449/348364800
5
4
3, 4, 4, 5:
624443/99532800
5
4
4, 4, 4, 4:
84659/11059200
5
5
0, 0, 0, 0, 17:
1/955514880
5
5
0, 0, 0, 1, 16:
1/79626240
5
5
0, 0, 0, 2, 15:
79/955514880
5
5
0, 0, 0, 3, 14:
2453/6688604160
5
5
0, 0, 0, 4, 13:
659/557383680
5
5
0, 0, 0, 5, 12:
213481/73574645760
5
5
0, 0, 0, 6, 11:
41057/7357464576
5
5
0, 0, 0, 7, 10:
26233/3065610240
5
5
0, 0, 0, 8, 9:
55549/5255331840
5
5
0, 0, 1, 1, 15:
11/79626240
5
5
0, 0, 1, 2, 14:
17/19906560
5
5
0, 0, 1, 3, 13:
659/185794560
5
5
0, 0, 1, 4, 12:
659/61931520
5
5
0, 0, 1, 5, 11:
1853/76640256
5
5
0, 0, 1, 6, 10:
26233/613122048
5
5
0, 0, 1, 7, 9:
26233/437944320
5
5
0, 0, 1, 8, 8:
2443/36495360
5
5
0, 0, 2, 2, 13:
41/8294400
5
5
0, 0, 2, 3, 12:
638977/33443020800
5
5
0, 0, 2, 4, 11:
493/9289728
5
5
0, 0, 2, 5, 10:
15461/139345920
5
5
0, 0, 2, 6, 9:
85643/477757440
5
5
0, 0, 2, 7, 8:
93/409600
5
5
0, 0, 3, 3, 11:
22867/334430208
5
5
0, 0, 3, 4, 10:
8117/46448640
5
5
0, 0, 3, 5, 9:
557771/1672151040
5
5
0, 0, 3, 6, 8:
543521/1114767360
5
5
0, 0, 3, 7, 7:
85559/154828800
5
5
0, 0, 4, 4, 9:
8117/19906560
5
5
0, 0, 4, 5, 8:
32707/46448640
5
5
0, 0, 4, 6, 7:
85559/92897280
5
5
0, 0, 5, 5, 7:
25271/23224320
5
5
0, 0, 5, 6, 6:
279967/222953472
5
5
0, 1, 1, 1, 14:
11/7962624
5
5
0, 1, 1, 2, 13:
319/39813120
5
5
0, 1, 1, 3, 12:
17281/557383680
5
5
0, 1, 1, 4, 11:
1199/13934592
5
5
0, 1, 1, 5, 10:
2507/13934592
5
5
0, 1, 1, 6, 9:
2315/7962624
5
5
0, 1, 1, 7, 8:
2443/6635520
5
5
0, 1, 2, 2, 12:
4309/99532800
5
5
0, 1, 2, 3, 11:
5399/34836480
5
5
0, 1, 2, 4, 10:
27577/69672960
5
5
0, 1, 2, 5, 9:
3761/4976640
5
5
0, 1, 2, 6, 8:
733/663552
5
5
0, 1, 2, 7, 7:
41531/33177600
5
5
0, 1, 3, 3, 10:
71143/139345920
5
5
0, 1, 3, 4, 9:
1229/1032192
5
5
0, 1, 3, 5, 8:
23879/11612160
5
5
0, 1, 3, 6, 7:
249869/92897280
5
5
0, 1, 4, 4, 8:
58333/23224320
5
5
0, 1, 4, 5, 7:
90151/23224320
5
5
0, 1, 4, 6, 6:
27749/6193152
5
5
0, 1, 5, 5, 6:
12295/2322432
5
5
0, 2, 2, 2, 11:
10781/49766400
5
5
0, 2, 2, 3, 10:
496843/696729600
5
5
0, 2, 2, 4, 9:
55181/33177600
5
5
0, 2, 2, 5, 8:
15887/5529600
5
5
0, 2, 2, 6, 7:
124657/33177600
5
5
0, 2, 3, 3, 9:
716929/334430208
5
5
0, 2, 3, 4, 8:
210113/46448640
5
5
0, 2, 3, 5, 7:
811817/116121600
5
5
0, 2, 3, 6, 6:
8994029/1114767360
5
5
0, 2, 4, 4, 7:
991661/116121600
5
5
0, 2, 4, 5, 6:
540991/46448640
5
5
0, 2, 5, 5, 5:
31967/2322432
5
5
0, 3, 3, 3, 8:
16250413/2786918400
5
5
0, 3, 3, 4, 7:
2557091/232243200
5
5
0, 3, 3, 5, 6:
8368379/557383680
5
5
0, 3, 4, 4, 6:
170407/9289728
5
5
0, 3, 4, 5, 5:
503369/23224320
5
5
0, 4, 4, 4, 5:
43921/1658880
5
5
1, 1, 1, 1, 13:
11/884736
5
5
1, 1, 1, 2, 12:
539/7962624
5
5
1, 1, 1, 3, 11:
3377/13934592
5
5
1, 1, 1, 4, 10:
319/516096
5
5
1, 1, 1, 5, 9:
2351/1990656
5
5
1, 1, 1, 6, 8:
2291/1327104
5
5
1, 1, 1, 7, 7:
865/442368
5
5
1, 1, 2, 2, 11:
2827/8294400
5
5
1, 1, 2, 3, 10:
390731/348364800
5
5
1, 1, 2, 4, 9:
130097/49766400
5
5
1, 1, 2, 5, 8:
12491/2764800
5
5
1, 1, 2, 6, 7:
195983/33177600
5
5
1, 1, 3, 3, 9:
2349941/696729600
5
5
1, 1, 3, 4, 8:
117953/16588800
5
5
1, 1, 3, 5, 7:
1276397/116121600
5
5
1, 1, 3, 6, 6:
1178689/92897280
5
5
1, 1, 4, 4, 7:
172997/12902400
5
5
1, 1, 4, 5, 6:
424987/23224320
5
5
1, 1, 5, 5, 5:
41873/1935360
5
5
1, 2, 2, 2, 10:
13081/8294400
5
5
1, 2, 2, 3, 9:
117871/24883200
5
5
1, 2, 2, 4, 8:
27629/2764800
5
5
1, 2, 2, 5, 7:
14237/921600
5
5
1, 2, 2, 6, 6:
295693/16588800
5
5
1, 2, 3, 3, 8:
747709/58060800
5
5
1, 2, 3, 4, 7:
2821883/116121600
5
5
1, 2, 3, 5, 6:
1924831/58060800
5
5
1, 2, 4, 4, 6:
4699193/116121600
5
5
1, 2, 4, 5, 5:
92599/1935360
5
5
1, 3, 3, 3, 7:
1455581/46448640
5
5
1, 3, 3, 4, 6:
807977/15482880
5
5
1, 3, 3, 5, 5:
1790449/29030400
5
5
1, 3, 4, 4, 5:
624443/8294400
5
5
1, 4, 4, 4, 4:
84659/921600
5
5
2, 2, 2, 2, 9:
33131/4976640
5
5
2, 2, 2, 3, 8:
1667/92160
5
5
2, 2, 2, 4, 7:
56647/1658880
5
5
2, 2, 2, 5, 6:
772639/16588800
5
5
2, 2, 3, 3, 7:
68093/1548288
5
5
2, 2, 3, 4, 6:
210041/2867200
5
5
2, 2, 3, 5, 5:
52373/604800
5
5
2, 2, 4, 4, 5:
438577/4147200
5
5
2, 3, 3, 3, 6:
7515827/79626240
5
5
2, 3, 3, 4, 5:
2259953/16588800
5
5
2, 3, 4, 4, 4:
1379693/8294400
5
5
3, 3, 3, 3, 5:
6990221/39813120
5
5
3, 3, 3, 4, 4:
3556993/16588800
Definition
The entries are top intersection numbers of cotangent line classes on the Deligne-Mumford stack $\overline{\mathcal M}_{g,n}$ of stable genus-$g$ curves with $n$ ordered marked points [1].
Parameters
$g$
—   genus ($g\geq0$)
$n$
—   number of marked points ($n\geq0$, with $2g-2+n>0$)
$(d_1,\ldots,d_n)$
—   exponent profile (a comma-separated non-decreasing list of $n$ nonnegative integers satisfying $\sum_i d_i=3g-3+n$)
Formulas
(1)
$\displaystyle\langle\tau_{d_1}\cdots\tau_{d_n}\rangle_g=\int_{\overline{\mathcal M}_{g,n}}\prod_{i=1}^n\psi_i^{d_i}$ [1].
(2)
For $n\geq3$ and $\sum_i d_i=n-3$, $\displaystyle\langle\tau_{d_1}\cdots\tau_{d_n}\rangle_0=\frac{(n-3)!}{\prod_{i=1}^n d_i!}$ [2].
(3)
For $g\geq1$, $\displaystyle\langle\tau_{3g-2}\rangle_g=\frac{1}{24^g g!}$ [2].
(4)
The string equation is $\displaystyle\left\langle\tau_0\prod_{i=1}^{n}\tau_{d_i}\right\rangle_g=\sum_{j=1}^{n}\left\langle\tau_{d_j-1}\prod_{i\ne j}\tau_{d_i}\right\rangle_g$ for a stable pair $(g,n)$ [2].
(5)
The dilaton equation is $\displaystyle\left\langle\tau_1\prod_{i=1}^{n}\tau_{d_i}\right\rangle_g=(2g-2+n)\left\langle\prod_{i=1}^{n}\tau_{d_i}\right\rangle_g$ for a stable pair $(g,n)$ [2].
Comments
(6)
Integration includes the automorphism weights of the moduli stack. In particular, $\langle\tau_1\rangle_1=1/24$ [3]; removing the factor $1/2$ contributed by the generic elliptic involution would give $1/12$. No factor of $n!$ or of the number of permutations of an exponent profile divides the entries.
(7)
The profile is written as a comma-separated list, including every zero: $0,0,2$ denotes $(0,0,2)$. Sorting only chooses a representative of the symmetric integral. In the formulas, a bracket with a negative exponent or the wrong total degree is zero. Unstable moduli spaces do not supply entries.
(8)
The notation $\tau_d$ records a power $\psi^d$ at one marked point; these intersection numbers are also called Witten correlators [2]. The multiplicity list used by Macaulay2 [3] is different from an exponent profile: the input $\{a_0,\ldots,a_k\}$ means $\tau_0^{a_0}\cdots\tau_k^{a_k}$.
(9)
The fiber of the cotangent line bundle $L_i$ at a pointed curve $(C,p_1,\ldots,p_n)$ is the cotangent space of $C$ at $p_i$. The class $\psi_i=c_1(L_i)$ has complex codimension one [2].
Programs
(P1)
Macaulay2
loadPackage "HodgeIntegrals";
-- Three insertions of tau_5, so g = 5 and n = 3.
wittenTau(5,{0,0,0,0,0,3})
-- 41873/255467520
References
[1]
K. Liu and H. Xu, An effective recursion formula for computing intersection numbers, preprint (2007). (arXiv)
[2]
A. Afandi, An Ehrhart theory for tautological intersection numbers, preprint (2022), Section 3.3. (arXiv)
Links
Similar tables
genus-zero Gromov-Witten invariants of the projective plane —   are intersection invariants on moduli spaces of stable maps to the projective plane, a related enumerative setting
Data properties
Entries are of type: rational number
How well the digits are known: exact
Table is complete: no (it holds every stable pair with $0\leq g\leq5$ and $1\leq n\leq5$, and every non-decreasing nonnegative exponent profile of total degree $3g-3+n$ for each pair; these bounds give a compact reference for low-genus intersections with up to five marked points)
How they were obtained:

Every entry is computed in exact rational arithmetic by the Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde recurrence in [1], together with the string and dilaton equations and the initial values $\langle\tau_0^3\rangle_0=1$ and $\langle\tau_1\rangle_1=1/24$. The attached generator uses Sage rational numbers throughout.

more

The separate checker implements Theorem 1.1 of [1] with Python fractions and an independent genus-zero multinomial formula. It derives the genus-one normalization from genus zero. All 494 entries agree with that implementation. The checks also cover the published examples in [3], every applicable string and dilaton equation within the stored range, all genus-zero and one-point entries, and a separate enumeration of the complete range. The same checks are repeated on values read back from the database.



API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.