NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Multiple zeta values of length 4
edit · history · discussion · files · long url · transcendental period special values L-function
Numbers
$s_1$
$s_2$
$s_3$
$s_4$ 
$\zeta(s_1,s_2,s_3,s_4)$
2
1
1
1:
1.036927755143369926331365486457034168057080919501912811974192677903803589786281484560043106557133336
comment: Duality identifies this value with $\zeta(5)$.
equals: $\zeta(5)$
2
1
1
2:
0.6745239140339681404915606082574299392783843651378895797069172214437748582477248519562526888534307913
2
1
1
3:
0.5842100993421966367453120917683648792150776479775096379689262911338924734352526077260778401245133593
2
1
1
4:
0.5512664993984673923956786407307665377295504207113301651404049168528523025629145398762341927886584550
2
1
1
5:
0.5373389095896214520898848195491176504348765337989643282233210476747713980705538504005998321673943266
2
1
1
6:
0.5310152532602593503086009972728167570192172112121279183599336989962937334577431505259920495574773712
2
1
1
7:
0.5280315715768700659613532386237686620113909714474301530156587813702364104099567653987535729156661537
2
1
1
8:
0.5265923591341326442930993264925529089211331408782606151041023754555231896865078652812488488903339801
2
1
2
1:
0.2137988682245925470995835745080336496409589578655175561445127489471258366146981020417095602899911551
2
1
2
2:
0.1772598173669710114632680950705811589673430943922545274318581234087677161163504906824459806544410593
2
1
2
3:
0.1643805231434401816301921213304200430557207355839071294582335717499296517869469600215215419059233975
2
1
2
4:
0.1590348141417576268016203381256641632191515030776789434024854551316350079702814343826544741042834322
2
1
2
5:
0.1566328182116845494484117978585007125768613848309225491545508597867028458612328572975997393797581917
2
1
2
6:
0.1555064281515069729052967976943188167160539843374934517498699581170965719590127419349044848687513457
2
1
2
7:
0.1549651249479319625500123473245335615928967395523389128513739417215765789340374569164386247720412207
2
1
3
1:
0.07316620928764143682865340609175970284979204703437087772165533215575467418061989182304000759780933069
2
1
3
2:
0.06634774200106420240788505907830124284198900110824644074255372139933595421404694979909238922266646153
2
1
3
3:
0.06357282368695979770807423222702718914017804318855313925853433200478330718328577367253411546431626936
2
1
3
4:
0.06233991773492532850032250153631451114169036062123608429764525392070152324675221804605156840568453839
2
1
3
5:
0.06176559681244073293990819452490978570183231112889348203625631938897117677512219262520730065744029201
2
1
3
6:
0.06149071406600306415172481677238696750999064946276902315484855188833473088711823362413408854060976254
2
1
4
1:
0.03006057645940074841532865628782293409057729111627379268211443646547315320062234441264640316620089980
2
1
4
2:
0.02843641187647399610791365002730611243379709681663375792874844180954773366740834910718622999660405955
2
1
4
3:
0.02772382745702021705139011604472710111605485902561326420125858359855659764038551843594037832308491523
2
1
4
4:
0.02739436329117124229638221869938438769539015737083448337106910606740559371614571506271836700763960965
2
1
4
5:
0.02723739221803638616589510912627384685838474161503675872391201888368202526295005210196076264805233020
2
1
5
1:
0.01344955267544789114681287442927717944916926538755773688764285379666046124778794325885062881489832701
2
1
5
2:
0.01301133349077455635364414603418121363199513802172409134284150565605712618764195344686670373053928108
2
1
5
3:
0.01281043820436218046531375192965699385812218492048205935283618799497382278173956211410958633157160959
2
1
5
4:
0.01271521847288152412156493109845749589178712349924638365857884791813084703069594198191717456051460014
2
1
6
1:
0.006294171699793519382710100720972066230226551745462317679692326211917533290912629121887539363516289782
2
1
6
2:
0.006167134858281392580553356491589648522650127071716050717518622816706532865696770325016335060773912670
2
1
6
3:
0.006107277595370323805548917485200919403401420054230103687267510402749920349355158176439463379861362001
2
1
7
1:
0.003021535557082785144356579740021983176341485992195094398670881144172885264098232549702095350817912399
2
1
7
2:
0.002983035087936842727577035245260760391139449655634673870073540422748781943168879417138490430531460063
2
1
8
1:
0.001472578419920243720830362501564058896248097606457865715252619332418874119902728046388059539799835242
2
2
1
1:
0.08848338245436871429432783908576045664797875238675059167488927655947427892874357145582779460047058662
2
2
1
2:
0.07204663432870657894473824912604695926653331873691349391733896604360975417091336496479778693984804450
2
2
1
3:
0.06634774200106420240788505907830124284198900110824644074255372139933595421404694979909238922266646153
2
2
1
4:
0.06400272404496361190550115322402887159717542895103879238355160653591965912536600941310391637453055069
2
2
1
5:
0.06295409151883486471122556726251973654626965375957272759845217184794024541763996712991083321752077607
2
2
1
6:
0.06246372103410682293944300086753839217805102256308261960678330680444017689793481551457240375971369837
2
2
1
7:
0.06222846276914698437758188024964682700099191744968920527786682124576681694075179647414064058251739707
2
2
2
1:
0.02912562228982622656062435345837756289122685686089427918334340704879748384555078324029844232064995650
2
2
2
2:
0.02614784781765480050465326141949615794945210392317317761273724486074434772330075037487727162428052008
comment: $\zeta(2,2,2,2)=\pi^8/9!$.
2
2
2
3:
0.02494882386737749496986825531238003616348207206427193893161440658368631885478753640980637062421028791
2
2
2
4:
0.02441926022994190813114115243852292755323771367801828169726994689193897122991264728515793441685979845
2
2
2
5:
0.02417343042566924070851359863375700782086626801030015151288895346028210106088711096554790990032120991
2
2
2
6:
0.02405601626666140592638787717206472745491975915697596707566409507964987225321189375563964089752129322
2
2
3
1:
0.01172105966747468292640229273709358606136441777185257770702475601179445819534134283931281917231986267
2
2
3
2:
0.01102451038854630138266348207974846549247058696483706587273553489970212261472734129348061557139515990
2
2
3
3:
0.01072102035963743356695008827818998020349034471666934728863865877098397050120692430478451104147640301
2
2
3
4:
0.01058126886563405923863996128841134627147292687915659582227076157772227120243905075709630151632361276
2
2
3
5:
0.01051484721579810098515816424964344009412078507767538312555006571864006044688364952310846804263006484
2
2
4
1:
0.005183615360169086726157644804175451795443108068515971205922991537636430711098967051986208993006797245
2
2
4
2:
0.004997830290703715977034848099261516618906835938559160308755297183803841143239541758761999350426744374
2
2
4
3:
0.004913051626211761825596878899232598036912223014362316818640874615754689397053683925888971491677668763
2
2
4
4:
0.004872979859471435946109910993239867836884760776424034616538314133977008237846851219812854381569421416
2
2
5
1:
0.002409425942636199951456501631140005599385481113838369294362665843370669138187458113676333798878837478
2
2
5
2:
0.002355972759668375580557254921841301585400970665842646381274609682019379088825319656324958344517648959
2
2
5
3:
0.002330865291742541158006814109751802295371189564417006812037217082011502096670062373929412078614153505
2
2
6
1:
0.001151918836715281392586064256908734664573932006906502421007627318376168285916723557909937107461570028
2
2
6
2:
0.001135800925348400564761194934152147971773951834606748071434428096428991119780096619834338816353733252
2
2
7
1:
0.0005599786342884003787142484466300269676515922192717988010238666507078219086761167131215859009776740038
2
3
1
1:
0.01560984210633321491326964748653397531363092297361104877783768829340440621000888329096562937139652397
2
3
1
2:
0.01386336869371822681961370309509098723794741627331449009587358177699799044686233394308814593007378933
2
3
1
3:
0.01316768556520787962842757015268202903164893157250680604039270099031360833762007862707212386644355086
2
3
1
4:
0.01286228591719838698315224988477286705135638601141474200471224021332121690683235150188806577848042056
2
3
1
5:
0.01272101614478656145643950701703957399269521566569937697776175277067257511835610544721427556294483770
2
3
1
6:
0.01265368565358439178682879151743893886573468962606773428046010061699851767213206898896618540174315331
2
3
2
1:
0.006142239561968286842519779162202585355752343824929343758431831541873178638219208215894562847103365376
2
3
2
2:
0.005741194641497923401340316948206206237441600462553106437140084311590253842565610037803452692601230927
2
3
2
3:
0.005567697744774425766313954185671832419150798428152343208650538142003460378394233353551597558709235372
2
3
2
4:
0.005488138007824839314485971115227954422779845113508445450004223846713872386712763162587273154074746735
2
3
2
5:
0.005450419253191661238321932650005213033555909386964389482013278552837451512183733286010785795298918800
2
3
3
1:
0.002681975749863717491467792152457055104088050031820307710654631220377258965477005062314902858717400065
2
3
3
2:
0.002576269904640659466647418791233736142827605553407943595873558026039068042416640631531651425950984403
2
3
3
3:
0.002528263013144031538129308956916939737022645768528810994474227877902686157512120064104558097069277471
2
3
3
4:
0.002505637014055409828366027057929881461758488719701944552102699549447472011750628315114579308621508074
2
3
4
1:
0.001237321428969095983498972135546011610411749892681362528328060707886307425094364959009370158090843715
2
3
4
2:
0.001207145075688755810997005753765659573808937527644172998611802557745495599847871768707518235027901367
2
3
4
3:
0.001193016902650281725556583576978073926495406381473345562042071093719660678564704943327152201739024552
2
3
5
1:
0.0005888760935965042792672332042961239276484659483164079680755982065761819525743342164000860440493499868
2
3
5
2:
0.0005798247542209356894987855364533504952702447913691401263851509273484803248158871780320264578274613429
2
3
6
1:
0.0002854677386936525625647102460099366359921836194054082844553754356715903877941241474216506937697882054
2
4
1
1:
0.003621814952446977153685943667150598520706415374962598461427922325995896635464915654624140838040352414
2
4
1
2:
0.003361692607219840664884810755571331792979872845625514884071195745767799320335706823302453834586623562
2
4
1
3:
0.003250005966398610627596349812628182701063093294392620098936348002522989601153363867669446737971285192
2
4
1
4:
0.003199016243633621992078506929891916905310991518947565383309534139688666209993832825168846299380031626
2
4
1
5:
0.003174906589304616667879310808273527156583740957952779510535133546648805126571732316896367578404314695
2
4
2
1:
0.001558912871392244380230328718857495534464373404766212336650744333071454923339084862918011119530697661
2
4
2
2:
0.001491209639155066428933120622278813583400081461911226420530572488534682916085789280594480296412867138
2
4
2
3:
0.001460617846784631047230156812342040923788361185118632206471223298197689028993569703176374695102330878
2
4
2
4:
0.001446243862967223195734475966634635515628825993239301379208722363522241746874773310271686726813853093
2
4
3
1:
0.0007131297632067330344828387705593593487647732445403864199016432111299794369014186837872754639455191634
2
4
3
2:
0.0006939630366761622146212917239184112169851038360158484589054381408176939398325847820490472061814643924
2
4
3
3:
0.0006850205775719684964189346817468778333955089800601044967534806469530074732537558230460116090697064790
2
4
4
1:
0.0003376603530614275230583459105883520390113339540810690850257716353869148057098458760117591843902954085
2
4
4
2:
0.0003319437405616910094110733740389655386228415334666822441891576840810698109190065559403986871798113267
2
4
5
1:
0.0001631674710575114637441406256241852223941941776491904225644883629231234595044257360070426460457735961
2
5
1
1:
0.0009632782821178843198040105585996886978557066453992260749639672491895682581407476848964557626886432767
2
5
1
2:
0.0009170741171188242133492953671243366718153792957534193702724058697553955092825848322957046862761067119
2
5
1
3:
0.0008963105507922089072608733990123831047875818503558983170305074171471180832874942195881020504380941560
2
5
1
4:
0.0008865866366905771186864299206994528849372248220656743100922093221296941349199605567570119729639615857
2
5
2
1:
0.0004364260084748441436990287364710102373925097204324167891786819154926948700918312533846350987737057461
2
5
2
2:
0.0004234629086118717159605196261875539393953574518924367607456995743210676884713640770123977451486256926
2
5
2
3:
0.0004174374900810655766318165880718705813074807467438195652923366643286361488840752726153383623962436455
2
5
3
1:
0.0002054370153411303189840724158209063231564540464989493754532603865578732345406283340107668594005096879
2
5
3
2:
0.0002015942455020982147276467301467714933304589670025392882810904970208708863200514299685988847582663885
2
5
4
1:
0.00009891396150292306400655575517862656103133753931426914658286427742661082749857842588324252845219075716
2
6
1
1:
0.0002768622724948830245589405476143561071922475356310203172762563117666727813554318926573690962730008862
2
6
1
2:
0.0002677503219975177566153126177198920785865312764424428535841120713616142189126544865312775483156495072
2
6
1
3:
0.0002635321295623749492583670136417154963426653773352833584211593538364322181313385633471381811122367131
2
6
2
1:
0.0001294581422880428084811559228724212015679383695403060805281032812628204377581310552463179317313347214
2
6
2
2:
0.0001267748339203653123836419548400430912542374299731049249043701751498538286980859724836082946879614747
2
6
3
1:
0.00006207395818009575123335720777758965909574917214340383443956589054349466167364138010603554736053234588
2
7
1
1:
0.00008345271348303644665122281187047182723548860453311839060176180972834226879591324402387050682922204757
2
7
1
2:
0.00008153106225200073728974119151588408686777425105789397352380853881300429868603755368549813048920255135
2
7
2
1:
0.00003982606586047533632105119190917336779383575319597986161411167884236905171999652843244308349402885978
2
8
1
1:
0.00002593857905966236076702713262869130496511580893238935664512366805084079027743266315490698281606604322
3
1
1
1:
0.04053689727151973782904590793969648233449541464269583431608941705395720911079137242898393419464263757
3
1
1
2:
0.03274185114896722689574138816430389509731031828199888521573299544464798748530779184313069253167079044
3
1
1
3:
0.03006057645940074841532865628782293409057729111627379268211443646547315320062234441264640316620089980
3
1
1
4:
0.02896178142300141909720597362490043724338859605893704365086850110758060965263523832105381844393236935
3
1
1
5:
0.02847153311112839645303361262274231268588811311972488876908092492298140821138580137624991349665933334
3
1
1
6:
0.02824257634581591899434145841252492549537700405211207293398262281530995428149062821203445467745461869
3
1
1
7:
0.02813281810307336733990609821293384200114325388026424506047276857912631001467732115680001177247409726
3
1
2
1:
0.01311318820612707246206776974632038669080618984996382654976446600969882257995840154637559981833697623
3
1
2
2:
0.01172105966747468292640229273709358606136441777185257770702475601179445819534134283931281917231986267
3
1
2
3:
0.01116333167798879442473216896212807594615954296445779947298216089075218323144118415635353087425310738
3
1
2
4:
0.01091769048450330918458359894008287921465364897406635481045980237180849803965636931823692007978905227
3
1
2
5:
0.01080384431305844448203454156950387442959643518621251126671456918097919011831784656899839709083927519
3
1
2
6:
0.01074952093041133977022181184788669812426995110564887024544915872979700076782811467178271920462111294
3
1
3
1:
0.005229569563530960100930652283899231589890420784634635522547448972148869544660150074975454324856104016
3
1
3
2:
0.004906721995959720866728846354602087474963460803363434929028684224851090506364482364476642433980101171
3
1
3
3:
0.004766510949885636066303587128255755336556299416226496383786013541311396060878841859530903133077083807
3
1
3
4:
0.004702067314905962143426673071074021726921413582637170494282728053297982996385944328681393089907707112
3
1
3
5:
0.004671472555734771274511269361198911784042679949057242049161572593284840060145830320871456060928217880
3
1
4
1:
0.002301257795637800814445894351902411000522802581333740959172515494020729215130868697988165731971623987
3
1
4
2:
0.002215609740124699559946230483276913799147068967659937492729126247933711147054265831566599398009653382
3
1
4
3:
0.002176609402660333272659491061717243157122410535966592295118386145017997345545811067637171120244000399
3
1
4
4:
0.002158198814302055188896605252790683915500808737053029308512930688577312498362186302612703257299629817
3
1
5
1:
0.001066587272518933890973652669793917393281280488732462254057687850738715206594106227802958160118602891
3
1
5
2:
0.001042030760802174622379475805280935289607861947533481840430253730989420960476095162230347669686591944
3
1
5
3:
0.001030512829807121782799625179248634274175892388227678907621044917744168982016673600259660322405486651
3
1
6
1:
0.0005090469779199881310404416962687637385599273309864624415890454382000071069454979266282575009850573717
3
1
6
2:
0.0005016595377017126525842225576024827620215927311617030110907435082363797295672009233345905620920823227
3
1
7
1:
0.0002472003381364408370623393187748547640662340857955082156118918511193010316002113393547457515007445026
3
2
1
1:
0.006952848152720886494099233174404418505683251714367506919632743601079298435244118670796411072746968909
3
2
1
2:
0.006142239561968286842519779162202585355752343824929343758431831541873178638219208215894562847103365376
3
2
1
3:
0.005821234470390829561583231999592917749102755185569860633488278828964667654012321987695192601111200511
3
2
1
4:
0.005680772333276337847385338748839106711981281416442376381570367760532440129738487980781280590517642450
3
2
1
5:
0.005615919777218284472237800703007366136358655233561109741561800186586809220735410864388664887320655135
3
2
1
6:
0.005585044933371326931441760647042777044267519472068459073354983600530865202613091697530167806004835172
3
2
2
1:
0.002705728482705434651848675945308985826723268379468022198687732837155431332618064696251633279640794731
3
2
2
2:
0.002521452096346291153406923649565931459341107626442219504594102905966881402809043298999573858880170779
3
2
2
3:
0.002442034576006552587421284389600350324728770121267217424049804203024450978198299679309926610839136605
3
2
2
4:
0.002405696456548697233755008133350607534694242104681307008260483658689779016722944686893099983389800573
3
2
2
5:
0.002388491387292455987468531261641017664219693755918313089140763958824566459598734597044822606919928939
3
2
3
1:
0.001174203502986570064116133334491865473078687818811019409756414868884267501557062500949737871664972833
3
2
3
2:
0.001125939651629517265719604151695714379728501518627797638230429930725149500855149397669785175155919988
3
2
3
3:
0.001104075322027524493681412963534432629993169142805281229523525229319034456440755263137751426588004789
3
2
3
4:
0.001093785942553635948243967490986029075745980184091177731834450641955515518806854602481364177751926665
3
2
4
1:
0.0005397939729576382872725288815583587127837626198452887011372731640255624916119529762028041880545959291
3
2
4
2:
0.0005260724727998170769146598555146675533831377090031021065769577531702070322048438061286391328438634058
3
2
4
3:
0.0005196590993027108792843056157311134176846149725730251354144677080252448276558874370093885976988624434
3
2
5
1:
0.0002563582923379381690081995571221971060690724511620139207232879873633881975007307537651308461073274514
3
2
5
2:
0.0002522538389535476453020022337038963507116895520585874411984736759157437336805350760083797064107629767
3
2
6
1:
0.0001241123835605339500838667261343508092453692160520292523344755596794466129854155262024176954608665776
3
3
1
1:
0.001585576601706360552522545808290446337555742624233824557393175820552502102093238328853032422154570825
3
3
1
2:
0.001466587091931170447229800044370733411476945803758427345519189914315311631899332794229617017186783404
3
3
1
3:
0.001415711945770464191488538914238598139186088091331668881865227011876287416800617734400702367631534848
3
3
1
4:
0.001392541708650969052746362986306242951940590254305332601573201459028787615755051170785728459999932628
3
3
1
5:
0.001381601917973509129248483702543110827842859504477452640570777735280517688195501658316679278051501184
3
3
2
1:
0.0006776218626446322877723909619031020185986614237713011432440911208158338592981105915963098665269565772
3
3
2
2:
0.0006468690252193379635759682900297791804853610792590041371310706078080090697683950628649746412797518627
3
3
2
3:
0.0006330120355039538597870212314277332540810593505759069917656534812798813139429301977513612276205287318
3
3
2
4:
0.0006265119697232746658176442667402386564396402614197953235248489623005941407572636637640005448385975001
3
3
3
1:
0.0003087010189922933701750394957638139460738885866159161934422399899195099277792370675891350873318583027
3
3
3
2:
0.0003000347521805444895212692070214627381830279391437871349661993969968409107155442763914782947151078307
3
3
3
3:
0.0002959990140431718355009608191335455832381607121130399547818628332679718081247893555097430800510418006
3
3
4
1:
0.0001458060926054863737909705258542044038028704565750744636092931296676780794582697289662254956917007691
3
3
4
2:
0.0001432292224925365538132323166817042474640553700408014505956475374001186478700503914179311641106949951
3
3
5
1:
0.00007035113875167297421827303694646100908341834638536486124982888879171767859265963747632313674174429640
3
4
1
1:
0.0004171209805225075269098469613816301107798893027473101321771054848298114192832585855138241826955483648
3
4
1
2:
0.0003961949661413428489390669611807882000338858790373421066122136728292911012022992278991886071636755396
3
4
1
3:
0.0003868194605296220059665502041069440376558845975030557145126007878760567118930954002420767269470949057
3
4
1
4:
0.0003824366721689501221223091090911854176963887267447961553982517927752452131280372302662112971227118964
3
4
2
1:
0.0001880963332402994111916616253462392327249626474359216341309024756729952647017791824095518870536621270
3
4
2
2:
0.0001822544664574945694024187631211569888965209199822027542559356612163827222601124810937614824332122483
3
4
2
3:
0.0001795446417276486674636266139976678324815692383266956125198797822712418640470404344301689651039980995
3
4
3
1:
0.00008829303824708338615092554335506402070004516987176587690588475114636978865237072024297424096375420573
3
4
3
2:
0.00008656704318939692243360367881931930807423110263738726263448574385008967030961752011871319121483830153
3
4
4
1:
0.00004243817586539388559728015272090226491909953171058927916780928042080953917402466207757283516130365734
3
5
1
1:
0.0001190339985530447827950891083408942231181615712507811179551017830868233806801013403699181307143661551
3
5
1
2:
0.0001149358174077997884321665070453187101899659430011844155134403398255317506286881827366639666554073024
3
5
1
3:
0.0001130428079966795603017053648939131862737895921369043565556786845158397000077693476394534190224167079
3
5
2
1:
0.00005548313456676323100725033428583307102733895432695451083952027660216745409339840748747522633699392845
3
5
2
2:
0.00005428060757520686813285052036544562452208365044266743559430939569821139646519114216453260442284073903
3
5
3
1:
0.00002655203835125452318602060824057473351192826046767024222052217502963335748460821840744868922401230456
3
6
1
1:
0.00003570812971003249962661018041831105282871254339514671438632785207781325132076865382085361842684592628
3
6
1
2:
0.00003484813762229664624022285971211729034570964897910822376959616123709123308195414892648159686368388437
3
6
2
1:
0.00001700390885455571435882675210903994881310603683053503072032845988964909773094363513948851883732885383
3
7
1
1:
0.00001106236071859839981499125209245455070106902001686796013022083412496651085138921311885266973367174147
4
1
1
1:
0.004123165152432535532023315763103820802459912743354622731193123431948861858149401558168578482438314095
4
1
1
2:
0.003621814952446977153685943667150598520706415374962598461427922325995896635464915654624140838040352414
4
1
1
3:
0.003424490136347731711808689026039723740281378645076503224147861810567894303337383650908691617184130551
4
1
1
4:
0.003338439233005886894784083390909989256311728537126556680012828615911627604207145495055075648665606477
4
1
1
5:
0.003298786477413162596663452051385432120889771581237518354357169175363435283999545153890104920969940150
4
1
1
6:
0.003279930707542638347905718033019577166836583952814103777176667570202807328373860161220372359007483931
4
1
2
1:
0.001585576601706360552522545808290446337555742624233824557393175820552502102093238328853032422154570825
4
1
2
2:
0.001472799231270869219537113404576742984616321489720910292464624505029924652245666088901718127670950719
4
1
2
3:
0.001424389467424764147817049440513411673968899527719951270065614637115592158258150763091113022871217868
4
1
2
4:
0.001402290365081734623534058516471113370329431992263562416556410902508711667004202105752709062362221137
4
1
2
5:
0.001391841492460936807448928321878913832430002090106809186806859404031023581420641971358054534732545780
4
1
3
1:
0.0006835423816101535123344517154657423892293922441880406106943281784030639089334884104852007937816812505
4
1
3
2:
0.0006542013100028256534101963894222081698563942429947522618849071721162368360471435907698699876924467553
4
1
3
3:
0.0006409444463114890386538933365821214773459005175466543787051921279374750010844189500852551439391298383
4
1
3
4:
0.0006347156038310060697919266269860949569525632812655551768137882193076197698190097925258834512136746191
4
1
4
1:
0.0003130273092794244907873111909272004818204507652520532424893321570848905039027094589281099874242840334
4
1
4
2:
0.0003047217553528439318391593899166130283395517553272530783096046400457782245106297515945177249915154976
4
1
4
3:
0.0003008466972137680157936739366097760700465787249231260424146228139854898982580788316405398432255881365
4
1
5
1:
0.0001483217447965550791903650299104061078865581814704925258872415384633951123110462810883013557392223926
4
1
5
2:
0.0001458445368087825384790083862650715894548240187396280271403026719800846698682740526219193180226780168
4
1
6
1:
0.00007170701588382457941120412075170126205709333070197387900147797228062064573361833741196289558369619411
4
2
1
1:
0.0009229090774716352872037090096350569423181359746130618996638251595833938203196553949309350154281699874
4
2
1
2:
0.0008504314667302263985908730878942762746718767071404201440879793366079409019591124737082930601981305372
4
2
1
3:
0.0008195802975056050486942130215750688897892785054575502274980312040845877466013044660196716510917378626
4
2
1
4:
0.0008055657388774369823093159679915369260293759172683423068184119615753307907995465866527091180093935830
4
2
1
5:
0.0007989589240444751026403143880482928576381404423484299980174737220401590867201862529380309238804027809
4
2
2
1:
0.0003913731968672940035216177735916265731404153089161857512399265765076955580339700205896581458276546475
4
2
2
2:
0.0003727803129436246296766900555717115258934792829012539877500895181066129967593015003931474553751416878
4
2
2
3:
0.0003644272590119071045674928034156721531609784229391232640383672273402832834460222728054767175193250837
4
2
2
4:
0.0003605159083980915289676751089963556108870269539847418579246177137566351770889910324019934851087627178
4
2
3
1:
0.0001774937376762009075005035791276947252115010761391179666391391455181185566102806977660331182928791021
4
2
3
2:
0.0001722796462505615154535793130883940070237752980743376923395664752764824683595548989860666324872351072
4
2
3
3:
0.0001698563858103462689999155688770139056387499987189325051761263579003955989999254745610718575215878824
4
2
4
1:
0.00008360819729365135698200520651432536177813418102021849797483670815345532836162836746925572583618735751
4
2
4
2:
0.00008206285728607726301559648476134499970382583713349439701322050810746879258374351972274447543370815242
4
2
5
1:
0.00004027415172295473285698735984270383549603487111418566705580808615919604207761354704024845146715998117
4
3
1
1:
0.0002399118332169229124094771079687207473073874062859035743714860463584346395542723534072395195252325470
4
3
1
2:
0.0002272995270088052541493529241962333741936954929537037427157642542042964495253414657886460757573401304
4
3
1
3:
0.0002216669636307730725972816626308331355095314438330491454731490393115902611666520039553617020198926202
4
3
1
4:
0.0002190389473931630033377082515095417080901722523257949384087517051840402051371028246640107900841759538
4
3
2
1:
0.0001076303211704537312317920664650437536674639626639343242086880941496030153897511307561439607310650865
4
3
2
2:
0.0001041280044163385655813819877517425574704054021265409152583843524656953163687927863733984825135762343
4
3
2
3:
0.0001025069524731409303803335629074052895670410894562145394275209664334175449128160337101856922768567164
4
3
3
1:
0.00005036639057292547058512864944457947193406371526396192859788016770817639522735465826337772898505427431
4
3
3
2:
0.00004933529768006503335496881041055878478821596875797432182331193240197557595093245811929933314116514532
4
3
4
1:
0.00002416295598223704975082329649968482358622169962472453124315777279650342934565661141955551466578884613
4
4
1
1:
0.00006792914736628345920748814183146325325088051956319995811107018049853958562670819832354168872143994528
4
4
1
2:
0.00006547742560561266938187608183130010294520998269659074008141440957011732080859732618796995317625242981
4
4
1
3:
0.00006434759388770423651637734140041606614557546134616152695734487784029016932880765354198277171844879191
4
4
2
1:
0.00003155249251662508261491838769620317111294884893281854539072422926350451379385348202710296205694680515
4
4
2
2:
0.00003083583680688923363515938440005870812553791498363480568466649131802165345950401657283682181251312842
4
4
3
1:
0.00001506756801608587091035447866386491290074532511515351774344644419427216608765936948527865685980888170
4
5
1
1:
0.00002027040390164925483614400225159250054724671112741713357681042292648147563220234947920725192026428090
4
5
1
2:
0.00001975864963774787467263754283729661516881520207394931039312672661706915315267811281707524698270840384
4
5
2
1:
0.000009629477393302237694522297244852325569548570008402865725665572248123865445122932956530911466852383410
4
6
1
1:
0.000006257087905605889508431420716755340864956906883315338300182396096997595184713181048634294924574510984
5
1
1
1:
0.0006028915328331913918759212123126785114678653784121825830701933131206793855503615125613601665397152517
5
1
1
2:
0.0005532839069036495618923214758994031365102653566004297671625471606528740635566357431120420944483010576
5
1
1
3:
0.0005322662062710485072031012946268329609490708700052462172632443527286658288994816579672898570017023733
5
1
1
4:
0.0005227444707478540153379841537290651472341305502899067993014746512890239275446964756897815719035566552
5
1
1
5:
0.0005182629298885265008335829807271742899899934034768218995014752047679278557910091061610764638274046285
5
1
2
1:
0.0002535269585669164389283321819900743411767548937378055409129933063787074308218498047704135186542342764
5
1
2
2:
0.0002409005533092207522841345456274676825660211302019245292221077434525193764270515873456593035151812467
5
1
2
3:
0.0002352457215927332193526640050915474415157474905292174476501344397897997085635664516641054459835199822
5
1
2
4:
0.0002326027666944454803655361467049649223968608097477099324062620912714941611017799190540875907610457038
5
1
3
1:
0.0001144168531519997059048829493135071803761535807031096515752398345072004619472708100585159232873653286
5
1
3
2:
0.0001108941763009523487459549882973512712323158947673344746157062672739096748360270626137826336907942162
5
1
3
3:
0.0001092604730340903032274791098620643466774130858950826222600744601273128048083595828673494155215191195
5
1
4
1:
0.00005373821331995072650802185546060895434268247497661066374922705742675121313089754847202387659821575504
5
1
4
2:
0.00005269777140577373026454544460301067307661424985970865914155502576485039294042350352854796929140713913
5
1
5
1:
0.00002583933075960362570924192633562623139560904159503089371839404019851056497008813731579218524468689659
5
2
1
1:
0.0001547052396317481695333481941330805280493314600067527503350126387865330181380199855997333581135342771
5
2
1
2:
0.0001461685523416216626997372624382887288788531898225407239529574954451849571742440903514924034676119425
5
2
1
3:
0.0001423691122839501785087816065127929256395844697485405835635116998150723807015406171521000408568113567
5
2
1
4:
0.0001405999944410253418863536799354296242200005773480380416436903595412092458852847224866761257225880120
5
2
2
1:
0.00006901598422668996012047180109594125749641467046705271590371229765562428567308438695697198793987947193
5
2
2
2:
0.00006665875109027978570927725328936351051455989032438476741605594230176159504060305152090324608039015582
5
2
2
3:
0.00006557023240951666060353422125980110671535915408919892899384167342016295899679396613674456583896894082
5
2
3
1:
0.00003218790483090754832612989847437065270033402532583581443215548663171411896196163251237100608428926370
5
2
3
2:
0.00003149655196082720039538274499051084205095060309844318993213513198286515034221249612766867673680093700
5
2
4
1:
0.00001541009730766252097416476814539474867364873720543666228441847224337779502484177462541371029557992732
5
3
1
1:
0.00004342997243903687018023761385199211060552626556639955419422282017609891208922969315291075271949605292
5
3
1
2:
0.00004178358430787167561568321630774184118128263611013405992834198499285797153508332263199676390093765543
5
3
1
3:
0.00004102677089823782284482666272950979616268957186162238668157950398873292415454448997311207692611309579
5
3
2
1:
0.00002009605044027800178724796705144704315103855199728686689560589322808975840762148976246425207019034782
5
3
2
2:
0.00001961676296878318577066897615784269208929409351954785649744847978162913567096422391390580972166684234
5
3
3
1:
0.000009574238010308379333477383534277607252361045004378444719229985246315889819597896420091648590984146067
5
4
1
1:
0.00001288502758165578965269616261952280957953589583594797370693975133044273738492687457467720782635757179
5
4
1
2:
0.00001254332164874508238460106981625438328207873010369190566543661830688491441250488479937796935217730516
5
4
2
1:
0.000006104960024710606505120459738128437948068189064739019718967970032191768544091210957070179446485688306
5
5
1
1:
0.000003961594386075977204841309768267136584175973006900680578126393248829553856392392462572231384185371800
6
1
1
1:
0.0001060902289102175205140559549145517589881050333008001339188176848582157464716590315438737643555450881
6
1
1
2:
0.00009993675233652942403432136849423129634855439076485459253965091812474049318214314260914628786764226088
6
1
1
3:
0.00009720787385769479682023535048224172935670907038585037293982394529954697651290106857178219277575261202
6
1
1
4:
0.00009593997280738797135045400669832301822529500282818670488376016533937131856167877472621237151271967840
6
1
2
1:
0.00004704040671615790420120312318065896248313585663472170062767029051505593254871617748914845197472947009
6
1
2
2:
0.00004535136253014322585226479617401720214867865315894743260544441839608662790853187402755900856602379726
6
1
2
3:
0.00004457331628659670898175369407924772327789872086801036888905930814866164726427993598828721398074276075
6
1
3
1:
0.00002185861619320824008236560254246709341615590565248730491947297624394819391690947778518051702406136404
6
1
3
2:
0.00002136522419398617138828666184882235311864906009223434364568620404716805537948081933482504254118365607
6
1
4
1:
0.00001044143400051115838402865194872954827624058687642624425771042426421430230463821259870647873086896378
6
2
1
1:
0.00002950604505239677926788724146142679474844302873509314888542383958920408313216387951852174748506865254
6
2
1
2:
0.00002832919572545100927425359169048033067280585225806619335342909841857934534769207185051030048547994113
6
2
1
3:
0.00002778965606728426840887301954054213291178650247695632729603056881722071279257814698851834788654649140
6
2
2
1:
0.00001359642902813042198458421656467586681680100187331777688350521671124433946209674568985748012295236862
6
2
2
2:
0.00001325531803927949201889949297411511708429694460200855220581383014886650950234909105579715736792702089
6
2
3
1:
0.000006461143168036307739569920821635255195126819881382813396946628812209015360713873787011508220808567832
6
3
1
1:
0.000008698898907598451613684406175912742446555258325010049286314782848821164562915000154073434061275044659
6
3
1
2:
0.000008456120190257829351322095314078231519070366298028436826208803543665862725048212530363725722464028161
6
3
2
1:
0.000004109716298366456927393941118417063810989918147968354839091714013256055838641549763740462197766241901
6
4
1
1:
0.000002662935345819790006071482151266718276921890726448694386306666776883171125333491829206172540159361145
7
1
1
1:
0.00002081079999853278806651305789618933652235306921945485894984093431329245854315221881721085900083181890
7
1
1
2:
0.00001993619880519865221442426431623574676880483921399686751341747733312981722542864870543200142893966921
7
1
1
3:
0.00001953635586361521455773041328237925925546734083324020241246421333566063737361031157005855109041939951
7
1
2
1:
0.000009546350809862003347094802966126862963772371358782744298106102197023972912509624434519475670474762349
7
1
2
2:
0.000009294014080913317915369319846068363478775197152708772928107450017491998624389072619147591608192085528
7
1
3
1:
0.000004523925263736358936414229945502035533315960536947393609059470418233648430240930264569658561359361872
7
2
1
1:
0.000006093347332151199240189625165343339874757941827506164696878368986891836068110414324711537477624174991
7
2
1
2:
0.000005914078217354337705519591825734272315406107204833167803970002222109619927357352795584698577133856843
7
2
2
1:
0.000002869728403587772521274995866565651665183131526071922990429473643172467832394221728479471551121498189
7
3
1
1:
0.000001856486437925298854297523387730144140255338058693030194270876669275560596935968394746642082107575038
8
1
1
1:
0.000004374468014237467266603276025192984919136101960966875600002474749780827707112766216594950509429915095
8
1
1
2:
0.000004238600825838487988462760404199286434837771403412186118974361082611945481074086281475991089548708545
8
1
2
1:
0.000002053188361074658740748509517761640359179485699433997819065403109241006762019374517836363655886300396
8
2
1
1:
0.000001325925456599534061912182636672112259858120335602205094853620810513756069541252368120831486047305821
9
1
1
1:
9.631935862925147642202589306077652585415643037506627900804549170440706310652125062309746646696506895e-7
Definition
The multiple zeta value of length four [1] is $\zeta(s_1,s_2,s_3,s_4)=\sum_{n_1>n_2>n_3>n_4>0}n_1^{-s_1}n_2^{-s_2}n_3^{-s_3}n_4^{-s_4}$, where $s_1\geq2$ and $s_2,s_3,s_4\geq1$ are integers.
Parameters
$s_1$
—   integer ($s_1\geq2$)
$s_2$
—   integer ($s_2\geq1$)
$s_3$
—   integer ($s_3\geq1$)
$s_4$
—   integer ($s_4\geq1$)
Formulas
(1)
For every integer $w\geq5$, $\displaystyle\sum_{\substack{s_1+s_2+s_3+s_4=w\\s_1\geq2,\ s_2,s_3,s_4\geq1}}\zeta(s_1,s_2,s_3,s_4)=\zeta(w)$, where $\zeta(w)$ is a value of the Riemann zeta function [1], Theorem 4.3.
(2)
$\zeta(2,1,1,1)=\zeta(5)$ and $\zeta(2,2,2,2)=\pi^8/9!$ [1], Sections 2.1 and 3.2.
Comments
(3)
The weight is $w=s_1+s_2+s_3+s_4$, and the length is also called the depth.
(4)
Sage uses the opposite argument order: the value indexed by $(s_1,s_2,s_3,s_4)$ is represented by Multizeta(s4,s3,s2,s1).
Programs
(P1)
Sage
from sage.modular.multiple_zeta import Multizeta

def mzv4(s1, s2, s3, s4, digits=100):
    return Multizeta(s4, s3, s2, s1).n(digits=digits)

mzv4(2, 1, 1, 1)
Links
Similar tables
Multiple zeta values of length 2 —   The same summation convention at depth two.
Multiple zeta values of length 3 —   The same summation convention at depth three.
Values of the Riemann zeta function at rational numbers —   The depth-one values appearing in the weight-sum identities.
Data properties
Entries are of type: real number
Table is complete: no (it holds all 330 admissible length-four indices of weight $s_1+s_2+s_3+s_4\leq12$, so every weight through 12 is represented in full, as required for the weight-sum identities)
How well the digits are known: heuristic (agreement-checked)
How they were obtained:

The entries are written to 100 significant digits. Sage's multiple-zeta cache, using PARI/GP zetamultall [2], was rebuilt separately at 150 and 200 decimal working digits, each with 16 additional guard bits. Every pair agreed to at least 155 significant digits. This agreement is a heuristic accuracy check, not an error bound supplied by PARI.

more

Every written interval was also checked to contain an independently computed enclosure. The attached checker evaluates the iterated-integral representation [1], Section 2.1, by splitting at $1/2$ and summing convergent multiple-polylogarithm series in 550-bit ball arithmetic. It uses 650 terms and an explicit geometric upper bound for every omitted tail. Seven controls with known answers pass, including ordinary zeta values and $\zeta(2,1)=\zeta(3)$.

The weight-sum identity was tested for every weight from 5 through 12, and both displayed special values were tested against Arb's ordinary zeta and pi. All 330 intervals and all these identities are checked again after reading the entries back from the database. The attached generator and checks reproduce the computation and its evidence.



API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.