NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Values of the Beta function $B(a,b)$ at pairs of rational numbers
edit · history · discussion · files · short url · period special functions special values
Numbers
$a$
$b$ 
1
1:
1
1
2:
1/2
1
3/2:
2/3
1
4/3:
3/4
1
5/3:
3/5
1
5/4:
4/5
1
7/4:
4/7
1
6/5:
5/6
1
7/5:
5/7
1
8/5:
5/8
1
9/5:
5/9
1
7/6:
6/7
1
11/6:
6/11
1
3:
1/3
1
5/2:
2/5
1
7/3:
3/7
1
8/3:
3/8
1
9/4:
4/9
1
11/4:
4/11
1
11/5:
5/11
1
12/5:
5/12
1
13/5:
5/13
1
14/5:
5/14
1
13/6:
6/13
1
17/6:
6/17
2
2:
1/6
2
3:
1/12
2
5/2:
4/35
2
7/3:
9/70
2
8/3:
9/88
2
9/4:
16/117
2
11/4:
16/165
2
11/5:
25/176
2
12/5:
25/204
2
13/5:
25/234
2
14/5:
25/266
2
13/6:
36/247
2
17/6:
36/391
1/2
1:
2
1/2
2:
4/3
1/2
1/2:
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068
comment: $\pi$.
1/2
3/2:
1.570796326794896619231321691639751442098584699687552910487472296153908203143104499314017412671058534
comment: $\pi/2$.
1/2
2/3:
2.587109559229790534953515025131211637657858514840401576355253541526067494556044450440644287884620027
1/2
4/3:
1.682618526390545113410022894860352962555626646508783315418392784491541719178163955285022719782029742
1/2
5/3:
1.478348319559880305687722871503549507233062008480229472203002023729181425460596828823225307362640015
1/2
3/4:
2.396280469471184414879844984560647756454425326431303116527349905892810428287831341671771112979586779
1/2
5/4:
1.748038369528079873643226393260746275788503300954415441877881135867193724713609500153530355307619396
1/2
7/4:
1.437768281682710648927906990736388653872655195858781869916409943535686256972698805003062667787752067
1/2
3/5:
2.774501918484055737859139776264637993504487999315072019106777588813259132137934804168429095790271355
1/2
4/5:
2.299287818447969763775464390810928981569915266105158908237410638236132556269677085767149539015020761
1/2
6/5:
1.791043749738867524164975305761140105839463143245018757568972803574785493143363131735902987486939483
1/2
7/5:
1.635152880180391476323215166712734847888820641229988416710427462118238230768911470762865618439831333
1/2
8/5:
1.513364682809484947923167150689802541911538908717312010421878684807232253893418984091870415885602557
1/2
9/5:
1.414946349814135239246439625114417834812255548372405481992252700453004650012108975856707408624628161
1/2
5/6:
2.240502600666560439310412641668570469175075971041132013745100731380388730087870663240496817718391174
1/2
7/6:
1.821487985915686208864956267335698436416276133656181955812472064104054265521326880841004545316626583
1/2
11/6:
1.400314125416600274569007901042856543234422481900707508590687957112742956304919164525310511073994484
1/2
3:
16/15
1/2
5/2:
1.178097245096172464423491268729813581573938524765664682865604222115431152357328374485513059503293900
1/2
7/3:
1.223722564647669173389107559898438518222273924733660593031558388721121250311391967480016523477839812
1/2
8/3:
1.137191015046061773605940670387345774794663083446330363233078479791678019585074483710173313355876935
1/2
9/4:
1.248598835377199909745161709471961625563216643538868172769915097047995517652578214395378825219728140
1/2
11/4:
1.118264219086552726943927659461635619678731819001274787712763289416644866534321292780159852723807163
1/2
11/5:
1.264266176286259428822335509949040074710209277584719122989863155464554465748256328284166814696663164
1/2
12/5:
1.204849490659235824659211175472541466865446788274728307049788656297649222671829504772637824113559929
1/2
13/5:
1.153039758331036150798603543382706698599267739975094865083336140805510288680700178355710793055697186
1/2
14/5:
1.107349317245844969845039706611283522896547820465360811993936896006699291313824415887857971967100300
1/2
13/6:
1.275041590140980346205469387134988905491393293559327369068730444872837985864928816588703181721638608
1/2
17/6:
1.100246812827328787161363350819387283969903378636270185321254823445726608525293629269886830129567094
3/2
2:
4/15
3/2
3/2:
0.3926990816987241548078304229099378605246461749218882276218680740384770507857761248285043531677646335
3/2
5/3:
0.3411573045138185320817822011162037324383989250338991089699235439375034058755223451130519940067630805
3/2
7/4:
0.3195040625961579219839793312747530341939233768575070822036466541190413904383775122229028150639449038
3/2
8/5:
0.3603249244784487971245636073070958433122711687422171453385425440017219652127188057361596228299053707
3/2
9/5:
0.3075970325682902694013999185031343119157077279070446699983158044463053586982845599688494366575278610
3/2
11/6:
0.3000673125892714874076445502234692592645191032644373232694331336670163477796255352554236809444273894
3/2
3:
16/105
3/2
5/2:
0.1963495408493620774039152114549689302623230874609441138109340370192385253928880624142521765838823167
3/2
7/3:
0.2159510408201769129510189811585479738039306926000577517114514803625508088784809354376499747313834963
3/2
8/3:
0.1795564760599044905693590532190545960202099605441574257736439704934228451976433395331852600035595160
3/2
9/4:
0.2270179700685818017718475835403566591933121170070669405036209267359991850277414935264325136763142072
3/2
11/4:
0.1720406490902388810682965629940977876428818183078884288788866599102530563898955835046399773421241790
3/2
11/5:
0.2341233659789369312633954648053777916130017180712442820351598436045471232867141348674382990179005860
3/2
12/5:
0.2077326708033165214929674440469899080802494462542635012154808028099395211503154318573513489850965396
3/2
13/5:
0.1859741545695219598062263779649526933224625387056604621102155065815339175291451900573727085573705139
3/2
14/5:
0.1677801995827037833098545010017096246812951243129334563627177115161665592899733963466451472677424697
3/2
13/6:
0.2390702981514338149135255100878104197796362425423738817003869584136571223496741531103818465728072390
3/2
17/6:
0.1650370219240993180742045026229080925954855067954405277981882235168589912787940443904830245194350642
1/3
1:
3
1/3
2:
9/4
1/3
1/2:
4.206546315976362783525057237150882406389066616271958288545981961228854297945409888212556799455074354
1/3
3/2:
2.523927789585817670115034342290529443833439969763174973127589176737312578767245932927534079673044612
1/3
1/3:
5.299916250856349871941068498945316107715605614607672590380715725506359005184323740816460980000150762
comment: The real period of the Dixonian elliptic functions.
1/3
2/3:
3.627598728468435701188156515284311464568132496185481151139769870776246362252707767368249976424120338
comment: $2\pi/\sqrt{3}$.
1/3
4/3:
2.649958125428174935970534249472658053857802807303836295190357862753179502592161870408230490000075381
1/3
5/3:
2.418399152312290467458771010189540976378754997456987434093179913850830908168471844912166650949413558
1/3
3/4:
3.425717493623563760877733540324068916774903908156820433415447844601497731665080183601471538941695987
1/3
5/4:
2.722965636665752084512338130864465417759137202089161206603166409543915423356461641251008901848846303
1/3
7/4:
2.371650572508621065223046297147432326998010397954721838518386969339498429614286280954864911575020299
1/3
2/5:
4.760547281926408006308053407067055555432512907306702929499095404890450570790339966861985980650831243
1/3
3/5:
3.824369802836423166888948072004630788960271099895487665662200336058080567725901856227745459068336646
1/3
4/5:
3.322418287153612332589998986164148511636730717055268875792265956006834893536189090059691437789394103
1/3
6/5:
2.770694947350024886356412645213976202004852778204260836361173856985573446091715926384151847957661032
1/3
7/5:
2.596662153778040730713483676582030302963188858530928870635870220849336674976549072833810534900453405
1/3
8/5:
2.458523444680557750142895189145834078617317135647099213639985930323051793538079764717836366543930701
1/3
9/5:
2.345236437990785175945881637292340125861221682627248618206305380710706983672604063571546897263101720
1/3
5/6:
3.259553792057860241716369771803679386833179762550141933734395414602608122091847023877112762613558265
1/3
7/6:
2.804364210650908522350038158100588270926044410847972192363987974152569531963606592141704532970049569
1/3
11/6:
2.328252708612757315511692694145485276309414116107244238381711010430434372922747874197937687581113047
1/3
3:
27/14
1/3
5/2:
2.065031827842941730094119007328614999500087247988052250740754780966892109900473945122527883368854683
1/3
7/3:
2.119966500342539948776427399578126443086242245843069036152286290202543602073729496326584392000060305
1/3
8/3:
2.015332626926908722882309175157950813648962497880822861744316594875692423473726537426805542457844632
1/3
9/4:
2.149709713157172698299214313840367435073003054280916742055131375955722702649838137829743869880668134
1/3
11/4:
1.992186480907241694787358889603843154678328734281966344355445054245178680876000476002086525723017051
1/3
11/5:
2.168369958795671650191975113645720505916841304681595437152223018510448783897864638039771011445126025
1/3
12/5:
2.097304047282263667114736815700870629316421770351904087821279793762925775942597328058077739727289289
1/3
13/5:
2.034640092149427103566533949637931651269503836397599349219298700957008380859100494938899061967390925
1/3
14/5:
1.978793244554724992204337631465411981195405794716741021611570164974659017473759678638492694565742076
1/3
13/6:
2.181172163839595517383363011856013099609145652881756149616435091007554080416138460554659081198927443
1/3
17/6:
1.970059984210794651586816895046179849184888867475360509399909316518059854011555893552101120260941809
2/3
1:
3/2
2/3
2:
9/10
2/3
3/2:
1.108761239669910229265792153627662130424796506360172104152251517796886069095447621617418980521980012
2/3
2/3:
2.053390217939177181033230936599038986867051426207190851764616838118017065439715039330353109430046603
2/3
4/3:
1.209199576156145233729385505094770488189377498728493717046589956925415454084235922456083325474706779
comment: $2\sqrt{3}\,\pi/9$.
2/3
5/3:
1.026695108969588590516615468299519493433525713103595425882308419059008532719857519665176554715023302
2/3
3/4:
1.871846848991417524656833363903755848005048159218010638556115605776605728007536469988892871315072971
2/3
5/4:
1.268494941193114679216990481305249431341768434541988664757207638156036373483799730358157059815268043
2/3
7/4:
0.9909777435836916307006764867725766254144372607624762204120612030582030324745781311705903436373915728
2/3
4/5:
1.780125734852577484400207974363248015597093597124749432023582293369273075749536748193751987208778487
2/3
6/5:
1.307671663451412030210039681855878708427163907186046642684116873021841143727554107763147232768562050
2/3
7/5:
1.166418696059919770595568533232203585831187801158286786048692749512025708863185388645145880960458114
2/3
8/5:
1.057668735482964062161160343205887587625514285254436024176295794351634518080284907066260171754901326
2/3
9/5:
0.9709776735559513551273861678344989175984146893407724174674085236559671322270200444693192657502428110
2/3
5/6:
1.724739706153193689969010016754141091771905676560267717570169027684044996370696300293762858589746685
2/3
7/6:
1.335495209426766461474399634822037652990816251192373062091905958975772395650825992382590695335110040
2/3
11/6:
0.9581887256406631610938944537523006065399475980890376208723161264911361090948312779409793658831926025
2/3
3:
27/40
2/3
5/2:
0.7676039351560916971840099525114583979863975813262729951823279738593826632199252765043669865152169310
2/3
7/3:
0.8061330507707634891529236700631803254595849991523291446977266379502769693894906149707222169831378528
2/3
8/3:
0.7333536492639918503690110487853710667382326522168538756302202993278632376570410854751261105107309298
2/3
9/4:
0.8272793094737704429676024878077713682663707181795578248416571553191541566198693893640154737925661148
2/3
11/4:
0.7176045729399146291280760766284175563345924991728276078845960435938711614471083018821516281512145872
2/3
11/5:
0.8406460693616220194207397954787791697031767974767442702969322755140407352534276407048803639226470323
2/3
12/5:
0.7901546005567198445969980386411701710469336717523878228071789593468561253589320374692923709732135612
2/3
13/5:
0.7465896956350334556431720069688618265591865542972489582420911489540949539390246402820660035916950535
2/3
14/5:
0.7085512752975861240118763927440938047339782868162393316654062199651652045980957081262600047366636729
2/3
13/6:
0.8498605878170332027564361312503875973577921598496919486039401557118551608687074496980122606677972981
2/3
17/6:
0.7026717321364863181355225994183537781292949052652942553063651594268331466695429371567182016476745752
4/3
2:
9/28
4/3
3/2:
0.4588959617428759400209153349619144443333527217751227223868343957704204688667719878050061963041899295
4/3
4/3:
0.5299916250856349871941068498945316107715605614607672590380715725506359005184323740816460980000150762
4/3
5/3:
0.4030665253853817445764618350315901627297924995761645723488633189751384846947453074853611084915689264
4/3
7/4:
0.3794640916013793704356874075435891723196816636727554941629419150943197487382858049527783858520032478
4/3
7/5:
0.4993581064957770635987468608811596736467670881790247828145904270864108990339517447757327951731641164
4/3
8/5:
0.4238833525311306465763612395079024273478132992494998644206872293660434126789792697789373045765397760
4/3
9/5:
0.3664431934360601837415440058269281446658158879105075965947352157360479661988443849330542026973596437
4/3
11/6:
0.3581927244019626639248757990993054271245252486318837289818016939123745189111919806458365673201712379
4/3
3:
27/140
4/3
5/2:
0.2429449209226990270698963538033664705294220291750649706753829154078696599882910523673562215728064333
4/3
7/3:
0.2649958125428174935970534249472658053857802807303836295190357862753179502592161870408230490000075381
4/3
8/3:
0.2239258474363231914313676861286612015165513886534247624160351772084102692748585041585339491619827369
4/3
9/4:
0.2773818984718932513934470082374667658158713618426989344587266291555771229225597597199669509523442753
4/3
11/4:
0.2153715114494315345716063664436587194246841874899423074978859518102895871217297811894147595376234649
4/3
11/5:
0.2853118366836410066042072517954895402522159611423151890989767129619011557760348207947067120322534243
4/3
12/5:
0.2557687862539345935505776604513256865020026549209639131489365602149909482856826009826924072838157669
4/3
13/5:
0.2312091013806167163143788579134013240078981632269999260476475796542054978248977835157839843144762415
4/3
14/5:
0.2105099196334813821493976203686608490633410419911426618735712941462403210078467743232439036772066038
4/3
13/6:
0.2908229551786127356511150682474684132812194203842341532821913454676738773888184614072878774931903257
4/3
17/6:
0.2073747351800836475354544100048610367563040913131958430947272964755852477906900940581159073958886114
5/3
2:
9/40
5/3
5/3:
0.2933414597055967401476044195141484266952930608867415502520881197311452950628164341900504442042923719
5/3
7/4:
0.2733731706437770015726004101441590690798447615896486125274651594643318710274698292884387154861769856
5/3
9/5:
0.2624263982583652311155097750904051128644364025245330858020023036908019276289243363430592610135791381
5/3
11/6:
0.2555169935041768429583718543339468284106526928237433655659509670643029624252883407842611642355180273
5/3
3:
27/220
5/3
5/2:
0.1616008284539140415124231478971491364181889644897416831962795734440805606778790055798667340032035644
5/3
7/3:
0.1791406779490585531450941489029289612132411109227398099328281417667282154198868033268271593295861895
5/3
8/3:
0.1466707298527983700738022097570742133476465304433707751260440598655726475314082170950252221021461860
5/3
9/4:
0.1890924135940046726783091400703477413180275927267560742495216355015209500845415747117749654383008263
5/3
11/4:
0.1400204044760809032445026490982278158701643900825029478799211792378285193067528393916393420782857731
5/3
11/5:
0.1954990858980516324234278594136695743495759994131963419295191338404745895938203815592745032378248912
5/3
12/5:
0.1717727392514608357819560953567761241406377547287799614798215129014904620345504429281070371680899046
5/3
13/5:
0.1523652440071496848251371442793595564406503172035201955596104385620601946814336000575644905289173579
5/3
14/5:
0.1362598606341511776945916139892488086026881320800460253202704269163779239611722515627423086032045525
5/3
13/6:
0.1999671971334195771191614426471500229077158023175745761421035660498482731455782234583558260394817172
5/3
17/6:
0.1338422346926640605972423998892102434531990295743417629154981256051110755561034166012796574566999191
1/4
1:
4
1/4
2:
16/5
1/4
1/2:
5.244115108584239620929679179782238827365509902863246325633643407601581174140828500460591065922858187
comment: $2\varpi=\Gamma(1/4)^2/\sqrt{2\pi}$, where $\varpi$ is the lemniscate constant. OEIS [4] uses this value as its lemniscate constant.
1/4
3/2:
3.496076739056159747286452786521492551577006601908830883755762271734387449427219000307060710615238791
1/4
1/3:
6.353586485553421530528788972017085974771320138208042815407388288935802654498410496252354104313974706
1/4
2/3:
4.651148117708087157128965098119247914919817593320625104109761339905466702773932344646575885989316157
1/4
4/3:
3.630620848887669446016450841152620557012182936118881608804221879391887231141948855001345202465128404
1/4
5/3:
3.382653176514972477911974616813998483578049158778636439352553701749430329290132614288418826174048114
1/4
1/4:
7.416298709205487673735401388781040184870395294087067622343712180224087107352479913429087446601487589
comment: $\Gamma(1/4)^2/\sqrt{\pi}$.
1/4
3/4:
4.442882938158366247015880990060693698614621689375690223085395606956434793099473910575326934764765237
1/4
5/4:
3.708149354602743836867700694390520092435197647043533811171856090112043553676239956714543723300743795
1/4
7/4:
3.332162203618774685261910742545520273960966267031767667314046705217326094824605432931495201073573928
1/4
2/5:
5.807488203919792232040195482993956046462769254161563319704429598663137515537024740466896293361908708
1/4
3/5:
4.853311552538344457535257142392975951407856526304396824346769136285895066070442676229995652991602801
1/4
4/5:
4.335926338328535230714245351302282240576653171330930443382812078839983852513965551471461555156406516
1/4
6/5:
3.758684485988704430467805766027459901960407408681038855292317735008014875588375193316299785069947683
1/4
7/5:
3.573838894719872142793966451073203720900165694868654350587341291485007701868938301825782334376559205
1/4
8/5:
3.425866978262360793554299159336218318640839900920750699538895860907690634873253653809408696229366683
1/4
9/5:
3.303562924440788747210853600992215040439354797204518433053571107687606744772545182073494518214404964
1/4
5/6:
4.270690375575460918332119732263871837161613245759226622372201266094244509483879423909023231778711383
1/4
7/6:
3.794265421319873843023941560271547678952295958828461100116564259954251112821616626410008514764554410
1/4
11/6:
3.285146442750354552563169024818362951662779419814789709517077896995572699602984172237710178291316449
1/4
3:
128/45
1/4
5/2:
2.996637204905279783388388102732707901351719944493283614647796232915189242366187714548909180527347535
1/4
7/3:
3.057364925379090059803327024128522574326048788310637144256186845803694510435325351580080170496950235
1/4
8/3:
2.941437544795628241662586623316520420502651442416205599437003218912548112426202273294277240151346186
1/4
9/4:
3.090124462168953197389750578658766743695998039202944842643213408426702961396866630595453102750619829
1/4
11/4:
2.915641928166427849604171899727330239715845483652796708899790867065160332971529753815058300939377187
1/4
11/5:
3.110635436680307114869908220160656470587923372701549397483297435868701966004172573779006718678577393
1/4
12/5:
3.032348153095649090855486685759081945006201195646130964134713823078188353100917347003694101895262356
1/4
13/5:
2.962911981199879605236150624290783410716402076472000605006612636460705413944435592483812926468641456
1/4
14/5:
2.900689397069960851209529991115115645263823724374699111949477070164727873458820159869409820871184847
1/4
13/6:
3.124689170498719635431481284929509853254831966094026788331288214079971504676625457043536423923750691
1/4
17/6:
2.890928869620312006255588741840159397463245889437014944375028549356103975650626071569184956896358475
3/4
1:
4/3
3/4
2:
16/21
3/4
3/2:
0.9585121877884737659519379938242591025817701305725212466109399623571241713151325366687084451918347115
3/4
4/3:
1.054066921114942695654687243176636589776893510202098594897060875261999302050793902646606627366675688
3/4
5/3:
0.8808691054077258939561568771311792225906108984555344181440544027184026955329583388183025276776813981
3/4
3/4:
1.694426169587958173212998246964383272962891820653884370121158745319468009668269519446400587989222460
3/4
5/4:
1.110720734539591561753970247515173424653655422343922555771348901739108698274868477643831733691191309
3/4
7/4:
0.8472130847939790866064991234821916364814459103269421850605793726597340048341347597232002939946112299
3/4
4/5:
1.605036944144491960095517286889063343837778864099608959108379548876322162781261602822798799023535736
3/4
6/5:
1.148241177287136301579131296657190006922874361401864868444122967724018798307380269271948906159192055
3/4
7/5:
1.013299971711377450611317185112599143114188575581151309358838884711865636263844930289710629452478990
3/4
8/5:
0.9101239232353067244973430049099084232086704646054331781375813758973695056374543675646202055193286946
3/4
9/5:
0.8284061647197377858557508577491939839162729621159272047010991220006824065967801821020897027218248961
3/4
5/6:
1.551151201973352019621419522311481731448820521397438955132592129175619984162080404110463470866313684
3/4
7/6:
1.174928847663104236279532811220401765500451967097984751264297570588708435730518282713405408163398170
3/4
11/6:
0.8163953694596589576954839591113061744467476428407573448066274364082210442958317916370860372980598336
3/4
3:
128/231
3/4
5/2:
0.6390081251923158439679586625495060683878467537150141644072933082380827808767550244458056301278898077
3/4
7/3:
0.6746028295135633252189998356330474174572118465293431007341189601676795533125080976938282415146724405
3/4
8/3:
0.6074959347639488923835564669870201535107661368658858056165892432540708245054885095298638121915044125
3/4
9/4:
0.6942004590872447260962314046969833904085346389649515973570930635869429364217927985273948335569945683
3/4
11/4:
0.5930491593557853606245493864375341455370121372288595295424055608618138033838943318062402057962278610
3/4
11/5:
0.7066099552536223394333115671736553888756149916319168421194602878301654143430032426288916345595028032
3/4
12/5:
0.6598232373934550841189972368175064187720297701458659688848253202774939026834339080956255261551025983
3/4
13/5:
0.6196588413516981954024463012152567987803713801568906744766511495471451953276285055759116292897557069
3/4
14/5:
0.5847572927433443194275888407641369298232515026700662621419523214122464046565507167779456725095234561
3/4
13/6:
0.7151740811862373612136286676993749876959272843205124572913115647061703521837937373038119875777206249
3/4
17/6:
0.5793773589713708732032466806596366399299499400805374705079291484187375153067193360005126716308811722
5/4
2:
16/45
5/4
3/2:
0.4994395341508799638980646837887846502252866574155472691079660388191982070610312857581515300878912559
5/4
4/3:
0.5732559235085793862131238170240979826861341478082444645480350335881927207066235034212650319681781690
5/4
5/3:
0.4412156317193442362493879934974780630753977163624308399155504828368822168639303409941415860227019279
5/4
5/4:
0.6180248924337906394779501157317533487391996078405889685286426816853405922793733261190906205501239658
5/4
7/4:
0.4165202754523468356577388428181900342451207833789709584142558381521657618530756791164369001341967410
5/4
7/5:
0.5414907416242230519384797653141217758939644992225233864526274684068193487680209548220882324812968492
5/4
8/5:
0.4629549970624811883181485350454349079244378244487500945322832244469852209288180613255957697607252274
5/4
9/5:
0.4028735273708278960013236098770993951755310728298193211040940375228788713137250222040846973432201176
5/4
11/6:
0.3942175731300425463075802829782035541995335303777747651420493476394687239523581006685252213949579738
5/4
3:
128/585
5/4
5/2:
0.2724215640822981621262171002484279910319745404084803286043451120831990220332897922317190164115770487
5/4
7/3:
0.2958740250366861348196768087866312168702627859655455300893084044326155977840637437012980810158338937
5/4
8/3:
0.2521232181253395635710788534271303217573701236356747656660288473353612667793887662823666205844011017
5/4
9/4:
0.3090124462168953197389750578658766743695998039202944842643213408426702961396866630595453102750619829
5/4
11/4:
0.2429701606805356541336809916439441866429871236377330590749825722554300277476274794845881917449480989
5/4
11/5:
0.3174117792530925627418273694041486194477472829287295303554385138641532618371604667121435427223038156
5/4
12/5:
0.2860705804807216123448572345055737683968114335515217890693126248186970144434827685852541605561568260
5/4
13/5:
0.2599045597543754039680833880956827553260001821466667197374221610930443345565294379371765724972492505
5/4
14/5:
0.2377614259893410533778303271405832496117888298667786157335636942757973666769524721204434279402610530
5/4
13/6:
0.3232437072929709967687739260271906744746377895959338056894436083531005004837888403838141128196983473
5/4
17/6:
0.2343996380773225951018044925816345457402631802246228333277050175153597818095102220191231046132182547
7/4
2:
16/77
7/4
7/4:
0.2541639254381937259819497370446574909444337730980826555181738117979202014502404279169600881983833690
7/4
9/5:
0.2436488719763934664281620169850570540930214594458609425591468005884360019402294653241440302123014400
7/4
11/6:
0.2370180104882880844922372784516695345167977027602198742986982879894835289891124556365733656671786614
7/4
3:
128/1155
7/4
5/2:
0.1474634135059190409156827682806552465510415585496186533247599942087883340484819287182628377218207248
7/4
7/3:
0.1640925801519478358640810410999304528949974761828131866650559632840301616165560237633636263143797828
7/4
8/3:
0.1333527661676960983280977610459312532096803715071456646475439802265033517207169898967993734078912125
7/4
9/4:
0.1735501147718111815240578511742458476021336597412378993392732658967357341054481996318487083892486421
7/4
11/4:
0.1270819627190968629909748685223287454722168865490413277590869058989601007251202139584800440991916845
7/4
11/5:
0.1796465987932938151101639577560140819175292351606568242676593952110590036465262481259893986168227466
7/4
12/5:
0.1571007708079654962188088659089300997076261357490157068773393619708318815912937876418156014655006186
7/4
13/5:
0.1387295913473951183736820077347589848015756821246770166738771230329429541778272773677414095424826210
7/4
14/5:
0.1235402731147910534001948255135500555964615850711407596074547157913196629556093063615378181358148147
7/4
13/6:
0.1839019065907467500263616574084107111218098731109889175891944023530152334186898181638373682342710178
7/4
17/6:
0.1212650286219148339262609331613192967295244060633683077807293566457822706455924191628980010390216407
1/5
1:
5
1/5
2:
25/6
1/5
1/2:
6.268653124086036334577413570163990370438121001357565651491404812511749226001770961075660456204288189
1/5
3/2:
4.477609374347168810412438264402850264598657858112546893922432008936963732858407829339757468717348707
1/5
1/3:
7.388519859600066363617100387237269872012940741878028896963130285294862522911242470357738261220429418
1/5
2/3:
5.666577208289452130910171954708807736517710264472868784964506449761311622819401133640304675330435551
1/5
4/3:
4.617824912250041477260687742023293670008087963673768060601956428309289076819526543973586413262768386
1/5
5/3:
4.358905544838040100700132272852929028090546357286822142280389576739470479091847025877157442561873501
1/5
1/4:
8.457040093474584968552562973561784779410916669532337424407714903768033470073844184961674516407382286
1/5
3/4:
5.454145592113897432500873659121652532883653216658858125109584096689089291960056279041757304256162262
1/5
5/4:
4.698355607485880538084757207534324877450509260851298569115397168760018594485468991645374731337434604
1/5
7/4:
4.305904414826761130921742362464462525960778855256993256665461128965070493652676009769808398096970207
1/5
1/5:
9.501501389884367415030576544210529895114850992782658177431167768389650645450023256099648294740771316
1/5
2/5:
6.838085412939917506378997423604562942499114082728552447797917950685725064737739176891648966974209775
1/5
3/5:
5.872250803102905394851606894905352654892264963605387976319599460556259951924960858807830664365755581
1/5
4/5:
5.344796660577975567125921862534413199507254626332622930033316281898105748395374566139019389713483308
1/5
6/5:
4.750750694942183707515288272105264947557425496391329088715583884194825322725011628049824147370385658
1/5
7/5:
4.558723608626611670919331615736375294999409388485701631865278633790483376491826117927765977982806516
1/5
8/5:
4.404188102327179046138705171179014491169198722704040982239699595417194963943720644105872998274316686
1/5
9/5:
4.275837328462380453700737490027530559605803701066098344026653025518484598716299652911215511770786646
1/5
5/6:
5.278007389475821628211924140950690702891630937648301362639677743791130397283818886769180657208027604
1/5
7/6:
4.787597440263337699153635876813446505699503140274967944612273988744620496292496697705424794909601585
1/5
11/6:
4.256457572157920667912842049153782824912605594877662389225546567573492255874047489329984400974215810
1/5
3:
125/33
1/5
5/2:
3.950831800894560715069798468590750233469403992452247259343322360826732705463301025888021295927072388
1/5
7/3:
4.015499923695688241096250210455037973920076490151102661393005589834164414625675255629205576750233379
1/5
8/3:
3.891879950748250089910832386475829489366559247577519769893204979231670070617720558818890573715958483
1/5
9/4:
4.050306558177483222486859661667521446078025224871809111306376869620705684901266372108081664946064313
1/5
11/4:
3.864273192793247168775922632980927907913519485487045230340798449071217109688298983126751126497280955
1/5
11/5:
4.072072024236157463584532804661655669334936139763996361756214757881278848050009966899849269174616278
1/5
12/5:
3.988883157548285212054415163769328383124483214924988927882118804566672954430347853186795230734955702
1/5
13/5:
3.914833868735270263234404596603568436594843309070258650879732973704173301283307239205220442910503721
1/5
14/5:
3.848253595616142408330663741024777503645223330959488509623987722966636138844669687620093960593707981
1/5
13/6:
4.086973424615044377326274528987088480475185607551801903937307063562480911469204498041216288337464768
1/5
17/6:
3.837789614240748143200103486941935333937595208496252973891886249451509411033977244477854787763637206
2/5
1:
5/2
2/5
2:
25/14
2/5
1/2:
3.679093980405880821727234125103653407749846442767473937598461789766036019230050809216447641489620499
2/5
3/2:
2.043941100225489345404018958390918559861025801537485520888034327647797788461139338453582023049789166
2/5
2/3:
3.110449856159786054921516088619209562216500803088764762796513998698735223635161036387055682561221638
2/5
4/3:
2.163885128148367275594569730485025252469324048775774058863225184041113895813790894028175445750377838
2/5
5/3:
1.944031160099866284325947555387005976385313001930477976747821249186709514771975647741909801600763524
2/5
3/4:
2.913237418670210170507536907198722536453292154795810014406661793546613704258554174582918059675877097
2/5
5/4:
2.233649309199920089246229031920752325562603559292908969117088307178129813668086438641113958985349503
2/5
7/4:
1.899937446958832719896219722086123393339103579214658705047822908834748067994709244293207430223398107
2/5
2/5:
4.226169203171729043605006136485895707765385956281164821861049769301343839509846226748527756435113043
2/5
3/5:
3.303265999194124105185898796051820170875600942690217032098779457995221345016496730341382940445813313
2/5
4/5:
2.812606366751803083230257631281275481685948478865818611446337763124706839263086023266498400918911525
2/5
6/5:
2.279361804313305835459665807868187647499704694242850815932639316895241688245913058963882988991403258
2/5
7/5:
2.113084601585864521802503068242947853882692978140582410930524884650671919754923113374263878217556521
2/5
8/5:
1.981959599516474463111539277631092102525360565614130219259267674797132807009898038204829764267487988
2/5
9/5:
1.875070911167868722153505087520850321123965652577212407630891842083137892842057348844332267279274350
2/5
5/6:
2.751469311239142509362543295960293686596783304002529428583563491566114760821573054848615685310085951
2/5
7/6:
2.311655242984993915875189822329723160152302286238159129932775314719510256331877409519068457035293659
2/5
11/6:
1.859100885972393587407123848621820058511340070271979343637542899706834297852414226249064652236544561
2/5
3:
125/84
2/5
5/2:
1.613637710704333693740014967150725178837651948582225411227395521827208780364057372463354228723517763
2/5
7/3:
1.664527021652590211995822869603865578822556960596749276048634756954702996779839149252442650577213721
2/5
8/3:
1.567767064596666358327377060795972561601058872524579013506307459021539931267722296566056291613518971
2/5
9/4:
1.692158567575697037307749266606630549668639060070385582664460838771310464900065483819025726504052654
2/5
11/4:
1.546460712640910353403899773791030668996944773779373364573809344400376334414298222099122326926021715
2/5
11/5:
1.709521353234979376594749355901140735624778520682138111949479487671431266184434794222912241743552444
2/5
12/5:
1.643510245677894628068613497522292775242094538553786319612630465839411493142717977068871905280321739
2/5
13/5:
1.585567679613179570489231422104873682020288452491304175407414139837706245607918430563863811413990390
2/5
14/5:
1.534148927319165318125595071607968444555971897563173788061638779886203730507137830872635491410315378
2/5
13/6:
1.721445393712229511821949867692347034155969787624161054205258213088996999396078921982285021196495278
2/5
17/6:
1.526127592962412646378982263794031391315279162163565132836788947520535617640041529010426207059850013
3/5
1:
5/3
3/5
2:
25/24
3/5
3/2:
1.261137235674570789935972625574835451592949090597760008684898904006026878244515820076558679904668798
3/5
2/3:
2.232856219352924131229116280101318240542752379981587162149957788075672871502823692695438140371458354
3/5
4/3:
1.365846358155865416746052882858796710342953964248388452022214405735028774187822091509909092524405945
3/5
5/3:
1.175187483869960069067955936895430652917238094727151137973661993724038353422538785629177968616557029
3/5
3/4:
2.047778827279440130119021761047293952219508545362224650809558095769081387684272327020395462418489563
3/5
5/4:
1.427444574275983663980957983056757632767016625383646124807873275378204431197189022420586956762236118
3/5
7/4:
1.137654904044133405621678756137385529010838080756791472671976719871711882046817959455775256899160868
3/5
3/5:
2.415344208002471821259675162453833473393378637463124895781517699160391897945865778313831667280986511
3/5
4/5:
1.954054511539097586516128501068068199633339327978389960575457678808266481720022004634465937794295850
3/5
6/5:
1.468062700775726348712901723726338163723066240901346994079899865139064987981240214701957666091438895
3/5
7/5:
1.321306399677649642074359518420728068350240377076086812839511783198088538006598692136553176178325325
3/5
8/5:
1.207672104001235910629837581226916736696689318731562447890758849580195948972932889156915833640493256
3/5
9/5:
1.116602578022341478009216286324610399790479615987651406043118673604723703840012574076837678739597628
3/5
5/6:
1.897377986983526389233015796438691319034743150149640075450162568567442634204538267190168962392080180
3/5
7/6:
1.496873665048827354749494485557474682004014006468580893522733919736617058740575925604751922324142594
3/5
11/6:
1.103126736618329296065706858394587976182990203575372136889629400329908508258452480924516838600046616
3/5
3:
125/156
3/5
5/2:
0.9008123111961219928114090182677396082806779218555428633463563600043049130317970143403990570747634268
3/5
7/3:
0.9419630056247347701696916433508942829951406649988885876015271763689853615088428217309717879478661689
3/5
8/3:
0.8641084440220294625499676006584048918509103637699640720394573483264987892812785188449838004533507564
3/5
9/4:
0.9644895772135024756628094480113227248425788009348960302755900509312192102683709610949911870015108905
3/5
11/4:
0.8471898221605248765267820524427339045825389963082489690110464935214875717369920974670666806695878806
3/5
11/5:
0.9787084671838175658086011491508921091487108272675646627199332434260433253208268098013051107276259302
3/5
12/5:
0.9249144797743547494520516628945096478451682639532607689876582482386619766046190844955872233248277276
3/5
13/5:
0.8783069847281715713671546045286667175975922318047726893750973451492334174348602830232115153749041859
3/5
14/5:
0.8374519335167561085069122147434577998428597119907385545323390052035427778800094305576282590546982213
3/5
13/6:
0.9885014769190369323817416414058795069837828344603836089301073054864452274701916489842701373838677507
3/5
17/6:
0.8311228837535357710084092768726347765762254958444584593004057125773283281399299513814852893561995052
4/5
1:
5/4
4/5
2:
25/36
4/5
3/2:
0.8843414686338345245290247656965111467576597177327534262451579377831279062575681099104421303903926005
4/5
4/3:
0.9771818491628271566441173488718083857755090344280202575859605752961279098635850264881445405262923831
4/5
5/3:
0.8091480612966261292728218065287490979986789077839770145561737697133059435225167037244327214585356758
4/5
5/4:
1.032363413887746483503391750310067200137298374126412010329240971152377107741420369397967036942001551
4/5
7/4:
0.7766307794247541742397664291398693599215059019836817544072804268756397561844814207207090963017108401
4/5
4/5:
1.516964232792923191134782512374917155728750692017848148950049113963099486350205696847609308394011615
4/5
6/5:
1.068959332115595113425184372506882639901450925266524586006663256379621149679074913227803877942696662
4/5
7/5:
0.9375354555839343610767525437604251605619828262886062038154459210415689464210286744221661336396371752
4/5
8/5:
0.8374519335167561085069122147434577998428597119907385545323390052035427778800094305576282590546982213
4/5
9/5:
0.7584821163964615955673912561874585778643753460089240744750245569815497431751028484238046541970058076
4/5
5/6:
1.463924544872822508762645044903379378815939097598634569066972580118615251054806265998823388171649775
4/5
7/6:
1.095012346415439945428249009446885515497385946978850324740619317866985729808680098138402164296855122
4/5
11/6:
0.7469002779963380146748189004609078463346628048972625352382513163870485974769419724483792796794131504
4/5
3:
125/252
4/5
5/2:
0.5767444360655442551276248471933768348419519898257087562468421333368225475592835499415926937328647394
4/5
7/3:
0.6107386557267669729025733430448802411096931465175126609912253595600799436647406415550903378289327395
4/5
8/3:
0.5467216630382608981573120314383439851342425052594439287541714660225040158935923673813734604449565377
4/5
9/4:
0.6294898865169185875020681404329678049617673012965926892251469336294982364276953471938823395987814337
4/5
11/4:
0.5329819074483607078116044121548123058284844425378208118481336262872037542442519553965650660894094001
4/5
11/5:
0.6413755992693570680551106235041295839408705551599147516039979538277726898074449479366823267656179969
4/5
12/5:
0.5966134717352309570488425278475432839939890712745675842461928588446347840861091564504693577706782024
4/5
13/5:
0.5583012890111707390046081431623051998952398079938257030215593368023618519200062870384188393697988142
4/5
14/5:
0.5251030036590887969312708696682405539061060087754089746365554625256882837366096642934032221363886360
4/5
13/6:
0.6495835953311931879659104293328981871594662397332162943376555275482118736153187022854928093286428692
4/5
17/6:
0.5199938644278302633812030319664548297266639780930308789633395240669325678636937782868463339540218136
6/5
2:
25/66
6/5
3/2:
0.5267775734526080953426397958121000311292538656602996345791096481102310273951068034517361727902763184
6/5
4/3:
0.6023249885543532361644375315682556960880114735226653992089508384751246621938512883443808365125350069
6/5
5/3:
0.4670255940897900107892998863770995387239871097093023723871845975078004084741264670582668688459150179
6/5
5/4:
0.6480490493083973155978975458668034313724840359794894578090202991393129095842026195372930663913702901
6/5
7/4:
0.4416312220335139621458197294835346180472593697699480263246626798938533839643770266430572715996892520
6/5
6/5:
0.6786786707060262439307554674436092782224893566273327269593691263135464746750016611499748781957693797
6/5
7/5:
0.5698404510783264588649164519670469118749261735607127039831598292238104220614782647409707472478508145
6/5
8/5:
0.4893542335919087829043005745754460545743554136337823313599666217130216626604134049006525553638129651
6/5
9/5:
0.4275837328462380453700737490027530559605803701066098344026653025518484598716299652911215511770786646
6/5
11/6:
0.4186679579171725247127385622118474909750103863814094153336603181219828448400702448521296132105786043
6/5
3:
125/528
6/5
5/2:
0.2926542074736711640792443310067222395162521475890553525439498045056839041083926685842978737723757325
6/5
7/3:
0.3170131518707122295602302797727661558357955123803502101099741255132235064178164675496741244802815826
6/5
8/3:
0.2715265081917383783658720269634299643744111102961060304576654636673258188803060854989923656080901267
6/5
9/4:
0.3306372700553047528560701764626548119247367530507599274535817852751596477470421528251495236690664746
6/5
11/4:
0.2619846232402201470356557717275205361297301346092912020570032846827943803178507785170678729828665054
6/5
11/5:
0.3393393353530131219653777337218046391112446783136663634796845631567732373375008305749874390978846899
6/5
12/5:
0.3068371659652527086195703972130252602403448626865376098370860618897440734177190656297534792873042848
6/5
13/5:
0.2796309906239478759453146140431120311853459506478756179199809266931552358059505170860871744936074086
6/5
14/5:
0.2565502397077428272220442494016518335763482220639659006415991815311090759229779791746729307062471988
6/5
13/6:
0.3453780358829614966754598193510215617302973752860677665299132729771110629410595350457365877468280085
6/5
17/6:
0.2530410734664229544967101200181495824574238599008518444324320604033962249033391589765618541382617938
7/5
2:
25/84
7/5
3/2:
0.4303033895211556516640039912401933810233738529552601096606388058205890080970819659902277943262714034
7/5
5/3:
0.3762640955031999259985704945910334147842541294058989632415137901651695835042533511758535099872445530
7/5
7/4:
0.3534767343179223664923199482950927243421588054352853404740135644343717335804110221940851032973763920
7/5
7/5:
0.4695743559079698937338895707206550786405984395867960913178944188112604266122051363053919729372347825
7/5
8/5:
0.3963919199032948926223078555262184205050721131228260438518535349594265614019796076409659528534975976
7/5
9/5:
0.3409219838487034040279100159128818765679937550140386195692530621969341623349195179716967758689589728
7/5
11/6:
0.3329732930099809410281415848277886671960609081084142108007539521862986802123726972386384451766945483
7/5
3:
125/714
7/5
5/2:
0.2225707187178391301710365471932034729431244067009966084451580030106494869467665341328764453411748638
7/5
7/3:
0.2435893202418424700481692004298339871447644332580608696656538668714199507482691437930403878893483495
7/5
8/3:
0.2044913562517390902166143992342572906436163746771190017616922772636791214697029082477464728191546483
7/5
9/4:
0.2554201611435014395936225308085480074971530656710015973833148435881223343245381862368340719251400232
7/5
11/4:
0.1963759635099568702735110823861626246345326696862696335966742024635398519891172345522695018318757733
7/5
11/5:
0.2630032851130737502453460547540216516345813108741750941460737673340663486437591991112172679605465298
7/5
12/5:
0.2347871779539849468669447853603275393202992197933980456589472094056302133061025681526959864686173913
7/5
13/5:
0.2114090239484239427318975229473164909360384603321738900543218853116941660810557907418485081885320520
7/5
14/5:
0.1917686159148956647656993839509960555694964871953967235077048474857754663133922288590794364262894222
7/5
13/6:
0.2682772042148929109332908884715346027256056811881809435125077734684151167889993125167197435630901732
7/5
17/6:
0.1887992898510201212015235790260657391317871128449771298354790450540868805327886427641764379867855686
8/5
2:
25/104
8/5
5/3:
0.3110790398479306065179883362370257610663277309571870659342046453975395641412602667841941681632062723
8/5
7/4:
0.2904650818836085290948967036946516244282990844485425036609302263502243103098258619887085762295729876
8/5
8/5:
0.3293651192730643392626829766982500190990970869267897585156615044309625315380726061337043182655890697
8/5
9/5:
0.2791506445055853695023040715811525999476199039969128515107796684011809259600031435192094196848994071
8/5
11/6:
0.2720038528647935250572975815219531996067647077309136775892236877525801801185225295430315492438471108
8/5
3:
125/936
8/5
5/2:
0.1743507699089268373183372293421431499898086300365566832283270374201880476835736156787869142725348568
8/5
7/3:
0.1926742511505139302619823815945011033399151360224999383730396497118379148540814862631533202620635346
8/5
8/3:
0.1587137958407809216928511919576662046256774137536668703745942068354793694598266667266296776342889144
8/5
9/4:
0.2030504373081057843500651469497521525984376423020833747948610633539408863722886233884191972634759769
8/5
11/4:
0.1517354905362134107212146959598926396267234023238654869870531033172813561319985846209671666870903667
8/5
11/5:
0.2097232429679609069589859605323340233890094629859067134399856950198664268544628878145653808702055565
8/5
12/5:
0.1849828959548709498904103325789019295690336527906521537975316496477323953209238168991174446649655455
8/5
13/5:
0.1646825596365321696313414883491250095495485434633948792578307522154812657690363030668521591327945348
8/5
14/5:
0.1477856353264863720894550967194337293840340668218950390351186479770957843317663700984049868920055685
8/5
13/6:
0.2143738142715983708779680668109136280205794098829747585631558011898314951140174660447814755772243315
8/5
17/6:
0.1452447758015887755160326891622080192074957177203907987126922604504068922962984381055022835768115640
9/5
2:
25/126
9/5
9/5:
0.2333791127373727986361203865192180239582693372335150998384690944558614594384931841304014320606171716
9/5
11/6:
0.2269064135685077512936158684944530166079988268042316562749117923201160296132481941615329457253913368
9/5
3:
125/1197
9/5
5/2:
0.1398168329855864860915454175014246872344126035941112136355980929301387994083111636222042893897853914
9/5
7/3:
0.1559332738025788015921463854582672956024748459193649347211639215898076451909976106098102990201530399
9/5
8/3:
0.1261665376242140534209181611011563042617482704444870604817318767744240036677520847803169524103745856
9/5
9/4:
0.1651121013814868426234932827365161455637422429630407053705303432470815046367725500836412694029590646
9/5
11/4:
0.1201085988616024130279671914715069984965598743747201829516920847971163389846201589626062120764866254
9/5
11/5:
0.1710334931384952181480294996011012223842321480426439337610661210207393839486519861164486204708314658
9/5
12/5:
0.1491533679338077392622106319618858209984972678186418960615482147111586960215272891126173394426695506
9/5
13/5:
0.1313650091790989974128489748617188705635858371750178124756610204240851416282367734208044327928938386
9/5
14/5:
0.1166895563686863993180601932596090119791346686167575499192345472279307297192465920652007160303085858
9/5
13/6:
0.1751686099769509720357511270111186122677212331864852928550981197882818535591870657848519935268250434
9/5
17/6:
0.1144940618923662965243015850201368432425682153599334045423866841982236846672353273292138716962983810
1/6
1:
6
1/6
2:
36/7
1/6
1/2:
7.285951943662744835459825069342793745665104534624727823249888256416217062085307523364018181266506332
1/6
3/2:
5.464463957747058626594868802007095309248828400968545867437416192312162796563980642523013635949879749
1/6
1/3:
8.413092631952725567050114474301764812778133232543916577091963922457708595890819776425113598910148708
1/6
2/3:
6.677476047133832307371998174110188264954081255961865310459529794878861978254129961912953476675550199
1/6
4/3:
5.608728421301817044700076316201176541852088821695944384727975948305139063927213184283409065940099139
1/6
5/3:
5.341980837707065845897598539288150611963265004769492248367623835903089582603303969530362781340440160
1/6
1/4:
9.485663553299684607559853900678869197380739897071152750291410649885627782054041566025021286911386026
1/6
3/4:
6.462108662147073299537430461712209710252485819038916131953636638237896396517850554923729744898689932
1/6
5/4:
5.691398131979810764535912340407321518428443938242691650174846389931376669232424939615012772146831616
1/6
7/4:
5.287179814483969063257897650491807944752033851940931380689339067649187960787332272210324336735291763
1/6
1/5:
10.53271436857934293813799892898958231253890690860492947814700277523816509184349273495193454880112349
1/6
2/5:
7.859627826148979313975645395921058744517827773209741041771436070046334871528383192364832753919998440
1/6
3/5:
6.885618859224605831847674633564383537218464429755472110204576030788438470206649257781858842691055932
1/6
4/5:
6.351071609209551683483844254791935989884838492477331883495592043628517232890344569202732552921759710
1/6
6/5:
5.745116928316005238984363052176135806839403768329961533534728786493544595550996037246509753891521902
1/6
7/5:
5.547972583163985398100455573591335584365525486971581911838660755326824615196505782845764296884704781
1/6
8/5:
5.388745194175778477098180148006908855214450423286891216681842111051821411466073332177106920366913338
1/6
9/5:
5.256059262794111738055595245345050474387452545498481558754972725761531503081664471064330388624904587
1/6
1/6:
11.56572777995998878627418672995763835752281937142112850237168264238230120433900638209343481907842178
1/6
5/6:
6.283185307179586476925286766559005768394338798750211641949889184615632812572417997256069650684234136
1/6
7/6:
5.782863889979994393137093364978819178761409685710564251185841321191150602169503191046717409539210892
1/6
11/6:
5.235987755982988730771072305465838140328615665625176368291574320513027343810348331046724708903528447
1/6
3:
432/91
1/6
5/2:
4.918017561972352763935381921806385778323945560871691280693674573080946516907582578270712272354891774
1/6
7/3:
4.985536374490504039733401169956601370535190063729728341980423065160123612379745052696363614168977012
1/6
8/3:
4.856346216097332587179635035716500556330240913426811134879658032639172347821185426845784346673127418
1/6
9/4:
5.021821881158656556943452065065283692730979945508257338389570344057097061087433770248540681306027896
1/6
11/4:
4.827425048007102188191993506970781166947509169163459086716353061766649877240607726800730916149614218
1/6
11/5:
5.044492912667711917157001704349777781615086235606795492859761861311405010727703837582301247319385085
1/6
12/5:
4.957762733891220994047215618953959458369192988357583836111143653696311358260707295308980861045906400
1/6
13/5:
4.880373006045988054730427303855313680194219251278693932089215496801649580195689055556625135426638495
1/6
14/5:
4.810630511709864980593256665231063146049532838252847528352008935442757646888303075211421033656692334
1/6
13/6:
5.060005903732495093994956694356466781416233474996743719787611156042256776898315292165877733346809530
1/6
17/6:
4.799655442984406336540149613343684961967897693489745004267276460470275065159485970126164316494901076
5/6
1:
6/5
5/6
2:
36/55
5/6
3/2:
0.8401884752499601647414047406257139259406534891404245051544127742676457737829514987151863066443966903
5/6
4/3:
0.9313010834451029262046770776581941105237656464428976953526844041721737491690991496791750750324452186
5/6
5/3:
0.7665509805125305288751155630018404852319580784712300966978529011929088872758650223527834927065540820
5/6
5/4:
0.9855439328251063657689507074455088854988338259444369128551233690986718098808952516713130534873949346
5/6
7/4:
0.7347558325136930619259355632001755570020728785566816103259646927673989398662486124733774335682538502
5/6
6/5:
1.021549817317900960299082091796907877979025342770638973414131176217638141409771397439196256233811794
5/6
7/5:
0.8923684252667489219554194473384736280854432337305500849460205918592804629691588285995510330735413895
5/6
8/5:
0.7942512503651970931673089380441033428517529465742679385605331682375341259460857862656521237920335635
5/6
9/5:
0.7170242668764844940878261444424715324812762927013720338287212637315666535778642935504441084922366244
5/6
5/6:
1.411428194462003290422763371151353568463190011166886991381544611771078352223091069870150184163515458
5/6
7/6:
1.047197551196597746154214461093167628065723133125035273658314864102605468762069666209344941780705689
5/6
11/6:
0.7057140972310016452113816855756767842315950055834434956907723058855391761115455349350750920817577291
5/6
3:
432/935
5/6
5/2:
0.5401211626606886773337601904022446666761343858759871818849796406006294260033259634597626256999693009
5/6
7/3:
0.5731083590431402622798012785588886833992403978110139663708827102597992302579071690333385077122739807
5/6
8/3:
0.5110339870083536859167437086678936568213053856474867311319019341286059248505766815685223284710360547
5/6
9/4:
0.5913263596950638194613704244673053312993002955666621477130740214592030859285371510027878320924369608
5/6
11/4:
0.4977378220254049774336982847485060224852751757964617360272664047779154108771361568368040679010751889
5/6
11/5:
0.6028818594007284355863435295850603870040149563892295580804708580956552965697011525870666430232331901
5/6
12/5:
0.5593951322567679809272778625106849608893823256221358741452666396729817827567861313609125878968468412
5/6
13/5:
0.5222473975004035681100113565221501432449882388433542609713094804849539458275632567226205745481864527
5/6
14/5:
0.4901178533079767427942102759480185158732774658971403775538094714114506239646160993889111627668452875
5/6
13/6:
0.6108652381980153519232917689710144497050051609896039096340170040598531901112073052887845493720783188
5/6
17/6:
0.4851784418463136310828249088332777891592215663386174032874059602963081835766875552678641258062084388
7/6
2:
36/91
7/6
3/2:
0.5464463957747058626594868802007095309248828400968545867437416192312162796563980642523013635949879749
7/6
4/3:
0.6231920468113130049666751462445751713168987579662160427475528831450154515474681315870454517711221265
7/6
5/3:
0.4856346216097332587179635035716500556330240913426811134879658032639172347821185426845784346673127418
7/6
5/4:
0.6695762508211542075924602753420378256974639927344343117852760458742796081449911693664720908408037195
7/6
7/4:
0.4597547664768668750659041435210267778045246827774722939729860058825380835467245454095934205856775446
7/6
6/5:
0.7006240156482933218273613478263580252243175327231660406749669251821395848232921996642085065721368173
7/6
7/5:
0.5902098492727644040532399546373761259963324986139980757275171016305132569357984875367834358387983810
7/6
8/5:
0.5083721881297904223677528441515951750202311720081972845926266142501718312703842766204817849402748432
7/6
9/5:
0.4454287510842467574623385801139873283379197072456340304029637903187738561933613958529093549682122532
7/6
7/6:
0.7228579862474992991421366706223523973451762107138205313982301651488938252711878988808396761924013615
7/6
11/6:
0.4363323129985823942309226921221531783607179721354313640242978600427522786508623609205603924086273706
7/6
3:
432/1729
7/6
5/2:
0.3073760976232720477459613701128991111452465975544807050433546608175591573067239111419195170221807359
7/6
7/3:
0.3323690916327002693155600779971067580356793375819818894653615376773415741586496701797575742779318008
7/6
8/3:
0.2856674244763136815988020609245000327253082890251065373458622372140689616365403192262226086278310246
7/6
9/4:
0.3463325435281832108236863493148471512228262031385005060958324375211791076612023289826579780211053721
7/6
11/4:
0.2758528598861201250395424861126160666827148096664833763837916035295228501280347272457560523514065268
7/6
11/5:
0.3552459797653318251519015284753364634940201574370982741450536522050285218822326646184719188253088088
7/6
12/5:
0.3219326450578714931199490661658415232707268174258171322150093281620981401467991750200636922757082078
7/6
13/5:
0.2939983738581920514897847773406815469996517621252225260294708130603403361563668105757003093630505117
7/6
14/5:
0.2702601411072957854265874531028687160701984740591487375478656705304920026341743300680573614413872098
7/6
13/6:
0.3614289931237496495710683353111761986725881053569102656991150825744469126355939494404198380962006807
7/6
17/6:
0.2666475246102447964744527562968713867759943163049858335704042478039041702866381094514535731386056153
11/6
2:
36/187
11/6
11/6:
0.2205356553846880141285567767423989950723734392448260924033663455892309925348579796672109662755492904
11/6
3:
432/4301
11/6
5/2:
0.1350302906651721693334400476005611666690335964689967954712449101501573565008314908649406564249923252
11/6
7/3:
0.1508179892218790163894213890944443903682211573186878858870743974367892711205018865877206599242826265
11/6
8/3:
0.1216747588115127823611294544447365849574536632494016026504528414591918868691849241829815067788181083
11/6
9/4:
0.1598179350527199512057757903965690084592703501531519318143443301241089421428478786494021167817397191
11/6
11/4:
0.1157529818663732505659763452903502377872732966968515665179689313437012583435200364736753646281570207
11/6
11/5:
0.1656268844507495702160284421936979085175865264805575709012282577185866199367310858755677590723168105
11/6
12/5:
0.1441740031589608198266180058017229280642737952634370809652749071322117996795840544744620071899089797
11/6
13/5:
0.1267590770632047495412648923597451803992689900105228788765314273021732878222240914375292656670355468
11/6
14/5:
0.1124123516761414547693142834743161733654306114442982517325251081218923449460128668323190740290929559
11/6
13/6:
0.1696847883883375977564699358252817915847236558304455304538936122388481083642242514691068192700217552
11/6
17/6:
0.1102678276923440070642783883711994975361867196224130462016831727946154962674289898336054831377746452
3
3:
1/30
5/2
3:
16/315
5/2
5/2:
0.07363107781851077902646820429561334884837115779785404267910026388221444702233302340534456621895586878
5/2
8/3:
0.06464033138156561660496925915885965456727558579589667327851182937763222427115160223194669360128142577
5/2
11/4:
0.06072022909067254625939878693909333681513475940278415136901882114479519637290432358987293317957323964
5/2
13/5:
0.06803932484250803407544867486522659511797409952646114467446908777373192104724824026489245435025750510
5/2
14/5:
0.05852797659861759882901901197734056674928899685334888012652943424982554393836281267906226067479388476
5/2
17/6:
0.05712819989680361010260925090792972435997575235226787500706515429429734313496716921209027771826598375
7/3
3:
27/455
7/3
5/2:
0.08450258119050400941561612306204051148849461884350085936535057927230249043070993125821085967749788984
7/3
7/3:
0.09636211365193363403529215452627847468573828390195768346146755864557016373062406801484474509091183203
7/3
8/3:
0.07464194914544106381045589537622040050551712955114158747201172573613675642495283471951131638732757897
7/3
11/4:
0.07032539149369192965603473189997019409785606122120565142788112712172721212138115304144155413473419264
7/3
12/5:
0.09134599509069092626806345016118774517928666247177282612462020007678248153060092892239014545850563105
7/3
13/5:
0.07837596656970058180148435861471231322301632651762709357547375581498491451691450288670643536083940389
7/3
14/5:
0.06790642568821980069335407108666479002043259419069118124953912714394849064769250784620771086361503349
7/3
17/6:
0.06635991525762676721134541120155553176201730922022266979031273487218727929302083009859709036668435566
8/3
3:
27/616
8/3
8/3:
0.05641181917415321925915469606041315897986405017052722120232463840983563366592623734424047003928699460
8/3
11/4:
0.05283788848153996348849156569744445881892995852169922561506459593880321483273692052514692153897576344
8/3
14/5:
0.05084323157990715585619090074225701813533139256718135273144418914790221043327322819505310022507632555
8/3
17/6:
0.04957119803432002244342311107007786794562927021271917145018449096485595390966793207454802128025922929
9/4
3:
128/1989
9/4
5/2:
0.09080718802743272070873903341614266367732484680282677620144837069439967401109659741057300547052568289
9/4
7/3:
0.1032118691988440005184919100418480989082312044065856500311540945695170689944408408260342143078490327
9/4
8/3:
0.08046485684851262667162091066823308141192663520287492521256239808575359578065598923905317678225567075
9/4
9/4:
0.1103615879346054713353482349520988122748570728286766015229719074438108200498880939498376108125221367
9/4
11/4:
0.07592817521266739191677530988873255832593347613679158096093205382982188367113358733893380992029628091
9/4
12/5:
0.09796937687695945628248535428273074260164775121627458529770980302010171727516533170727882210827288562
9/4
13/5:
0.08438459732284915713249460652457232315779226693073594796669550684839101771315890842116122483676923717
9/4
14/5:
0.07338315616954970783266368121622939802832988576135142460912459699870289094967668892606278640131513982
9/4
17/6:
0.07175499124815997809238913038213302420620301435447637754929745434143666790087047612830299120812803716
11/4
3:
128/3135
11/4
11/4:
0.04942076327964878005204578220312784546141767810240496079520046340515115028199119431718668381635232175
11/4
14/5:
0.04751548965953502053853647135136540599863907118120798446440565991973833190600357936982223774454415948
11/4
17/6:
0.04630119274654930022639053811614009511490931867874062660718757253748050333740801458947014585126280827
11/5
3:
125/1848
11/5
5/2:
0.09491487809956902618786302627245045605932502083969362785209182848832991484596518981112363473698672404
11/5
7/3:
0.1076648440315626440015876421869771850008362117518170524901798916837362851985037059602666837857560092
11/5
8/3:
0.08426684736984984156182235319554723032309310319534325083168928182779077137664671618934245829216590139
11/5
9/4:
0.1150042678453233922977635396391842824086040880176556269403762731391859644337537922870085299718492085
11/5
11/4:
0.07959026528816814593488276609443661857105725608383530189073517509350715351428378081531175888087083709
11/5
11/5:
0.1197668242422399253995450824900486961569098864636469518163592575847434955308826460852896843874887141
11/5
12/5:
0.1022790553217509028731901324043417534134482875621792032790286872965813578059063552099178264291014283
11/5
13/5:
0.08830452335493090819325724653993011511116187915196072144841502948204902183345805802718542352429707641
11/5
14/5:
0.07696507191232284816661327482049555007290446661918977019247975445933272277689339375240187921187415963
11/5
17/6:
0.07528494747761344100728565554258995841708478476388980495510375350844846360760503903434898139650764112
12/5
3:
125/2244
12/5
5/2:
0.07989718107819866211267978617191919541548055625163980815980030877305366198089055071436590345580636137
12/5
8/3:
0.07039866362764788351719512104785906727075317816753277109828750528749609099776657497053567097052864943
12/5
11/4:
0.06624731299131075141757000369653678903333632230380180410490214059010982958669015141522344640111471871
12/5
12/5:
0.08650053924620498042466386829064698817063655466072559576908581399154797332330094616151957396212219678
12/5
13/5:
0.07399315838194837995616413303156077182761346111626086151901265985909295812836952675964697786598621821
12/5
14/5:
0.06392287197163188825523312798366535185649882906513224116923494916192515543779740961969314547542980740
12/5
17/6:
0.06243756042317200858633063243381701609082723416920503506370173143520983450690648028421582988539365262
13/5
3:
125/2691
13/5
8/3:
0.05951767344029284563481919698412482673462903015762507639047282756330476354743500002248612911285834291
13/5
11/4:
0.05581075513975665681699850885881108583971435487774362739753677363394256777268913457322930268950450268
13/5
13/5:
0.06273621319486939795479675746633333697125658798605519209822123893923095838820430593022939395535029899
13/5
14/5:
0.05374023102781322621434730789797590159419420611705274146731587199167119430246049821760181341527475217
13/5
17/6:
0.05241916720658843026142533142696229264631424398931397246773856016255286338513026337642187677960116596
14/5
3:
125/3192
14/5
14/5:
0.04566113075296424321141485823202091773096573989351382388143960543701637249883562298203506279446857705
14/5
17/6:
0.04447970749775381303821788195026898946114160884486621471430849601945380555417775306314783504748282426
13/6
3:
432/6175
13/6
5/2:
0.09780148560740474246462407230864971718257846285824386069561284662376882277941215354515620996160296141
13/6
7/3:
0.1107896972109000897718533593323689193452264458606606298217871792257805247195498900599191914259772669
13/6
8/3:
0.08694225962322590309528758375963044474248513144242372875743633306515142310677314063406775045194857270
13/6
9/4:
0.1182598929120625597934538753758014662712089474131465142766257103730855489574837220916393095681823222
13/6
11/4:
0.08216893698735493086284244267184308369272356032618653764623579679602808301686140811575712197701471010
13/6
11/5:
0.1231050424929367710922431039270967942801059951514696989611572062096633491671103293232328431572852308
13/6
12/5:
0.1053050708133224510205440870635930216306115757934915853039750138847984570573642161280582170995307222
13/6
13/5:
0.09106144323041346727559705492852968269900718295913972045160600404523815721657379088627885688236077797
13/6
14/5:
0.07948827679626346630193748620672609296182308060563198163172519721485058901005127354942863571805506170
13/6
13/6:
0.1265001475933123773498739173589116695354058368749185929946902789010564194224578823041469433336702383
13/6
17/6:
0.07777219467798806563838205391992082114299834225562086812470123894280538300026944859000729216542663781
17/6
3:
432/11339
17/6
17/6:
0.04331950373627800277525222400297123117493049699451941100780410359788465924791853172034501123269718203
Definition
Euler's Beta function is $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ [1]. The parameters $a$ and $b$ are positive rationals with $a\leq b$.
Parameters
$a$
—   first parameter ($a>0$)
$b$
—   second parameter ($b\geq a$)
Formulas
(1)
$B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$.
(2)
For $a>0$ and $b>0$, $B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t$.
(3)
For $a>0$ and $b>0$, $\int_0^{\pi/2}\sin^{2a-1}(\theta)\cos^{2b-1}(\theta)\,\mathrm{d}\theta =B(a,b)/2$.
(4)
For $0<a<1$, $B(a,1-a)=\pi/\sin(\pi a)$.
(5)
$B(a+1,b)=aB(a,b)/(a+b)$, and consequently $B(a,b)=B(a,b+1)+B(a+1,b)$.
(6)
For positive integers $m$ and $n$, $B(m,n)=(m-1)!(n-1)!/(m+n-1)!=1/(n\binom{m+n-1}{n})$.
(7)
$B(1/4,1/2)=2\sqrt{2}\,K(1/2)$, where $K(m)$ is the complete elliptic integral of the first kind.
Comments
(8)
The Beta function is symmetric in its two parameters. The table lists only rows with $a\leq b$; a value with $a>b$ is read by interchanging the two parameters.
(9)
The meromorphic continuation is given by the same Gamma quotient. Its pole hyperplanes are $a=0,-1,-2,\ldots$ and $b=0,-1,-2,\ldots$.
(10)
The recurrence in (5) reduces positive rational parameters greater than $2$ to values with a smaller parameter, multiplied by rational factors.
(11)
When $a$ and $b$ are rational, the integral in (2) is a period. The value $B(1/3,1/3)$ is the real period of the Dixonian elliptic functions [2], and $B(1/4,1/2)=2\varpi$ is twice the lemniscate constant $\varpi$ [4].
Programs
(P1)
Sage
import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.rational_field import QQ
from sage.rings.real_arb import RealBallField

a = QQ(1) / QQ(3)
b = QQ(1) / QQ(3)
RBF = RealBallField(numberdb.bits(100))
RBF(a).beta(RBF(b))       # B(1/3, 1/3)
Links
Similar tables
Values of the Gamma function at rational numbers —   the Beta function is a quotient of three Gamma values by (1)
Values of the arithmetic-geometric mean —   the lemniscate value $B(1/4,1/2)$ is $2\pi/\mathrm{AGM}(1,\sqrt{2})$
Complete elliptic integral of the first kind $K(m)$ —   the lemniscate value $B(1/4,1/2)$ is related to $K(1/2)$ by (7)
Rational multiples of pi —   reflection values such as $B(1/2,1/2)$ and $B(1/2,3/2)$ are rational multiples of $\pi$
Pi —   the reflection formula in (4) includes $\pi$
Data properties
Entries are of type: real number
How well the digits are known: proven
How they were obtained:

Each value with neither parameter a positive integer was computed as a Sage real ball with arb at numberdb.bits(digits, losing=96) bits by evaluating the complete Beta function at the exact rational parameters. Values with a positive-integer parameter were returned as exact rationals using the shift recurrence in (5).

more

All entries were checked against the Gamma quotient in (1), the reflection values in (4), the three-term recurrence in (5) wherever all three rows are listed, and the decimal prefixes in [2], [3], [4] and [5].

Table is complete: no (it holds $B(a,b)$ for every unordered pair of rationals $a=p/q$ and $b=r/s$ in lowest terms with $q,s\leq6$ and $a,b\leq3$)


API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.