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Title: Orders of finite groups of Lie type as polynomials in $q$-Definition: For a Lie type and rank, this table stores the order polynomial $P(q)$- in the field-size parameter $q$ for the corresponding finite group of Lie type CITE{Hiss}.+Definition: For each Lie type and rank, this table stores the order $P(q)$, as a polynomial+ in the field size $q$, of the universal (simply connected) finite group of that+ Lie type and rank over $\mathbb F_q$ CITE{Hiss}. Parameters: family:
displayed subscript as $n$ Comments:- convention: The polynomial variable is $q$. For the Suzuki and Ree families, group- orders are obtained only at $q=2^{2m+1}$ for ${}^2B_2$ and ${}^2F_4$, and at $q=3^{2m+1}$- for ${}^2G_2$.+ convention: Here $q$ is a prime power. For the Suzuki and Ree families, group orders+ are obtained only at $q=2^{2m+1}$ for ${}^2B_2$ and ${}^2F_4$, and at $q=3^{2m+1}$+ for ${}^2G_2$, with $m\geq0$. central-quotients: The companion table HREF{Orders_of_finite_simple_groups_of_Lie_type}[Orders of finite simple groups of Lie type] stores the simple central quotients. Where- that quotient has a central factor $d(q)$, its order is $P(q)/d(q)$ rather than- $P(q)$.- repeated-types: The $B_n$ and $C_n$ rows have the same polynomial for each listed- rank. The $C_2$ row is not repeated, following the convention used for the finite- simple groups of Lie type.+ the universal group has centre of order $d(q)$, the quotient has order $P(q)/d(q)$+ rather than $P(q)$.+ repeated-types: For every listed $n$, the product formulas for $B_n$ and $C_n$ are+ identical, so those rows carry the same polynomial. The types $C_2$ and $D_3$+ are not listed separately, because they are the same families as $B_2$ and $A_3$. tits-group: The Tits group ${}^2F_4(2)'$ is a single finite simple group rather than a family in the parameter $q$, so it is not a row of this polynomial table.
formula-suzuki-ree: $P_{{}^2B_2}(q)=q^2(q^2+1)(q-1)$, $P_{{}^2F_4}(q)=q^{12}(q^6+1)(q^4-1)(q^3+1)(q-1)$, and $P_{{}^2G_2}(q)=q^3(q^3+1)(q-1)$.- formula-simple-quotients: The finite simple group order in HREF{Orders_of_finite_simple_groups_of_Lie_type}[the+ formula-simple-quotients: Here $(a,b)$ denotes $\gcd(a,b)$, and $d(q)$ is the order+ of the centre of the universal group. The finite simple group order in HREF{Orders_of_finite_simple_groups_of_Lie_type}[the companion table] is $P(q)/d(q)$, where $d(q)=(n+1,q-1)$ for $A_n$, $d(q)=(n+1,q+1)$ for ${}^2A_n$, $d(q)=(2,q-1)$ for $B_n$ and $C_n$, $d(q)=(4,q^n-1)$ for $D_n$,
program-sage: language: Sage- code: "from sage.rings.integer_ring import ZZ\nfrom sage.rings.polynomial.polynomial_ring_constructor\- \ import PolynomialRing\n\nR = PolynomialRing(ZZ, \"q\")\nq = R.gen()\nn = 3\n\- polynomial = q ** (n * (n + 1) // 2)\nfor i in range(2, n + 2):\n polynomial\- \ *= q ** i - 1\npolynomial"+ code: "from sage.all import ZZ, PolynomialRing\n\nR = PolynomialRing(ZZ, \"q\"\+ )\nq = R.gen()\nn = 3 # the A_3 row\npolynomial = q ** (n * (n + 1) // 2)\n\+ for i in range(2, n + 2):\n polynomial *= q ** i - 1\nprint(polynomial)" Similar tables: - table: HREF{Orders_of_finite_simple_groups_of_Lie_type}[Orders of finite simple
relation: stores integer orders of the corresponding simple central quotients at prime-power values of $q$+- table: HREF{T257}[Poincaré polynomials of the finite Coxeter groups]+ relation: for the untwisted types in both tables, $P(q)=q^N(q-1)^\ell W(q)$, where+ $W$ is the Coxeter-group polynomial, $N$ is the number of positive roots and $\ell$+ is the rank Links:- Hiss:- title: 'Gerhard Hiss: Finite groups of Lie type and their representations'- url: https://www.math.rwth-aachen.de/~Gerhard.Hiss/Preprints/StAndrewsBath09.pdf WikiSimple: title: 'Wikipedia: List of finite simple groups'
Keywords: - finite group of Lie type-- Chevalley group order-- Steinberg group order-- Suzuki group order-- Ree group order-- order polynomial-- PSL-- PSU-- PSp - Chevalley group - Steinberg group+- Suzuki group+- Ree group+- order polynomial+- SL+- SU+- Sp+- Spin Tags: - algebra
rigour: exact complete: 'no'- complete-note: it holds $A_n$ for $1\leq n\leq15$, $B_n$ and ${}^2A_n$ for $2\leq+ complete-note: 'it holds $A_n$ for $1\leq n\leq15$, $B_n$ and ${}^2A_n$ for $2\leq n\leq15$, $C_n$ for $3\leq n\leq15$, $D_n$ and ${}^2D_n$ for $4\leq n\leq15$,- and all fixed-rank exceptional, Suzuki and Ree families listed in the family parameter+ and all fixed-rank exceptional, Suzuki and Ree families listed in the family parameter,+ with the upper bound set by entry size: the largest listed polynomials have 1133+ characters' sources:- - CITE{Hiss}+ - CITE{Solomon} - CITE{WikiSimple} rigour details: The entries are exact integer polynomials computed from the product
Z[q]$ and uses no division. Its self-check compares eight small classical cases with GAP group orders, and compares 180 specialisations with HREF{Orders_of_finite_simple_groups_of_Lie_type}[the- stored finite simple group orders] after multiplying by the central factor $d(q)$+ stored finite simple group orders] after multiplying by the centre order $d(q)$ stated in CITE{formula-simple-quotients}. Display properties: number-header: $P(q)$ Numbers:-- params:- family: A- n: '1'- number: q^3 - q-- params:- family: A- n: '2'- number: q^8 - q^6 - q^5 + q^3-- params:- family: A- n: '3'- number: q^15 - q^13 - q^12 - q^11 + q^10 + q^9 + q^8 - q^6-- params:- family: A- n: '4'- number: q^24 - q^22 - q^21 - q^20 + q^18 + 2*q^17 + q^16 - q^14 - q^13 - q^12 +- q^10-- params:- family: A- n: '5'- number: q^35 - q^33 - q^32 - q^31 + 2*q^28 + 2*q^27 + q^26 - q^24 - 2*q^23 - 2*q^22- + q^19 + q^18 + q^17 - q^15-- params:- family: A- n: '6'- number: q^48 - q^46 - q^45 - q^44 + q^41 + 2*q^40 + 2*q^39 + q^38 - 2*q^36 - 2*q^35- - 2*q^34 - 2*q^33 + q^31 + 2*q^30 + 2*q^29 + q^28 - q^25 - q^24 - q^23 + q^21-- params:- family: A- n: '7'- number: q^63 - q^61 - q^60 - q^59 + q^56 + q^55 + 2*q^54 + 2*q^53 + q^52 - q^51- - 2*q^50 - 2*q^49 - 3*q^48 - 2*q^47 - q^46 + q^45 + 2*q^44 + 3*q^43 + 2*q^42 +- 2*q^41 + q^40 - q^39 - 2*q^38 - 2*q^37 - q^36 - q^35 + q^32 + q^31 + q^30 - q^28-- params:- family: A- n: '8'- number: q^80 - 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q^136 -- 3*q^135 - 5*q^134 - 7*q^133 - 7*q^132 - 6*q^131 - 5*q^130 - 3*q^129 - 2*q^128- + q^127 + 4*q^126 + 6*q^125 + 7*q^124 + 8*q^123 + 7*q^122 + 6*q^121 + 4*q^120- + q^119 - 2*q^118 - 3*q^117 - 5*q^116 - 6*q^115 - 7*q^114 - 7*q^113 - 5*q^112- - 3*q^111 - q^110 + q^109 + 3*q^108 + 4*q^107 + 5*q^106 + 4*q^105 + 4*q^104 +- 3*q^103 + 2*q^102 + q^101 - 2*q^99 - 3*q^98 - 3*q^97 - 3*q^96 - 2*q^95 - q^94- + q^92 + q^89 + q^88 + q^87 + q^86 + q^85 - q^82 - q^81 - q^80 + q^78-- params:- family: A- n: '13'- number: q^195 - q^193 - q^192 - q^191 + q^188 + q^187 + q^186 + q^185 + q^184 -- q^178 - 2*q^177 - 3*q^176 - 3*q^175 - 3*q^174 - q^173 + q^171 + 2*q^170 + 4*q^169- + 4*q^168 + 4*q^167 + 4*q^166 + 4*q^165 + 3*q^164 + 2*q^163 - 2*q^161 - 5*q^160- - 7*q^159 - 7*q^158 - 7*q^157 - 6*q^156 - 6*q^155 - 3*q^154 - q^153 + 2*q^152- + 4*q^151 + 7*q^150 + 8*q^149 + 9*q^148 + 9*q^147 + 8*q^146 + 5*q^145 + 3*q^144- - 3*q^142 - 5*q^141 - 8*q^140 - 9*q^139 - 9*q^138 - 8*q^137 - 7*q^136 - 4*q^135- - 2*q^134 + q^133 + 3*q^132 + 6*q^131 + 6*q^130 + 7*q^129 + 7*q^128 + 7*q^127- + 5*q^126 + 2*q^125 - 2*q^123 - 3*q^122 - 4*q^121 - 4*q^120 - 4*q^119 - 4*q^118- - 4*q^117 - 2*q^116 - q^115 + q^113 + 3*q^112 + 3*q^111 + 3*q^110 + 2*q^109 +- q^108 - q^102 - q^101 - q^100 - q^99 - q^98 + q^95 + q^94 + q^93 - q^91-- params:- family: A- n: '14'- number: q^224 - q^222 - q^221 - q^220 + q^217 + q^216 + q^215 + q^214 + q^213 -- q^209 - q^206 - 2*q^205 - 3*q^204 - 3*q^203 - 2*q^202 - q^201 + q^199 + 3*q^198- + 4*q^197 + 4*q^196 + 4*q^195 + 4*q^194 + 3*q^193 + 3*q^192 + 2*q^191 + q^190- - 2*q^189 - 4*q^188 - 6*q^187 - 7*q^186 - 7*q^185 - 8*q^184 - 7*q^183 - 5*q^182- - 2*q^181 + 3*q^179 + 5*q^178 + 7*q^177 + 9*q^176 + 10*q^175 + 10*q^174 + 10*q^173- + 7*q^172 + 4*q^171 + q^170 - 2*q^169 - 6*q^168 - 8*q^167 - 10*q^166 - 11*q^165- - 11*q^164 - 10*q^163 - 8*q^162 - 6*q^161 - 2*q^160 + q^159 + 4*q^158 + 7*q^157- + 10*q^156 + 10*q^155 + 10*q^154 + 9*q^153 + 7*q^152 + 5*q^151 + 3*q^150 - 2*q^148- - 5*q^147 - 7*q^146 - 8*q^145 - 7*q^144 - 7*q^143 - 6*q^142 - 4*q^141 - 2*q^140- + q^139 + 2*q^138 + 3*q^137 + 3*q^136 + 4*q^135 + 4*q^134 + 4*q^133 + 4*q^132- + 3*q^131 + q^130 - 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Campbell, M. R. Quick, E. F. Robertson, C. M. Roney-Dougal and G. C. Smith+ (eds.), Groups St Andrews 2009 in Bath, Volume 1, London Mathematical Society+ Lecture Note Series 387, Cambridge University Press, 2011, 1-40.+ title: 'Gerhard Hiss: Finite groups of Lie type and their representations'+ url: https://www.math.rwth-aachen.de/~Gerhard.Hiss/Preprints/StAndrewsBath09.pdf+ Solomon:+ bib: Louis Solomon, The orders of the finite Chevalley groups, Journal of Algebra+ 3 (1966), 376-393.+ doi: 10.1016/0021-8693(66)90007-X
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