Modular polynomials for $\gamma_2=\sqrt[3]{j}$

edit · history · discussion · files · short url · modular function elliptic curves polynomial number theory

Polynomials

$\ell$

$\Phi^{\gamma_2}_\ell(x,y)$

-x^2*y^2 + x^3 + y^3 + 495*x*y - 54000

-x^5*y^5 + 20620*x^4*y^4 + 1240*x^5*y^2 + 1240*x^2*y^5 + x^6 - 125915650*x^3*y^3 + y^6 + 66211200*x^4*y + 66211200*x*y^4 + 229282790400*x^2*y^2 + 654403829760*x^3 + 654403829760*y^3 - 82577379557376*x*y + 5209253090426880

-x^7*y^7 + 1736*x^7*y^4 + 7402528*x^6*y^5 + 7402528*x^5*y^6 + 1736*x^4*y^7 + x^8 - 401660*x^7*y + 24762303370*x^6*y^2 - 10422120833264*x^5*y^3 + 49402229030035*x^4*y^4 - 10422120833264*x^3*y^5 + 24762303370*x^2*y^6 - 401660*x*y^7 + y^8 + 34848505552896000*x^5 + 1050026597609472000*x^4*y + 5452915936075776000*x^3*y^2 + 5452915936075776000*x^2*y^3 + 1050026597609472000*x*y^4 + 34848505552896000*y^5 + 11356800389480448000000*x^2 + 21091200723320832000000*x*y + 11356800389480448000000*y^2

11:

-x^11*y^11 + 2344386*x^10*y^10 + 2728*x^11*y^8 + 2728*x^8*y^11 - 1840508903585*x^9*y^9 + 901748705440*x^10*y^7 + 901748705440*x^7*y^10 - 1984268*x^11*y^5 + 555944624302357752*x^8*y^8 - 1984268*x^5*y^11 + 2599709219284278200*x^9*y^6 + 2599709219284278200*x^6*y^9 + 3140098322119440*x^10*y^4 - 56282900078312706147360*x^7*y^7 + 3140098322119440*x^4*y^10 + 302197280*x^11*y^2 + 645065243228020231050720*x^8*y^5 + 645065243228020231050720*x^5*y^8 + 302197280*x^2*y^11 + x^12 - 49744633999050626147204*x^9*y^3 + 1318298884208744202274348806*x^6*y^6 - 49744633999050626147204*x^3*y^9 + y^12 + 413077590081446400*x^10*y + 14180598822887453449928793600*x^7*y^4 + 14180598822887453449928793600*x^4*y^7 + 413077590081446400*x*y^10 + 6070586651391845994656256000*x^8*y^2 - 4693563998082619475295642624000*x^5*y^5 + 6070586651391845994656256000*x^2*y^8 + 98823634118413525094400000*x^9 - 11446924254236009937253785600000*x^6*y^3 - 11446924254236009937253785600000*x^3*y^6 + 98823634118413525094400000*y^9 - 38054031639984135283518996480000*x^7*y + 5316218838754085792923452702720000*x^4*y^4 - 38054031639984135283518996480000*x*y^7 - 7389159768252291652798906368000000*x^5*y^2 - 7389159768252291652798906368000000*x^2*y^5 + 45688143672322270430861721600000000*x^6 - 2246499180505824743128584683520000000*x^3*y^3 + 45688143672322270430861721600000000*y^6 + 4348025786200807791044591616000000000*x^4*y + 4348025786200807791044591616000000000*x*y^4 + 400796701349895944471082486988800000000*x^2*y^2 - 496864268553728774541064273920000000000*x^3 - 496864268553728774541064273920000000000*y^3 - 36118629900882300066095274393600000000000*x*y + 1577314437358442913340940353536000000000000

13:

-x^13*y^13 + 3224*x^13*y^10 + 2563990000*x^12*y^11 + 2563990000*x^11*y^12 + 3224*x^10*y^13 - 3144596*x^13*y^7 + 312168982677240*x^12*y^8 - 1559971768985757192*x^11*y^9 + 14537999097681556744*x^10*y^10 - 1559971768985757192*x^9*y^11 + 312168982677240*x^8*y^12 - 3144596*x^7*y^13 + 925417376*x^13*y^4 + 1098925385489683648*x^12*y^5 + 296758540606281690886144*x^11*y^6 + 160372918751319189511474528*x^10*y^7 + 2535822629171430720938430016*x^9*y^8 + 2535822629171430720938430016*x^8*y^9 + 160372918751319189511474528*x^7*y^10 + 296758540606281690886144*x^6*y^11 + 1098925385489683648*x^5*y^12 + 925417376*x^4*y^13 + x^14 - 39725995010*x^13*y + 251870825522106514945*x^12*y^2 - 3131754663682480378447554052*x^11*y^3 + 8090354824081200786915026706440*x^10*y^4 - 849076929439631208783010060485124*x^9*y^5 + 9807362717435557431216470585436678*x^8*y^6 - 20610818801497065094382882378815500*x^7*y^7 + 9807362717435557431216470585436678*x^6*y^8 - 849076929439631208783010060485124*x^5*y^9 + 8090354824081200786915026706440*x^4*y^10 - 3131754663682480378447554052*x^3*y^11 + 251870825522106514945*x^2*y^12 - 39725995010*x*y^13 + y^14 + 5262585338995033221326389248000*x^11 + 10395050722790726705698145452032000*x^10*y + 3007452476999979669804164540153856000*x^9*y^2 - 27376806368410346096244700720644096000*x^8*y^3 + 463828229138639140457905507922067456000*x^7*y^4 - 339463812730477378803535035850014720000*x^6*y^5 - 339463812730477378803535035850014720000*x^5*y^6 + 463828229138639140457905507922067456000*x^4*y^7 - 27376806368410346096244700720644096000*x^3*y^8 + 3007452476999979669804164540153856000*x^2*y^9 + 10395050722790726705698145452032000*x*y^10 + 5262585338995033221326389248000*y^11 + 91537611307702496719179485710123008000000*x^8 + 252856004125668834728469385923526656000000*x^7*y + 6492942821634669237474770948991221760000000*x^6*y^2 - 320959115882677250421848743901921280000000*x^5*y^3 + 23026596009794293146662699994936508416000000*x^4*y^4 - 320959115882677250421848743901921280000000*x^3*y^5 + 6492942821634669237474770948991221760000000*x^2*y^6 + 252856004125668834728469385923526656000000*x*y^7 + 91537611307702496719179485710123008000000*y^8 + 2658551097838253705341260639403769856000000000*x^5 - 29494653381774297781301112390719373312000000000*x^4*y - 36342783455667316252830007514540015616000000000*x^3*y^2 - 36342783455667316252830007514540015616000000000*x^2*y^3 - 29494653381774297781301112390719373312000000000*x*y^4 + 2658551097838253705341260639403769856000000000*y^5 + 52801843586884277419825606742991962112000000000000*x^2 + 4061680275914175186140431287922458624000000000000*x*y + 52801843586884277419825606742991962112000000000000*y^2

17:

-x^17*y^17 + 77022648*x^16*y^16 + 4216*x^17*y^14 + 4216*x^14*y^17 - 2094125752483652*x^15*y^15 + 871812735603712*x^16*y^13 + 871812735603712*x^13*y^16 - 6203300*x^17*y^11 + 24072564884175593777816*x^14*y^14 - 6203300*x^11*y^17 + 162821825310189001937952*x^15*y^12 + 162821825310189001937952*x^12*y^15 + 37276811940446698125*x^16*y^10 - 111093566360887859584820657626*x^13*y^13 + 37276811940446698125*x^10*y^16 + 3733622688*x^17*y^8 + 2923265525432143841783277876064*x^14*y^11 + 2923265525432143841783277876064*x^11*y^14 + 3733622688*x^8*y^17 - 72919159515149793124477999560*x^15*y^9 + 166979833852201452809485416820810384*x^12*y^12 - 72919159515149793124477999560*x^9*y^15 + 133310632946041883896336*x^16*y^7 + 7298108711012528871932415673228232688*x^13*y^10 + 7298108711012528871932415673228232688*x^10*y^13 + 133310632946041883896336*x^7*y^16 - 811485068362*x^17*y^5 + 1944980125957087251908360909458025336*x^14*y^8 - 55830836158724073321467934848998285676124*x^11*y^11 + 1944980125957087251908360909458025336*x^8*y^14 - 811485068362*x^5*y^17 + 2153843341820167907436574387023808*x^15*y^6 + 2077124962176715735885954711260852525486144*x^12*y^9 + 2077124962176715735885954711260852525486144*x^9*y^12 + 2153843341820167907436574387023808*x^6*y^15 + 59357991930549895938623928*x^16*y^4 - 2146410822609943014230879677278360836180448*x^13*y^7 + 2550459298992062742017080527510658727646036048*x^10*y^10 - 2146410822609943014230879677278360836180448*x^7*y^13 + 59357991930549895938623928*x^4*y^16 + 37788798625392*x^17*y^2 + 49429541539976201901344100090802553012400*x^14*y^5 + 19688160278144381957015882125447645834281097440*x^11*y^8 + 19688160278144381957015882125447645834281097440*x^8*y^11 + 49429541539976201901344100090802553012400*x^5*y^14 + 37788798625392*x^2*y^17 + x^18 - 11615518306620126771306104254152311814*x^15*y^3 + 85296420638899335030982457622178998826905784335*x^12*y^6 - 23510115909860658131335445427460240106058428487700*x^9*y^9 + 85296420638899335030982457622178998826905784335*x^6*y^12 - 11615518306620126771306104254152311814*x^3*y^15 + y^18 + 1810358280837444986131080960*x^16*y + 15675950526438673949468451471895846754206944000*x^13*y^4 - 327176136981363378936581061251713018048904464396800*x^10*y^7 - 327176136981363378936581061251713018048904464396800*x^7*y^10 + 15675950526438673949468451471895846754206944000*x^4*y^13 + 1810358280837444986131080960*x*y^16 + 78782152426181712167247035657336650834483200*x^14*y^2 - 731443180364970087032630245372708279632589868851200*x^11*y^5 + 80797615508971360132758615528197699079937926073651200*x^8*y^8 - 731443180364970087032630245372708279632589868851200*x^5*y^11 + 78782152426181712167247035657336650834483200*x^2*y^14 + 14923676060461817600380995991658397696000*x^15 - 266757533253296731982105660613652593033757261824000*x^12*y^3 + 1055723931846299253244731074571061996853358182105088000*x^9*y^6 + 1055723931846299253244731074571061996853358182105088000*x^6*y^9 - 266757533253296731982105660613652593033757261824000*x^3*y^12 + 14923676060461817600380995991658397696000*y^15 - 12573716113658167409558072258960268771624222720000*x^13*y + 3436241782205232302634667048957887118176261020712960000*x^10*y^4 - 115005268701418043090495549510584157753933635383459840000*x^7*y^7 + 3436241782205232302634667048957887118176261020712960000*x^4*y^10 - 12573716113658167409558072258960268771624222720000*x*y^13 + 2233393025857741551873761563848827932666073029017600000*x^11*y^2 - 855689915106539885530252838854240856527745267741491200000*x^8*y^5 - 855689915106539885530252838854240856527745267741491200000*x^5*y^8 + 2233393025857741551873761563848827932666073029017600000*x^2*y^11 + 367424180219313125835753436424699754428334342144000000*x^12 - 1819305907251871516472008795201782246746190759591936000000*x^9*y^3 + 77050847815481117397998283004765297727365364230127616000000*x^6*y^6 - 1819305907251871516472008795201782246746190759591936000000*x^3*y^9 + 367424180219313125835753436424699754428334342144000000*y^12 - 328089956283176604839023827542983153161429476966400000000*x^10*y + 201085108038299828159811163483471266723091714230190080000000*x^7*y^4 + 201085108038299828159811163483471266723091714230190080000000*x^4*y^7 - 328089956283176604839023827542983153161429476966400000000*x*y^10 + 1999309211713044122484319028419069730950694180801740800000000*x^8*y^2 - 22834499389670302373668240208713044860107362712682496000000000*x^5*y^5 + 1999309211713044122484319028419069730950694180801740800000000*x^2*y^8 - 363299799803406415238234259440206899137613209272320000000000*x^9 - 127758077171740432317129823234713183211211283304022016000000000*x^6*y^3 - 127758077171740432317129823234713183211211283304022016000000000*x^3*y^6 - 363299799803406415238234259440206899137613209272320000000000*y^9 - 322180496704796451383077677336234358205888321122467840000000000*x^7*y + 7176075187690473019992549606638430541195542420541931520000000000*x^4*y^4 - 322180496704796451383077677336234358205888321122467840000000000*x*y^7 + 14863345297880785748455113945391599292430213506400256000000000000*x^5*y^2 + 14863345297880785748455113945391599292430213506400256000000000000*x^2*y^5 + 110435906540395590439728400091584740929517223963262976000000000000*x^6 - 912447430005350061101537348868315948996732148487553024000000000000*x^3*y^3 + 110435906540395590439728400091584740929517223963262976000000000000*y^6 - 4580940933888950653427369705582525892127640243341885440000000000000*x^4*y - 4580940933888950653427369705582525892127640243341885440000000000000*x*y^4 + 122902581711144131995772329618278901054616523352571904000000000000000*x^2*y^2 + 106110003377820534797452421571371781575278631527120896000000000000000*x^3 + 106110003377820534797452421571371781575278631527120896000000000000000*y^3 - 4766928771244977183505142936939266621260121027809116160000000000000000*x*y + 54198575106762219309306750175869557905848927491457024000000000000000000

19:

-x^19*y^19 + 4712*x^19*y^16 + 245264521152*x^18*y^17 + 245264521152*x^17*y^18 + 4712*x^16*y^19 - 8101676*x^19*y^13 + 406842344508887259*x^18*y^14 - 15773686701847655719456*x^17*y^15 + 240290964405229858207202*x^16*y^16 - 15773686701847655719456*x^15*y^17 + 406842344508887259*x^14*y^18 - 8101676*x^13*y^19 + 6162655776*x^19*y^10 + 12889031719831741823696*x^18*y^11 + 64260086262008780694826759360*x^17*y^12 + 228556761131551812849664092666272*x^16*y^13 + 8176838872630370054137680687555760*x^15*y^14 + 8176838872630370054137680687555760*x^14*y^15 + 228556761131551812849664092666272*x^13*y^16 + 64260086262008780694826759360*x^12*y^17 + 12889031719831741823696*x^11*y^18 + 6162655776*x^10*y^19 - 1985270004430*x^19*y^7 + 46363964545955477891846760*x^18*y^8 - 8884113571460303252848144385682879*x^17*y^9 + 486819800200805783764789840245520517536*x^16*y^10 - 354055542936437576429661252250323689639334*x^15*y^11 + 12479283044590295850686569553938568874423480*x^14*y^12 - 38662899231141119938248938291061319254586650*x^13*y^13 + 12479283044590295850686569553938568874423480*x^12*y^14 - 354055542936437576429661252250323689639334*x^11*y^15 + 486819800200805783764789840245520517536*x^10*y^16 - 8884113571460303252848144385682879*x^9*y^17 + 46363964545955477891846760*x^8*y^18 - 1985270004430*x^7*y^19 + 209501825209584*x^19*y^4 + 25731135024023578675732530816*x^18*y^5 + 159826432858557645141941100631861563336*x^17*y^6 + 37254787298788551700741431343639114677535728*x^16*y^7 + 108342829486381334190525786077577959672649860016*x^15*y^8 + 15758972895291322813807909377020184774389540877576*x^14*y^9 + 311429348864451314058190914855010578118515970991088*x^13*y^10 + 1205901797527364136018139279372597128101697646507056*x^12*y^11 + 1205901797527364136018139279372597128101697646507056*x^11*y^12 + 311429348864451314058190914855010578118515970991088*x^10*y^13 + 15758972895291322813807909377020184774389540877576*x^9*y^14 + 108342829486381334190525786077577959672649860016*x^8*y^15 + 37254787298788551700741431343639114677535728*x^7*y^16 + 159826432858557645141941100631861563336*x^6*y^17 + 25731135024023578675732530816*x^5*y^18 + 209501825209584*x^4*y^19 + x^20 - 3091885374475784*x^19*y + 1547059464258354979131665611036*x^18*y^2 - 691324353587740901628754131708250143858876*x^17*y^3 + 222856213953808348782177970697291682635033793894*x^16*y^4 - 1107927337010546754882582623434351978292228803343016*x^15*y^5 + 130675607790958515367227505076291045828445386791548930*x^14*y^6 + 4146248237260855740325465458035368564711289736345512880*x^13*y^7 + 139608506173032885747088250471648498291890734134676564105*x^12*y^8 + 606625995181798136985586476803980367421981400651491045820*x^11*y^9 + 1037860106339494126879558032330410652698402514824218946020*x^10*y^10 + 606625995181798136985586476803980367421981400651491045820*x^9*y^11 + 139608506173032885747088250471648498291890734134676564105*x^8*y^12 + 4146248237260855740325465458035368564711289736345512880*x^7*y^13 + 130675607790958515367227505076291045828445386791548930*x^6*y^14 - 1107927337010546754882582623434351978292228803343016*x^5*y^15 + 222856213953808348782177970697291682635033793894*x^4*y^16 - 691324353587740901628754131708250143858876*x^3*y^17 + 1547059464258354979131665611036*x^2*y^18 - 3091885374475784*x*y^19 + y^20 + 794720003370771809323025500213738023874560000*x^17 + 86090328996056714927582012815778863649752915968000*x^16*y + 1410995137833989854017546654503978023460086688120832000*x^15*y^2 - 616896140563832981625085001377596380143289286287597568000*x^14*y^3 + 37856224998679198740583213922863205101287932177887789056000*x^13*y^4 - 679774376767470665303863409664605257189273245473850974208000*x^12*y^5 + 7154285809608571076907646707155859693674446348655544410112000*x^11*y^6 - 6637193027322701541244822009787792387927270035444111540224000*x^10*y^7 - 79885779225604870658236040389382795052612558716213375152128000*x^9*y^8 - 79885779225604870658236040389382795052612558716213375152128000*x^8*y^9 - 6637193027322701541244822009787792387927270035444111540224000*x^7*y^10 + 7154285809608571076907646707155859693674446348655544410112000*x^6*y^11 - 679774376767470665303863409664605257189273245473850974208000*x^5*y^12 + 37856224998679198740583213922863205101287932177887789056000*x^4*y^13 - 616896140563832981625085001377596380143289286287597568000*x^3*y^14 + 1410995137833989854017546654503978023460086688120832000*x^2*y^15 + 86090328996056714927582012815778863649752915968000*x*y^16 + 794720003370771809323025500213738023874560000*y^17 + 736126059004298167617725833874006982356590699109941248000000*x^14 - 98578090889647550442386441985030273750557854713834897408000000*x^13*y + 4306119677818234549746668400993485600277079420812046368768000000*x^12*y^2 - 68764409767774984619867377556055959290179488329798734839808000000*x^11*y^3 + 384573900295345838164649502796461818009854664939220359970816000000*x^10*y^4 - 1189532789942326039960988399750591861771029584300743105445888000000*x^9*y^5 + 3654899095361356235923535506105919054905063286712471857922048000000*x^8*y^6 - 2090216633349509195085332086906561654528986182779137328939008000000*x^7*y^7 + 3654899095361356235923535506105919054905063286712471857922048000000*x^6*y^8 - 1189532789942326039960988399750591861771029584300743105445888000000*x^5*y^9 + 384573900295345838164649502796461818009854664939220359970816000000*x^4*y^10 - 68764409767774984619867377556055959290179488329798734839808000000*x^3*y^11 + 4306119677818234549746668400993485600277079420812046368768000000*x^2*y^12 - 98578090889647550442386441985030273750557854713834897408000000*x*y^13 + 736126059004298167617725833874006982356590699109941248000000*y^14 - 855891373824131277999924218491939447670368650852072161280000000000*x^11 + 75698056923103683755834802662644920336876810347917848084480000000000*x^10*y - 1029659214019538779827553730025370320804081598175711997198336000000000*x^9*y^2 + 1513839443001887604040718870671257403292910883092202619142144000000000*x^8*y^3 - 11769944658538513867125994707919688145512200902886472483340288000000000*x^7*y^4 - 4859737040623870299926867983668808393119298305324239693021184000000000*x^6*y^5 - 4859737040623870299926867983668808393119298305324239693021184000000000*x^5*y^6 - 11769944658538513867125994707919688145512200902886472483340288000000000*x^4*y^7 + 1513839443001887604040718870671257403292910883092202619142144000000000*x^3*y^8 - 1029659214019538779827553730025370320804081598175711997198336000000000*x^2*y^9 + 75698056923103683755834802662644920336876810347917848084480000000000*x*y^10 - 855891373824131277999924218491939447670368650852072161280000000000*y^11 + 4966800676267052203103265355580743304785480055171066621853696000000000000*x^8 - 16073377273692370476356219088186201832975223877248059736850432000000000000*x^7*y + 79454346867260756651554212331557982257036205601805886178721792000000000000*x^6*y^2 - 85223286791759399171765698375037306148096149638706770357518336000000000000*x^5*y^3 + 156187174909635283989066211984152509078357691782163904736526336000000000000*x^4*y^4 - 85223286791759399171765698375037306148096149638706770357518336000000000000*x^3*y^5 + 79454346867260756651554212331557982257036205601805886178721792000000000000*x^2*y^6 - 16073377273692370476356219088186201832975223877248059736850432000000000000*x*y^7 + 4966800676267052203103265355580743304785480055171066621853696000000000000*y^8 - 29032393492809658592660308950281662196513701107834190854881280000000000000000*x^5 + 1811876693355216623974298459162649538659967715188812785123328000000000000000*x^4*y - 44552437718026130919961006025437725318169476913849127323828224000000000000000*x^3*y^2 - 44552437718026130919961006025437725318169476913849127323828224000000000000000*x^2*y^3 + 1811876693355216623974298459162649538659967715188812785123328000000000000000*x*y^4 - 29032393492809658592660308950281662196513701107834190854881280000000000000000*y^5 + 59183470775890623102362273565816658249475908317552333929054208000000000000000000*x^2 - 34264114659726150217157105748630696881275525868056614379978752000000000000000000*x*y + 59183470775890623102362273565816658249475908317552333929054208000000000000000000*y^2

23:

-x^23*y^23 + 1395073671*x^22*y^22 + 5704*x^23*y^20 + 5704*x^20*y^23 - 709069941510709333*x^21*y^21 + 264037720028512976*x^22*y^19 + 264037720028512976*x^19*y^22 - 12636476*x^23*y^17 + 160604460846131685031198210*x^20*y^20 - 12636476*x^17*y^23 + 1472198198843689854761902392*x^21*y^18 + 1472198198843689854761902392*x^18*y^21 + 73610828569789586482920*x^22*y^16 - 16018545977515365304695748320671708*x^19*y^19 + 73610828569789586482920*x^16*y^22 + 13680702496*x^23*y^14 + 779633429925834955591428087964230176*x^20*y^17 + 779633429925834955591428087964230176*x^17*y^20 + 13680702496*x^14*y^23 - 8604613372930750902868329787969092*x^21*y^15 + 615016964554019559685651010743471120742681*x^18*y^18 - 8604613372930750902868329787969092*x^15*y^21 + 1545671772584965496006976512*x^22*y^13 + 66923769597482737137806926401010205173780704*x^19*y^16 + 66923769597482737137806926401010205173780704*x^16*y^19 + 1545671772584965496006976512*x^13*y^22 - 7466965222550*x^23*y^11 + 12127264431984148306613202189143085043896992*x^20*y^14 - 7022182927755355323814372204440076155982539261780*x^17*y^17 + 12127264431984148306613202189143085043896992*x^14*y^20 - 7466965222550*x^11*y^23 + 2197705953416816491739107848236221024288*x^21*y^12 + 928125675826020058708676528029737029531867486005104*x^18*y^15 + 928125675826020058708676528029737029531867486005104*x^15*y^18 + 2197705953416816491739107848236221024288*x^12*y^21 + 5610627246861632053914301171836*x^22*y^10 - 880802672083766634647374308812798379852144590949456*x^19*y^13 + 16133452417787485233908309818798614948103047433777227688*x^16*y^16 - 880802672083766634647374308812798379852144590949456*x^13*y^19 + 5610627246861632053914301171836*x^10*y^22 + 1903918179372656*x^23*y^8 + 6060122952010128099069640215867640042058155664432*x^20*y^11 + 1554711414002207246581307577474611318129783143703901524832*x^17*y^14 + 1554711414002207246581307577474611318129783143703901524832*x^14*y^17 + 6060122952010128099069640215867640042058155664432*x^11*y^20 + 1903918179372656*x^8*y^23 - 81277778812219593340102469081455758303432018*x^21*y^9 + 3757848996903521158617626418847675688767429215275675751304*x^18*y^12 - 4613587670231184159960594519514278222157861286541539517799276*x^15*y^15 + 3757848996903521158617626418847675688767429215275675751304*x^12*y^18 - 81277778812219593340102469081455758303432018*x^9*y^21 + 4303126571064741832365823558160064*x^22*y^7 + 262888175889884125626831309806320742458912983932501957824*x^19*y^10 + 124821622828387969754463835366489676186722303327697648787027072*x^16*y^13 + 124821622828387969754463835366489676186722303327697648787027072*x^13*y^16 + 262888175889884125626831309806320742458912983932501957824*x^10*y^19 + 4303126571064741832365823558160064*x^7*y^22 - 182186585114385224*x^23*y^5 + 259564704546638457273605343945516930120197030686627312*x^20*y^8 - 749358107908477033936244893499479857041764948376023411468515896*x^17*y^11 + 205097926420690435558089091451873981451469219083565917771672616736*x^14*y^14 - 749358107908477033936244893499479857041764948376023411468515896*x^11*y^17 + 259564704546638457273605343945516930120197030686627312*x^8*y^20 - 182186585114385224*x^5*y^23 + 765952545483152433327215802995893347175853318896*x^21*y^6 + 166405871887810920730826381572836969785751106786758369517129520*x^18*y^9 - 6265158756596288267391951671605189768174816312369166831053034009120*x^15*y^12 - 6265158756596288267391951671605189768174816312369166831053034009120*x^12*y^15 + 166405871887810920730826381572836969785751106786758369517129520*x^9*y^18 + 765952545483152433327215802995893347175853318896*x^6*y^21 + 602256537665973620090801935669594720*x^22*y^4 - 4626828247812386310334561489402143726424526208989630844555840*x^19*y^7 + 26370554399702762303442081591859671660818395296486151833583839046560*x^16*y^10 - 3343594368525339030801216241231636956466208484964778890226953746597760*x^13*y^13 + 26370554399702762303442081591859671660818395296486151833583839046560*x^10*y^16 - 4626828247812386310334561489402143726424526208989630844555840*x^7*y^19 + 602256537665973620090801935669594720*x^4*y^22 + 3653303421204616384*x^23*y^2 + 1390268811085239684304515453404075420698041251570064881728*x^20*y^5 - 3419314744043111740381541478052101238521130816115949558185457673536*x^17*y^8 + 60462896505482191642919638745561732737746042932479084419168229552101440*x^14*y^11 + 60462896505482191642919638745561732737746042932479084419168229552101440*x^11*y^14 - 3419314744043111740381541478052101238521130816115949558185457673536*x^8*y^17 + 1390268811085239684304515453404075420698041251570064881728*x^5*y^20 + 3653303421204616384*x^2*y^23 + x^24 - 2373191904162510437571473791888606115194384602808072*x^21*y^3 + 86871458754668632187376328507262324208112473479941175268006750748*x^18*y^6 - 206025802170582965067037636659177557540322014014102473564596350276268344*x^15*y^9 + 21184279056224004291651994628164557796675794805935593679238448393734425670*x^12*y^12 - 206025802170582965067037636659177557540322014014102473564596350276268344*x^9*y^15 + 86871458754668632187376328507262324208112473479941175268006750748*x^6*y^18 - 2373191904162510437571473791888606115194384602808072*x^3*y^21 + y^24 + 6945765384186558329857855802228689920*x^22*y + 10704879379054880590935423786915475653165810514738959366543344640*x^19*y^4 - 189485420983376209435433396693189829001524207916034162792238176329159680*x^16*y^7 + 13320603056938865991848445120238880733872386281696257193543671556509107200*x^13*y^10 + 13320603056938865991848445120238880733872386281696257193543671556509107200*x^10*y^13 - 189485420983376209435433396693189829001524207916034162792238176329159680*x^7*y^16 + 10704879379054880590935423786915475653165810514738959366543344640*x^4*y^19 + 6945765384186558329857855802228689920*x*y^22 + 799399929018973803615902730304131475456252282274244504576000*x^20*y^2 + 65701017175982781070237660729455492272744316215683020640940660324352000*x^17*y^5 + 2284350314112073506479919608047167112541913578349961199044860751585219584000*x^14*y^8 - 23184783782005039146683294510771873911676869395925288092984723240700637184000*x^11*y^11 + 2284350314112073506479919608047167112541913578349961199044860751585219584000*x^8*y^14 + 65701017175982781070237660729455492272744316215683020640940660324352000*x^5*y^17 + 799399929018973803615902730304131475456252282274244504576000*x^2*y^20 + 2253672506019520101130998199580644883220587571191808000*x^21 - 2010500293222507672681000431082997148388462245474307844513102118912000*x^18*y^3 - 3212071165097676435719528313013047489919085729219280043668039724715016192000*x^15*y^6 - 660006700002067152395823614730763277238656991747208060453647011960214773760000*x^12*y^9 - 660006700002067152395823614730763277238656991747208060453647011960214773760000*x^9*y^12 - 3212071165097676435719528313013047489919085729219280043668039724715016192000*x^6*y^15 - 2010500293222507672681000431082997148388462245474307844513102118912000*x^3*y^18 + 2253672506019520101130998199580644883220587571191808000*y^21 - 3636213009889920532023948859947448201015632581822250893338214400000*x^19*y + 1964159187363657045722685019532466080481718153266908115923046315141365760000*x^16*y^4 + 7601579708619384498459644255863861628780237661106992837500704360575837143040000*x^13*y^7 - 78591099556204606319250664560790304654118874511067661799789989304667592458240000*x^10*y^10 + 7601579708619384498459644255863861628780237661106992837500704360575837143040000*x^7*y^13 + 1964159187363657045722685019532466080481718153266908115923046315141365760000*x^4*y^16 - 3636213009889920532023948859947448201015632581822250893338214400000*x*y^19 - 51694594868721170490777167052976813877171661612708400931263788928204800000*x^17*y^2 - 10962978018013940107785298672122100999659098334331982491502823508900891852800000*x^14*y^5 - 296274961471408346628248527873025615101472667148572031669519752660336928358400000*x^11*y^8 - 296274961471408346628248527873025615101472667148572031669519752660336928358400000*x^8*y^11 - 10962978018013940107785298672122100999659098334331982491502823508900891852800000*x^5*y^14 - 51694594868721170490777167052976813877171661612708400931263788928204800000*x^2*y^17 + 2954752272341849851501952547794655253913818288486582959962132054016000000*x^18 + 12866710100668302833667953536803502516819419481512653560938372528145956864000000*x^15*y^3 + 14583250392788562981206507494300441739745599808249699869117248719685404327936000000*x^12*y^6 - 2866544648413097757868814974321418417215732479263978013791396811200218005504000000*x^9*y^9 + 14583250392788562981206507494300441739745599808249699869117248719685404327936000000*x^6*y^12 + 12866710100668302833667953536803502516819419481512653560938372528145956864000000*x^3*y^15 + 2954752272341849851501952547794655253913818288486582959962132054016000000*y^18 - 147935942763527348452234045070305378810939830201267566951495651064545280000000*x^16*y - 10037373233051946108633804745100274196221912405783565446961828468429128990720000000*x^13*y^4 + 1324914411903482055484002621223190891765964702445179749064213137145420589301760000000*x^10*y^7 + 1324914411903482055484002621223190891765964702445179749064213137145420589301760000000*x^7*y^10 - 10037373233051946108633804745100274196221912405783565446961828468429128990720000000*x^4*y^13 - 147935942763527348452234045070305378810939830201267566951495651064545280000000*x*y^16 + 30702861777511083431110867488112252312596038401871697435054512548488413184000000000*x^14*y^2 + 16926284800426718140042496177449492883379901652700727935057572857333310658969600000000*x^11*y^5 + 85901253547378640435182885587383663259725324678653304131465032032054902416998400000000*x^8*y^8 + 16926284800426718140042496177449492883379901652700727935057572857333310658969600000000*x^5*y^11 + 30702861777511083431110867488112252312596038401871697435054512548488413184000000000*x^2*y^14 - 76543133597007222828549052962241728864813279252220384307817905293099008000000000*x^15 - 987281215352600210698434411906177337894174641074678789835734693275276148736000000000*x^12*y^3 + 1747445505307795812101160955727972245687723464652281050409886942051988731330560000000000*x^9*y^6 + 1747445505307795812101160955727972245687723464652281050409886942051988731330560000000000*x^6*y^9 - 987281215352600210698434411906177337894174641074678789835734693275276148736000000000*x^3*y^12 - 76543133597007222828549052962241728864813279252220384307817905293099008000000000*y^15 + 29714278943420906324487062903689915986827970727217899314362990758200134860800000000000*x^13*y + 10590984289802735268803675181432650757337415542776290386092087375232379922677760000000000*x^10*y^4 + 68874296808390320954353210006274472694001062571429638575995775859527056967598080000000000*x^7*y^7 + 10590984289802735268803675181432650757337415542776290386092087375232379922677760000000000*x^4*y^10 + 29714278943420906324487062903689915986827970727217899314362990758200134860800000000000*x*y^13 + 268467205434363383970193652793163045287781823015876230713279503040877323878400000000000*x^11*y^2 + 867038468076791789315202956558253640972385031934640168767450128215630591243059200000000000*x^8*y^5 + 867038468076791789315202956558253640972385031934640168767450128215630591243059200000000000*x^5*y^8 + 268467205434363383970193652793163045287781823015876230713279503040877323878400000000000*x^2*y^11 + 9999369081241627108636223435431829155706715490472599837617872902095397453824000000000000*x^12 + 3448868543454373226416310665593987954523448622556359538300004183374297860931584000000000000*x^9*y^3 + 22160119801233168425539794094264367062370969541461026768049347123221180136292352000000000000*x^6*y^6 + 3448868543454373226416310665593987954523448622556359538300004183374297860931584000000000000*x^3*y^9 + 9999369081241627108636223435431829155706715490472599837617872902095397453824000000000000*y^12 - 944495725047445324557933856269053602154527454245109402557527128490802182881280000000000000*x^10*y + 203906305470916066909750967361954482116284497006391695703409328974057033810575360000000000000*x^7*y^4 + 203906305470916066909750967361954482116284497006391695703409328974057033810575360000000000000*x^4*y^7 - 944495725047445324557933856269053602154527454245109402557527128490802182881280000000000000*x*y^10 + 635874028106101174537220111784315285571401098272568167644339287462807599054848000000000000000*x^8*y^2 + 3043290683944792542057103546457068382528397701997172025039247830300935036757606400000000000000*x^5*y^5 + 635874028106101174537220111784315285571401098272568167644339287462807599054848000000000000000*x^2*y^8 - 155417521276512947769892943086747417220989216139937481392841648573290960125952000000000000000*x^9 + 20614347440770750639170513954439854573847804736220737562761737911517979885961216000000000000000*x^6*y^3 + 20614347440770750639170513954439854573847804736220737562761737911517979885961216000000000000000*x^3*y^6 - 155417521276512947769892943086747417220989216139937481392841648573290960125952000000000000000*y^9 + 64669689397353118789249803221916830721471278002158543384498104731277417596846080000000000000000*x^7*y + 58881734886069092533564891733028176543117867534031239067047566313068895970263040000000000000000*x^4*y^4 + 64669689397353118789249803221916830721471278002158543384498104731277417596846080000000000000000*x*y^7 - 29012188439242911127572540545931690409521011112318937198705751304231339845222400000000000000000*x^5*y^2 - 29012188439242911127572540545931690409521011112318937198705751304231339845222400000000000000000*x^2*y^5 + 2813697895290923521611737117584905290860102279060096521488196645102862945222656000000000000000000*x^6 - 24185924555743371021937409521631052730540966461251760778253216841912352612810752000000000000000000*x^3*y^3 + 2813697895290923521611737117584905290860102279060096521488196645102862945222656000000000000000000*y^6 - 156133533153996906488764619642274515698635696859385770478948764703988018000691200000000000000000000*x^4*y - 156133533153996906488764619642274515698635696859385770478948764703988018000691200000000000000000000*x*y^4 - 1326342178854027285780831042141223106067279509184276252604003947584055564199526400000000000000000000*x^2*y^2 - 8168588266655858483200292225893943479720117796169933324940609821757723952283648000000000000000000000*x^3 - 8168588266655858483200292225893943479720117796169933324940609821757723952283648000000000000000000000*y^3 + 90827353453909278171851910045720779374889341711588652763449491135636182851911680000000000000000000000*x*y + 6513324489337367793276083747037291772905558077285250942538049188404318991024128000000000000000000000000

Definition

Let $\gamma_2$ be the branch with $\gamma_2(\tau)^3=j(\tau)$ and $\gamma_2(\tau)=q^{-1/3}(1+O(q))$, where $j$ is the modular $j$-invariant. The entry is the monic minimal polynomial of $\gamma_2(\ell\tau)$ over $\mathbb Q(\gamma_2(\tau))$.

Parameters

$\ell$

— prime level ($\ell$ is prime and $\ell\ne3$)

Formulas

(1)

If $q=e^{2\pi i\tau}$, then $\gamma_2(\tau)=q^{-1/3}(1+O(q))$ and $\gamma_2(\tau)^3=j(\tau)$.

(2)

$\Phi^{\gamma_2}_\ell(\gamma_2(\ell\tau),\gamma_2(\tau))=0$.

Comments

(3)

The polynomial lies in $\mathbb Z[x,y]$ and is normalised so that the coefficient of $x^{\ell+1}$ is $1$.

(4)

The variable $x$ is the value at $\ell\tau$, and $y$ is the value at $\tau$; for the rows in this table each polynomial is symmetric, $\Phi^{\gamma_2}_\ell(x,y)=\Phi^{\gamma_2}_\ell(y,x)$.

(5)

PARI/GP calls this invariant number $5$ in polmodular [1].

(6)

$\gamma_2$ has level $3$, so this table uses prime levels $\ell$ coprime to $3$; PARI/GP's polmodular(3,5) is correspondingly undefined.

Programs

(P1)

PARI/GP

\\ prime level 11, invariant 5 = gamma_2; PARI/GP prints the polynomial nested in x
polmodular(11, 5)

Links

[1]

PARI/GP manual: polmodular

Similar tables

Modular polynomials for the $j$-invariant — store the classical modular equations for $j(\ell\tau)$ and $j(\tau)$

Modular polynomials for Weber's $f$-function — store another family of modular equations for a class invariant smaller than $j$

Canonical modular polynomials $\Phi^c_\ell$ — store modular equations for eta quotients used in the same complex multiplication algorithms

Class polynomials of $\gamma_2$ — store class polynomials for the same modular function at CM points

$q$-expansion of the $j$-invariant — defines the cube of $\gamma_2$

Data properties

Entries are of type: integral polynomial

How well the digits are known: exact

Table is complete: no (it holds every prime $\ell\ne3$ with $\ell\leq23$)

How they were obtained:

The generator computes exact $q$-expansions of $\gamma_2(\tau)$ and $\gamma_2(\ell\tau)$ from the branch in Formula (1) and finds the one-dimensional rational kernel among monomials $x^a y^b$ with $0\leq a,b\leq\ell+1$ and $\ell a+b\equiv\ell+1\pmod 3$. For the rows in this table, the resulting polynomial is irreducible over $\mathbb Q(y)$.

The result is primitive over $\mathbb Z$, has leading coefficient $1$ in $x^{\ell+1}$, and is compared with PARI/GP's exact polmodular(ell,5) output [1].