$q$-expansion of the modular discriminant $\Delta$
edit on github · preview edits · show history · short url · Taylor series modular function elliptic curves number theory
Numbers
$n$ 
$\tau(n)$
0:
0
1:
1
2:
-24
3:
252
4:
-1472
5:
4830
6:
-6048
7:
-16744
8:
84480
9:
-113643
10:
-115920
11:
534612
12:
-370944
13:
-577738
14:
401856
15:
1217160
16:
987136
17:
-6905934
18:
2727432
19:
10661420
20:
-7109760
21:
-4219488
22:
-12830688
23:
18643272
24:
21288960
25:
-25499225
26:
13865712
27:
-73279080
28:
24647168
29:
128406630
30:
-29211840
31:
-52843168
32:
-196706304
33:
134722224
34:
165742416
35:
-80873520
36:
167282496
37:
-182213314
38:
-255874080
39:
-145589976
40:
408038400
41:
308120442
42:
101267712
43:
-17125708
44:
-786948864
45:
-548895690
46:
-447438528
47:
2687348496
48:
248758272
49:
-1696965207
50:
611981400
51:
-1740295368
52:
850430336
53:
-1596055698
54:
1758697920
55:
2582175960
56:
-1414533120
57:
2686677840
58:
-3081759120
59:
-5189203740
60:
-1791659520
61:
6956478662
62:
1268236032
63:
1902838392
64:
2699296768
65:
-2790474540
66:
-3233333376
67:
-15481826884
68:
10165534848
69:
4698104544
70:
1940964480
71:
9791485272
72:
-9600560640
73:
1463791322
74:
4373119536
75:
-6425804700
76:
-15693610240
77:
-8951543328
78:
3494159424
79:
38116845680
80:
4767866880
81:
1665188361
82:
-7394890608
83:
-29335099668
84:
6211086336
85:
-33355661220
86:
411016992
87:
32358470760
88:
45164021760
89:
-24992917110
90:
13173496560
91:
9673645072
92:
-27442896384
93:
-13316478336
94:
-64496363904
95:
51494658600
96:
-49569988608
97:
75013568546
98:
40727164968
99:
-60754911516
100:
37534859200
101:
81742959102
102:
41767088832
103:
-225755128648
104:
-48807306240
105:
-20380127040
106:
38305336752
107:
90241258356
108:
107866805760
109:
73482676310
110:
-61972223040
111:
-45917755128
112:
-16528605184
113:
-85146862638
114:
-64480268160
115:
90047003760
116:
-189014559360
117:
65655879534
118:
124540889760
119:
115632958896
120:
102825676800
121:
498319933
122:
-166955487888
123:
77646351384
124:
77785143296
125:
-359001100500
126:
-45668121408
127:
-262717201024
128:
338071388160
129:
-4315678416
130:
66971388960
131:
631528759932
132:
-198311113728
133:
-178514816480
134:
371563845216
135:
-353937956400
136:
-583413304320
137:
-297198746214
138:
-112754509056
139:
596793577940
140:
119045821440
141:
677211820992
142:
-234995646528
143:
-308865667656
144:
-112181096448
145:
620204022900
146:
-35130991728
147:
-427635232164
148:
268217998208
149:
-1115433620850
150:
154219312800
151:
-824447297848
152:
900676761600
153:
784811057562
154:
214837039872
155:
-255232501440
156:
214308444672
157:
1315116754406
158:
-914804296320
159:
-402206035896
160:
-950091448320
161:
-312162946368
162:
-39964520664
163:
-357832759588
164:
-453553290624
165:
650708341920
166:
704042392032
167:
2754833892216
168:
-356462346240
169:
-1458379197393
170:
800535869280
171:
-1211595753060
172:
25209042176
173:
-950387449578
174:
-776603298240
175:
426959023400
176:
527734751232
177:
-1307679342480
178:
599830010640
179:
1681384224780
180:
807974455680
181:
-996774496018
182:
-232167481728
183:
1753032622824
184:
1574983618560
185:
-880090306620
186:
319595480064
187:
-3691995187608
188:
-3955776986112
189:
1226984915520
190:
-1235871806400
191:
2762403350592
192:
680222785536
193:
5442387685442
194:
-1800325645104
195:
-703199584080
196:
2497932784704
197:
-2876091504354
198:
1458117876384
199:
728391402200
200:
-2154174528000
201:
-3901420374768
202:
-1961831018448
203:
-2150040612720
204:
2561714781696
205:
1488221734860
206:
5418123087552
207:
-2118677359896
208:
-570305978368
209:
5699723069040
210:
489123048960
211:
-6793168439188
212:
2349393987456
213:
2467454288544
214:
-2165790200544
215:
-82717169640
216:
-6190616678400
217:
884806004992
218:
-1763584231440
219:
368875413144
220:
-3800963013120
221:
3989820497292
222:
1102026123072
223:
7334863021472
224:
3293650354176
225:
2897808426675
226:
2043524703312
227:
-1359839565924
228:
-3954789780480
229:
-11824411223170
230:
-2161128090240
231:
-2255788918656
232:
10847792102400
233:
-17563353448518
234:
-1575741108816
235:
12979893235680
236:
7638507905280
237:
9605445111360
238:
-2775191013504
239:
-7139577462960
240:
1201502453760
241:
-231306909358
242:
-11959678392
243:
13400796651732
244:
-10239936590464
245:
-8196341949810
246:
-1863512433216
247:
-6159507467960
248:
-4464190832640
249:
-7392445116336
250:
8616026412000
251:
12983053545252
252:
-2800978113024
253:
9966916930464
254:
6305212824576
255:
-8405626627440
256:
-13641873096704
257:
23961192565506
258:
103576281984
259:
3050979729616
260:
4107578522880
261:
-14592514653090
262:
-15156690238368
263:
-24273728464488
264:
11381333483520
265:
-7708949021340
266:
4284355595520
267:
-6298215111720
268:
22789249173248
269:
25837706543670
270:
8494510953600
271:
-3767932360528
272:
-6817096065024
273:
2437758558144
274:
7132769909136
275:
-13632191675700
276:
-6915609888768
277:
-16418932005874
278:
-14323045870560
279:
6005256141024
280:
-6832194969600
281:
21035722907082
282:
-16253083703808
283:
16713176326532
284:
-14413066320384
285:
12976653967200
286:
7412776023744
287:
-5159168680848
288:
22354294505472
289:
13420028104723
290:
-14884896549600
291:
18903419273592
292:
-2154700825984
293:
-23926858987458
294:
10263245571936
295:
-25063854064200
296:
-15393380766720
297:
-39175875516960
298:
26770406900400
299:
-10770926678736
300:
9458784518400
301:
286752854752
302:
19786735148352
303:
20599225693704
304:
10524271493120
305:
33599791937460
306:
-18835465381488
307:
15311092828556
308:
13176671778816
309:
-56890292419296
310:
6125580034560
311:
49875160575912
312:
-12299441172480
313:
-99480832756438
314:
-31562802105744
315:
9190709433360
316:
-56107996840960
317:
83369248359366
318:
9652944861504
319:
68647725277560
320:
13037603389440
321:
22740797105712
322:
7491910712832
323:
-73627062866280
324:
-2451157267392
325:
14731871253050
326:
8587986230112
327:
18517634430120
328:
26030014940160
329:
-44996963217024
330:
-15617000206080
331:
-63584021925868
332:
43181266711296
333:
20707267642902
334:
-66116013413184
335:
-74777223849720
336:
-4165208506368
337:
121001428335986
338:
35001100737432
339:
-21457009384776
340:
49099533315840
341:
-28250591730816
342:
29078298073440
343:
61522344410800
344:
-1446779811840
345:
22691844947520
346:
22809298789872
347:
-155661561078204
348:
-47631668958720
349:
-25643022194650
350:
-10247016561600
351:
42336109121040
352:
-105161550594048
353:
24909815245602
354:
31384304219520
355:
47292873863760
356:
36789573985920
357:
29139505641792
358:
-40353221394720
359:
157584150853560
360:
-46370707891200
361:
-2824382481819
362:
23922587904432
363:
125576623116
364:
-14239605545984
365:
7070112085260
366:
-42072782947776
367:
-177901220129584
368:
18403444948992
369:
-35015731390206
370:
21122167358880
371:
26724356607312
372:
19601856110592
373:
-55161734023378
374:
88607884502592
375:
-90468277326000
376:
227027200942080
377:
-74185389602940
378:
-29447637972480
379:
146463116322980
380:
-75800137459200
381:
-66204734658048
382:
-66297680414208
383:
231449571733632
384:
85193989816320
385:
-43235954274240
386:
-130617304450608
387:
1946216834244
388:
-110419972899712
389:
-149871571611810
390:
16876790017920
391:
-128749205976048
392:
-143359620687360
393:
159145247502864
394:
69026196104496
395:
184104364634400
396:
89431229751552
397:
208110680273846
398:
-17481393652800
399:
-44985733752960
400:
-25171202969600
401:
-133407937691598
402:
93634088994432
403:
30529506193984
404:
-120325635798144
405:
8042859783630
406:
51600974705280
407:
-97413424224168
408:
-147020152688640
409:
-206167580638390
410:
-35717321636640
411:
-74894084045928
412:
332311549369856
413:
86888027422560
414:
50848256637504
415:
-141688531396440
416:
113644706660352
417:
150391981640880
418:
-136793353656960
419:
73403515193820
420:
29999547002880
421:
171111932338622
422:
163036042540512
423:
-305398345130928
424:
-134834785367040
425:
176095964901150
426:
-59218902925056
427:
-116479278716528
428:
-132835132300032
429:
-77834148249312
430:
1985212071360
431:
-71775829446768
432:
-72336417914880
433:
99881248225682
434:
-21235344119808
435:
156291413770800
436:
-108166499528320
437:
198763752966240
438:
-8853009915456
439:
-29031220908760
440:
218142225100800
441:
192848217019101
442:
-95755691935008
443:
328369848718692
444:
67590935548416
445:
-120715789641300
446:
-176036712515328
447:
-281089272454200
448:
-45197025083392
449:
-612368143631550
450:
-69547402240200
451:
164724885738504
452:
125336181803136
453:
-207760719057696
454:
32636149582176
455:
46723705697760
456:
226970543923200
457:
303483032911706
458:
283785869356080
459:
506060490060720
460:
-132549189534720
461:
-729307946668938
462:
54138934047744
463:
122188164073712
464:
126754807111680
465:
-64318590362880
466:
421520482764432
467:
-617380683662484
468:
-96645454674048
469:
259227709345696
470:
-311517437656320
471:
331409422110312
472:
-438383931955200
473:
-9155609005296
474:
-230530682672640
475:
-271857947399500
476:
-170211715494912
477:
181380557687814
478:
171349859111040
479:
1050837984850080
480:
-239423044976640
481:
105271555603732
482:
5551365824592
483:
-78665062484736
484:
-733526941376
485:
362315536077180
486:
-321619119641568
487:
-219909971761864
488:
587683317365760
489:
-90173855416176
490:
196712206795440
491:
-483863128068108
492:
-114295429237248
493:
-886767711942420
494:
147828179231040
495:
-293446222622280
496:
-52163393486848
497:
-163948629394368
498:
177418682792064
499:
-108877719272500
500:
528449619936000
501:
694218140838432
502:
-311593285086048
503:
506588355787752
504:
160751787356160
505:
394818492462660
506:
-239206006331136
507:
-367511557743036
508:
386719719907328
509:
85753393288710
510:
201735039058560
511:
-24509721895568
512:
-364965248630784
513:
-781259049093600
514:
-575068621572144
515:
-1090397271369840
516:
6352678628352
517:
1436688754143552
518:
-73223513510784
519:
-239497637293656
520:
-235739289139200
521:
927574652509722
522:
350220351674160
523:
-21818651341228
524:
-929610334619904
525:
107593673896800
526:
582569483147712
527:
364931430558912
528:
132989157310464
529:
-605238167047943
530:
185014776512160
531:
589716680624820
532:
262773809858560
533:
-178012887920196
534:
151157162681280
535:
435865277859480
536:
-1307904735160320
537:
423708824644560
538:
-620104957048080
539:
-907217963244684
540:
520996671820800
541:
-1695266465052058
542:
90430376652672
543:
-251187172996536
544:
1358440752807936
545:
354921326577300
546:
-58506205395456
547:
752144751323996
548:
437476554427008
549:
-790555104585666
550:
327172600216800
551:
1368997013214600
552:
396895871877120
553:
-638228464065920
554:
394054368140976
555:
-221782757268240
556:
-878480146727680
557:
187489032934806
558:
-144126147384576
559:
9894172288504
560:
-79833163038720
561:
-930382787277216
562:
-504857349769968
563:
244971285916812
564:
-996855800500224
565:
-411259346541540
566:
-401116231836768
567:
-27881913916584
568:
827184675778560
569:
1352425875836970
570:
-311439695212800
571:
1432228477996772
572:
454650262789632
573:
696125644349184
574:
123820048340352
575:
-475388987464200
576:
-306756182605824
577:
-877659324192574
578:
-322080674513352
579:
1371481696731384
580:
-912940321708800
581:
491186908840992
582:
-453682062566208
583:
-853270528819176
584:
123661090882560
585:
317117898149220
586:
574244615698992
587:
-2434250501782764
588:
629479061745408
589:
-563383208178560
590:
601532497540800
591:
-724775059097208
592:
-179869321928704
593:
-303318212278158
594:
940221012407040
595:
558507191467680
596:
1641918289891200
597:
183554633354400
598:
258502240289664
599:
-1701984261329400
600:
-542851981056000
601:
2339216023326602
602:
-6882068514048
603:
1759401252578412
604:
1213586422432256
605:
2406885276390
606:
-494381416648896
607:
-2496072486898144
608:
-2097168523591680
609:
-541810234405440
610:
-806395006499040
611:
-1552583345382048
612:
-1155241876731264
613:
2473009012516862
614:
-367466227885344
615:
375031877184720
616:
-756226380349440
617:
24336777156666
618:
1365367018063104
619:
4225450805148020
620:
375702242119680
621:
-1366161820349760
622:
-1197003853821888
623:
418481404089840
624:
-143717106548736
625:
-488895969711875
626:
2387539986154512
627:
1436330213398080
628:
-1935851862485632
629:
1258353120405276
630:
-220577026400640
631:
-4263261111420568
632:
3220111123046400
633:
-1711878446675376
634:
-2000861960624784
635:
-1268924080945920
636:
592047284838912
637:
980401284761766
638:
-1647545406661440
639:
-1112733760765896
640:
1632884804812800
641:
1008295928583042
642:
-545779130537088
643:
303982416160892
644:
459503857053696
645:
-20844726749280
646:
1767049508790720
647:
3435828424131096
648:
140675112737280
649:
-2774210589848880
650:
-353564910073200
651:
222971113257984
652:
526729822113536
653:
-1185387156769098
654:
-444423226322880
655:
3050283910471560
656:
304156780634112
657:
-166349637206046
658:
1079927117208576
659:
-2265102374509140
660:
-957842679306240
661:
-5330121520762738
662:
1526016526220832
663:
1005434765317584
664:
-2478229219952640
665:
-862226563598400
666:
-496974423429648
667:
2393919729693360
668:
-4055115489341952
669:
1848385481410944
670:
1794653372393280
671:
3719016970449144
672:
829999889252352
673:
4741198635421922
674:
-2904034280063664
675:
1868559748713000
676:
2146734178562496
677:
-1413071638641474
678:
514968225234624
679:
-1256027191734224
680:
-2817886259865600
681:
-342679570612848
682:
678014201539584
683:
-3031157627077068
684:
1783468948504320
685:
-1435469944213620
686:
-1476536265859200
687:
-2979751628238840
688:
-16905402892288
689:
922102026851124
690:
-544604278740480
691:
-2747313442193908
692:
1398970325778816
693:
1017280238423904
694:
3735877465876896
695:
2882512981450200
696:
2733643609804800
697:
-2127859436502828
698:
615432532671600
699:
-4425965069026536
700:
-628483682444800
701:
5727465442629702
702:
-1016066618904960
703:
-1942652670145880
704:
1443076443734016
705:
3270933095391360
706:
-597835565894448
707:
-1368704107203888
708:
1924903992130560
709:
698326457818910
710:
-1135028972730240
711:
-4331712693612240
712:
-2111401637452800
713:
-985169554365696
714:
-699348135403008
715:
-1491821174778480
716:
-2474997578876160
717:
-1799173520665920
718:
-3782019620485440
719:
9709787093595120
720:
-541834695843840
721:
3780043874082112
722:
67785179563656
723:
-58289341158216
724:
1467252058138496
725:
-3274269549861750
726:
-3013838954784
727:
2464686886685576
728:
817229535682560
729:
3082017633650397
730:
-169682690046240
731:
118269009151272
732:
-2580464020796928
733:
7912852398754982
734:
4269629283110016
735:
-2065478171352120
736:
-3667249129586688
737:
-8276770434109008
738:
840377553364944
739:
-8406936179151460
740:
1295492931344640
741:
-1552195881925920
742:
-641384558575488
743:
1362869794471992
744:
-1124976089825280
745:
-5387544388705500
746:
1323881616561072
747:
3333728731570524
748:
5434616916158976
749:
-1510999629912864
750:
2171238655824000
751:
6817220120892752
752:
2652778444947456
753:
3271729493403504
754:
1780449350470560
755:
-3982080448605840
756:
-1806121795645440
757:
-667048975014994
758:
-3515114791751520
759:
2511663066476928
760:
4350268758528000
761:
-7744079729695638
762:
1588913631793152
763:
-1230393932134640
764:
-4066257732071424
765:
3790637408024460
766:
-5554789721607168
767:
2998000190340120
768:
-3437752020369408
769:
2524111226919170
770:
1037662902581760
771:
6038220526507512
772:
-8011194672970624
773:
-11145268112466978
774:
-46709204021856
775:
1347459830544800
776:
6337146270766080
777:
768846891863232
778:
3596917718683440
779:
3285001442747640
780:
1035109787765760
781:
5234645524234464
782:
3089980943425152
783:
-9409519712300400
784:
-1675135446577152
785:
6352013923780980
786:
-3819485940068736
787:
13227104255899436
788:
4233606694409088
789:
-6116979573050976
790:
-4418504751225600
791:
1425699068010672
792:
-5132574924871680
793:
-4019022069226556
794:
-4994656326572304
795:
-1942655153377680
796:
-1072192144038400
797:
2302477758246246
798:
1079657610071040
799:
-18558651348375264
800:
5015858304614400
801:
2840270079131730
802:
3201790504598352
803:
782560406237064
804:
5742890791658496
805:
-1507747030957440
806:
-732708148655616
807:
6511102049004840
808:
6905645184936960
809:
5604717670694010
810:
-193028634807120
811:
-5085164185024588
812:
3164859781923840
813:
-949518954853056
814:
2337922181380032
815:
-1728332228810040
816:
-1717908208386048
817:
-182584365785360
818:
4948021935321360
819:
-1099342046917296
820:
-2190662393713920
821:
279110773799022
822:
1797458017102272
823:
-13526517861603928
824:
-19071793268183040
825:
-3435312302276400
826:
-2085312658141440
827:
272543929352676
828:
3118693073766912
829:
18045917610367430
830:
3400524753514560
831:
-4137570865480248
832:
-1559486316150784
833:
11719129719838338
834:
-3609407559381120
835:
13305847699403280
836:
-8389992357626880
837:
3872298735325440
838:
-1761684364651680
839:
-7961834707368360
840:
-1721713132339200
841:
4287752862251071
842:
-4106686376126928
843:
5301002172584664
844:
9999543942484736
845:
-7043971523408190
846:
7329560283142272
847:
-8343868958152
848:
-1575524037500928
849:
4211720434286064
850:
-4226303157627600
851:
-3397052374923408
852:
-3632092712736768
853:
-14982644001390898
854:
2795502689196672
855:
-5852007487279800
856:
7623581505914880
857:
-22256130175851894
858:
1868019557983488
859:
5442366024533060
860:
121759673710080
861:
-1300110507573696
862:
1722619906722432
863:
10810987426382112
864:
14414456987320320
865:
-4590371381461740
866:
-2397149957416368
867:
3381847082390196
868:
-1302434439348224
869:
20377723102676160
870:
-3750993930499200
871:
8944439700308392
872:
6207816494668800
873:
-8524766970273078
874:
-4770330071189760
875:
6011114426772000
876:
-542984608147968
877:
-28102437759471274
878:
696749301810240
879:
-6029568464839416
880:
2548958848450560
881:
4222089494633682
882:
-4628357208458424
883:
516091995437132
884:
-5873015772013824
885:
-6316091224178400
886:
-7880876369248608
887:
5719060466578536
888:
-3879131953213440
889:
4398936813945856
890:
2897178951391200
891:
890229680050932
892:
-10796918367606784
893:
28650951002224320
894:
6746142538900800
895:
8121085805687400
896:
-5660667323351040
897:
-2714273523041472
898:
14696835447157200
899:
-6785413121403840
900:
-4265574004065600
901:
11022255310711932
902:
-3953397257724096
903:
72261719397504
904:
-7193206955658240
905:
-4814420815766940
906:
4986257257384704
907:
-84377784300844
908:
2001683841040128
909:
-9289515101228586
910:
-1121368936746240
911:
-11009058285505488
912:
2652116416266240
913:
-15682896303708816
914:
-7283592789880944
915:
8467147568239920
916:
17405533320506240
917:
-10574317556301408
918:
-12145451761457280
919:
-4863513801242680
920:
7607170877644800
921:
3858395392796112
922:
17503390720054512
923:
-5656913118074736
924:
3320521288261632
925:
4646298291681650
926:
-2932515937769088
927:
25655490084944664
928:
-25258393596395520
929:
3575343976258530
930:
1543646168709120
931:
-18092058797213940
932:
25853256276218496
933:
12568540465129824
934:
14817136407899616
935:
-17832336756146640
936:
5546608703032320
937:
38637331724206586
938:
-6221465024296704
939:
-25069169854622376
940:
-19106402842920960
941:
-34899727878407658
942:
-7953826130647488
943:
5744373208966224
944:
-5122449823088640
945:
5926337141961600
946:
219734616127104
947:
-28512291118415604
948:
-14139215203921920
949:
-845687870789636
950:
6524590737588000
951:
21009050586560232
952:
9768672367534080
953:
40033434235820202
954:
-4353133384507536
955:
13342408183359360
956:
10509458025477120
957:
17299226769945120
958:
-25220111636401920
959:
4976295806607216
960:
3285476054138880
961:
-22616076492128607
962:
-2526517334489568
963:
-10255287323350908
964:
340483770574976
965:
26286732520684860
966:
1887961499633664
967:
18495304308397016
968:
42098067939840
969:
-18554019842302560
970:
-8695572865852320
971:
-21487665696030828
972:
-19725972671349504
973:
-9992711669027360
974:
5277839322284736
975:
3712431555768600
976:
6866990520492032
977:
-8738799717564174
978:
2164172529988224
979:
-13361513402011320
980:
12065015350120320
981:
-8350791783897330
982:
11612715073634592
983:
11892426157508232
984:
6559563764920320
985:
-13891521966029820
986:
21282425086618080
987:
-11339234730690048
988:
9066794992837120
989:
-319279232436576
990:
7042709342934720
991:
23440857788319392
992:
10394584268931072
993:
-16023173525318736
994:
3934767105464832
995:
3518130472626000
996:
10881679211246592
997:
-21400415987399554
998:
2613065262540000
999:
13352424013671120
1000:
-30328412970240000
Definition
This list contains the coefficients of the modular discrimiant $\Delta$ [1] in its $q$-expansion, $\Delta = \sum_{n=0}^{\infty} \tau(n) q^n$. The coefficients are the values of the Ramanujan tau-function.
Parameters
$n$
—   integer ($n \geq 0$)
Comments
(1)
Note that different authors use different normalization factors for $\Delta$ [1], [2]. Here, we use the normalization that makes $\Delta$ a normalized cusp form (of weight 12 and level 1).
Programs
(P1)
Sage
numbers = {n: delta_qexp(101)[n] for n in [0..100]}
Links
Data properties
Entries are of type: integer
Table is complete: no