Canonical modular polynomials $\Phi^c_\ell$

edit · history · discussion · files · long url · modular function elliptic curves polynomial number theory

Polynomials

$\ell$

$\Phi^c_\ell(x,y)$

x^3 + 48*x^2 - x*y + 768*x + 4096

x^4 + 36*x^3 + 270*x^2 - x*y + 756*x + 729

x^6 + 30*x^5 + 315*x^4 + 1300*x^3 + 1575*x^2 - x*y + 750*x + 125

x^8 + 28*x^7 + 322*x^6 + 1904*x^5 + 5915*x^4 + 8624*x^3 + 4018*x^2 - x*y + 748*x + 49

11:

x^12 - 5940*x^11 + 14701434*x^10 - 139755*x^9*y - 19264518900*x^9 + 723797800*x^8*y + 67496*x^7*y^2 + 13849401061815*x^8 - 1327909897380*x^7*y + 2291468355*x^6*y^2 - 5346*x^5*y^3 - 4875351166521000*x^7 + 1036871615940600*x^6*y + 4231762569540*x^5*y^2 + 161201040*x^4*y^3 + 132*x^3*y^4 + 400050977713074380*x^6 - 310557763459301490*x^5*y + 755793774757450*x^4*y^2 - 49836805205*x^3*y^3 + 468754*x^2*y^4 - x*y^5 + 122471154456433615800*x^5 + 17309546645642506200*x^4*y + 6941543075967060*x^3*y^2 + 51801406800*x^2*y^3 + 3732*x*y^4 + 6513391734069824031615*x^4 - 64815179429761398660*x^3*y + 214437541826475*x^2*y^2 - 4586706*x*y^3 + 104264884483130180036700*x^3 + 77380735840203400*x^2*y + 2059075976*x*y^2 + 804140494949359194*x^2 - 253478654715*x*y + 2067305393340*x + 1771561

13:

x^14 + 26*x^13 + 325*x^12 + 2548*x^11 + 13832*x^10 + 54340*x^9 + 157118*x^8 + 333580*x^7 + 509366*x^6 + 534820*x^5 + 354536*x^4 + 124852*x^3 + 15145*x^2 - x*y + 746*x + 13

17:

x^18 + 510*x^17 + 125001*x^16 + 19248080*x^15 + 2058738420*x^14 + 10846*x^13*y + 160172066760*x^13 + 6027384*x^12*y + 9242645403716*x^12 + 1273189500*x^11*y + 396142696578480*x^11 + 149639194520*x^10*y - 2601*x^9*y^2 + 12417332467452654*x^10 + 10935992495298*x^9*y + 13895953*x^8*y^2 + 274068816038694900*x^9 + 512956753613040*x^8*y - 6334200306*x^7*y^2 + 3930522394593478542*x^8 + 15050663748715720*x^7*y + 582813995247*x^6*y^2 + 102*x^5*y^3 + 29822585665567020720*x^7 + 249498731117744880*x^6*y - 12771700921226*x^5*y^2 + 304164*x^4*y^3 + 25265814014664728452*x^6 + 1855481229180865218*x^5*y + 57276026369631*x^4*y^2 + 14192620*x^3*y^3 - 782798617139667376440*x^5 + 3208047335393719960*x^4*y - 30176599785714*x^3*y^2 + 13396068*x^2*y^3 - x*y^4 + 1674871156833326914740*x^4 + 527256473998693500*x^3*y + 281395910081*x^2*y^2 + 2982*x*y^3 - 1020930937750503845680*x^3 + 249471554573688*x^2*y - 2547081*x*y^2 + 5170904888984217*x^2 + 567877726*x*y - 8730057090*x + 4913

19:

x^20 - 152*x^19 + 11020*x^18 - 509732*x^17 + 16884502*x^16 - 423717176*x^15 + 8284685786*x^14 - 950*x^13*y - 127757600560*x^13 + 316312*x^12*y + 1555736163737*x^12 - 30558479*x^11*y - 14818816436876*x^11 + 1393783456*x^10*y + 107820178372660*x^10 - 35139121246*x^9*y - 570206255492636*x^9 + 516859448264*x^8*y + 76*x^7*y^2 + 1951802961922337*x^8 - 4417019896714*x^7*y + 52003*x^6*y^2 - 2792663674453360*x^7 + 20685669251624*x^6*y + 3153696*x^5*y^2 - 6236737094541574*x^6 - 46304956732366*x^5*y + 32293274*x^4*y^2 + 21913915458273064*x^5 + 37088471763616*x^4*y + 52948896*x^3*y^2 + 37717059200889382*x^4 - 5786452184639*x^3*y + 6707323*x^2*y^2 - x*y^3 + 14998237694760268*x^3 + 24879503032*x^2*y + 2236*x*y^2 + 1299029281420*x^2 - 1075910*x*y + 37507528*x + 361

23:

x^24 + 94392*x^23 + 4240527204*x^22 + 108774498*x^21*y + 119018915927208*x^21 + 10878863167112*x^20*y + 6572911756*x^19*y^2 + 2312685039625868946*x^20 + 486347994127404012*x^19*y + 10986406052484447*x^18*y^2 - 58067982999*x^17*y^3 + 32632069839738383848104*x^19 + 12912207948258050068776*x^18*y + 1168818895070567424108*x^17*y^2 + 723384925175280480*x^16*y^3 + 44708287800*x^15*y^4 + 341285607804807625093861108*x^18 + 225761533672199462844703434*x^17*y + 54064996028492445892247208*x^16*y^2 + 351532180266149773299444*x^15*y^3 + 23393861142915784156*x^14*y^4 - 10606694030*x^13*y^5 + 2650608342993812156260532722296*x^17 + 2700707992214226449258027221920*x^16*y + 1369741546220510297322212674752*x^15*y^2 + 16686360639142949251488869808*x^14*y^3 + 14312261694369785015540640*x^13*y^4 + 42290314588327717656*x^12*y^5 + 1112074380*x^11*y^6 + 15041873256098475677733339269786847*x^16 + 22024041274207574837908883917424784*x^15*y + 21189345526516019813010928565628804*x^14*y^2 + 228345785168536669554919310222196*x^13*y^3 + 2435210970944627261862350101479*x^12*y^4 - 307060908265283661332418294*x^11*y^5 + 11115934012456534713*x^10*y^6 - 60482847*x^9*y^7 + 59871567580771894167162192878014210224*x^15 + 115567473705785704112446218852139445664*x^14*y + 207898875301946165915269006643129499936*x^13*y^2 + 2405425958755932792085104090262485488*x^12*y^3 - 42747633761920344268125739754798616*x^11*y^4 + 89981958024814090011141030460888*x^10*y^5 + 139173366806129751769291180*x^9*y^6 + 616461430046303936*x^8*y^7 + 1830248*x^7*y^8 + 153096134937726783810089802839545644023880*x^14 + 314440946443098786344332532591071996909092*x^13*y + 1286982775610970561768194170864691199117912*x^12*y^2 + 14614273940535423350496984726126478560492*x^11*y^3 + 1014569368644533301533423863997193691704*x^10*y^4 - 3432678143419592037337749621781816440*x^9*y^5 + 38551619584004286542015484087816*x^8*y^6 - 4264035794392141478576244*x^7*y^7 + 7554053404553400*x^6*y^8 - 31050*x^5*y^9 + 202911975784608590775317222505977467294087440*x^13 - 134439166825650315326430805209518271189466512*x^12*y + 4792968923665613836570059843063128567750703480*x^11*y^2 - 47105533575991120886816271918347534460369984*x^10*y^3 - 984266971812219285515785065202499278546752*x^9*y^4 + 26087924089615130138047325010132412503576*x^8*y^5 + 630121001328828075733421164380988116*x^7*y^6 + 302314900239490930328870187600*x^6*y^7 + 7991967325633213927824*x^5*y^8 + 15190145704800*x^4*y^9 + 276*x^3*y^10 + 61564851253465959593615718276263687647017525180*x^12 - 3710921525623387022263005027197134299238571238264*x^11*y + 9972325584770184312054319867359413619717613009050*x^10*y^2 - 450753509177042611658093908948016692071013987098*x^9*y^3 + 9907503231234187116750759201991712487549446970*x^8*y^4 - 38881951594609508657884890140946871337174792*x^7*y^5 + 746894439974422430126087474154503070655*x^6*y^6 - 432404144636194767329958305917121*x^5*y^7 + 24177431685223325522969965*x^4*y^8 - 278325861938860326*x^3*y^9 + 968860740*x^2*y^10 - x*y^11 + 142454163118811650492804158939562881681672602304720*x^11 - 9293714699266694747378297541528225920889653363400528*x^10*y + 10345844681612328522651912877761376117448079653446680*x^9*y^2 - 688457686722329973330256471680929082006983682931776*x^8*y^3 + 7464957325436587544771045573504766568723780905408*x^7*y^4 + 8165573020429059895242111781060604496450057144*x^6*y^5 + 46967317270322620819679198266981554748356*x^5*y^6 + 8531223228090548195370484332020880*x^4*y^7 + 103873351179891929519062224*x^3*y^8 + 84769621956810720*x^2*y^9 + 8196*x*y^10 + 615249411715480835951687027322013375942940790358740360*x^10 - 5716887633691582518475654572776473752979146092820123708*x^9*y + 4429183565115505767769062975863353067541838165902549528*x^8*y^2 - 159358193685796372569156788422778696142453378929716788*x^7*y^3 + 1627738758702528170490551019223088528563508353393656*x^6*y^4 - 121685326762989612603867415903526255008407165240*x^5*y^5 + 65176650105429905308519330098932987538504*x^4*y^6 - 633431596026591461045945860430484*x^3*y^7 + 54204777814103883675000*x^2*y^8 - 28368090*x*y^9 - 631984928849214699061458297499299609335830369461288894096*x^9 + 4873791526026402467748799773484570992138370428828700463136*x^8*y - 252813386738178858483657311116164576672332367210645082464*x^7*y^2 + 3660308153664609623031256911426615569798786618728337072*x^6*y^3 + 19662128654923892332253899278755467537976225956109064*x^5*y^4 + 37892443516205245281865920949607162675785344952*x^4*y^5 + 324069422334247196603311294052674131100*x^3*y^6 + 3446331570553500854957457344*x^2*y^7 + 53962467848*x*y^8 + 795626819465545167493091389015450776735056932796747136178383*x^8 + 1682785524465044489622407062136335349295825108582429136677264*x^7*y + 18386898205616952374190437317817079863901599847348525751236*x^6*y^2 - 347519640879866637613413689816907012651931500183010542924*x^5*y^3 + 3090051613897576194413565636438204359264264627480151*x^4*y^4 - 30909902276033986609609367466367931203637334*x^3*y^5 + 46957695364375901363868253981257*x^2*y^6 - 61514962720527*x*y^7 - 345984911769465042150097709335980564214121167596316940501334504*x^7 - 128189303886826290519627193802510572539276510153127814552006880*x^6*y + 1116221908095060418095743037338606697929938711435596866396352*x^5*y^2 + 47784999065193777711474851555463144637136853510846692592*x^4*y^3 + 850054432860748199774599221631049959113998182560*x^3*y^4 + 185970483732950021039673439984697784*x^2*y^5 + 43007336651707740*x*y^6 + 155939386253359966442979944233172344703951618705879307990663993172*x^6 - 878604895540324400644666500090309335114012214930928337312528646*x^5*y + 152073743253728535282327882573172751424035709062861057805672*x^4*y^2 - 8743136490235619740139859374390713016112583448586156*x^3*y^3 + 239538910153344978633829352591877913084*x^2*y^4 - 18144237478297458590*x*y^5 + 32325509632661596809171593847585556147476287097047388898430286024*x^5 + 81570968438358203181799665793929676804312281942905534115294024*x^4*y + 38582561447041128168349076981090710016102981207078211228*x^3*y^2 + 99290421535996270030537686584531947745760*x^2*y^3 + 4374793948754527714200*x*y^4 + 2233186143564339588183429241496950640166826741183334906313798354*x^4 - 74348030654125334007717094363959263055430830741124295575188*x^3*y + 11467496066733382528854669850967994629598783*x^2*y^2 - 541459535600500383823479*x*y^3 + 51423428181843613996683463888259490155213952655349100627907848*x^3 + 246653660694738273566980243037563038978572648*x^2*y + 28035152457942175237515676*x*y^2 + 219457760975451466088018040204147379510047876*x^2 - 389561380516779182551042062*x*y + 312190445452533657242901912*x + 148035889

29:

x^30 - 1218*x^29 + 750375*x^28 - 312177460*x^27 + 97844061669*x^26 - 236321*x^25*y - 24383203360230*x^25 + 946283688*x^24*y + 4982726503407419*x^24 - 918333591588*x^23*y - 850163374333900680*x^23 + 468914573398264*x^22*y + 6353784*x^21*y^2 + 122299698587208167085*x^22 - 159048632406057810*x^21*y + 181683445194*x^20*y^2 - 14889547174675349431602*x^21 + 39521617215649214328*x^20*y - 599495756089788*x^19*y^2 + 1531482578360042345865291*x^20 - 7525314653950183937716*x^19*y + 872166392854025202*x^18*y^2 - 2679600*x^17*y^3 - 132053255611129182007121100*x^19 + 1125236249523414971501160*x^18*y - 635753765158606880840*x^17*y^2 + 2460313056888*x^16*y^3 + 9398965955840521375481753105*x^18 - 133035555552296396053296831*x^17*y + 265669846532097539666760*x^16*y^2 - 32087992514334642*x^15*y^3 - 536696277312844909527193355910*x^17 + 12232203740834071213437442832*x^16*y - 68894383123971116583133968*x^15*y^2 + 59323448811972508848*x^14*y^3 + 275326*x^13*y^4 + 23299231190793504046801208153535*x^16 - 834949492435227719556023516616*x^15*y + 11563182492764030151599198152*x^14*y^2 - 38085149726123235863988*x^13*y^3 + 807685777416*x^12*y^4 - 681763223892219053764025800415600*x^15 + 36972179799740818555754873108784*x^14*y - 1275435500089928780930717533680*x^13*y^2 + 12513644190592212185525088*x^12*y^3 + 31540743785702484*x^11*y^4 + 8470066345824882395649837679971315*x^14 - 443087242206261908787262755559996*x^13*y + 91942321261000673722533440225292*x^12*y^2 - 2308795648645507634558522718*x^11*y^3 + 113761557895931097933*x^10*y^4 - 10701*x^9*y^5 + 161710237490998966157816070290122890*x^13 - 63478730671286180160622238706224784*x^12*y - 4218070197843435969098237035703272*x^11*y^2 + 240937674269923368605787691032*x^10*y^3 + 77539950465963755743056*x^9*y^4 + 23772237628*x^8*y^5 - 1227146145936734144132486656222766555*x^12 + 4341174590523757741277102791186180344*x^11*y + 116997595394750640955290901668767388*x^10*y^2 - 14189968006241257041223318812728*x^9*y^3 + 13153747084806559120161231*x^8*y^4 - 391444687085364*x^7*y^5 - 466990356879076849550536283703690837900*x^11 - 119808651165801153971926767964434376112*x^10*y - 1797379600307124462440849792392806000*x^9*y^2 + 438835121709779261743834199028408*x^8*y^3 + 590082664788695856781687308*x^7*y^4 + 286125333478092252*x^6*y^5 + 174*x^5*y^6 + 14051175522038903879253479624997551931519*x^10 + 891196368503420306064658203451671564369*x^9*y + 13195719509595301940639141676871951208*x^8*y^2 - 5894040785483433228050322786676878*x^7*y^3 + 6352292091622541943159967299*x^6*y^4 - 16648001798743234379*x^5*y^5 + 50814873*x^4*y^6 + 989580041023783362657963930615868144271838*x^9 + 33582185924543200905582508660855190802120*x^8*y - 34070364530233296215500865758744128528*x^7*y^2 + 24632566010160750053593192366876512*x^6*y^3 + 12417572871968070882485935056*x^5*y^4 + 69237803149795442988*x^4*y^5 + 11369273796*x^3*y^6 + 25666866633788908453789789685877357552896385*x^8 - 329034722236791682594672836478128057641236*x^7*y + 274902994740173921203071431810019994920*x^6*y^2 - 18730974407035972857488425100509428*x^5*y^3 + 2503481023034697525017367057*x^4*y^4 - 11419076943842818644*x^3*y^5 + 7185710277*x^2*y^6 - x*y^7 + 308861932392128889367800125988879418155575160*x^7 - 1264298445676474340233751379145699268114088*x^6*y + 575613446317440589496951838477227787640*x^5*y^2 + 1107227846877530247324109207846512*x^4*y^3 + 15857569245109083466257684*x^3*y^4 + 6037858449607532*x^2*y^5 + 5214*x*y^6 + 1875013858467132799321393242673848632123205151*x^6 - 1353923326418571032234620965443434740239250*x^5*y + 29339927420537416362206681864525852538*x^4*y^2 - 1318232739963563981380977137442*x^3*y^3 + 170793646173018426984*x^2*y^4 - 10272861*x*y^5 + 192864632773325458848251534365289489908239210*x^5 + 69784895987445289222272641163663201521816*x^4*y + 18607952018105725597811472432037572*x^3*y^2 + 652351585797377982775512*x^2*y^3 + 9480438286*x*y^4 + 6663184774603066906031133518632160995669161*x^4 - 71417245623968563975406649262314853188*x^3*y + 446285544177060259658065026*x^2*y^2 - 4108842162480*x*y^3 + 76881312068041531479464613856635540877580*x^3 + 44241368232920303555266561992*x^2*y + 728011816505784*x*y^2 + 157301589185173845501486910155*x^2 - 35575638370254161*x*y + 107281337499515022*x + 24389

31:

x^32 + 124*x^31 + 2914*x^30 - 318184*x^29 - 20921125*x^28 - 41302912*x^27 + 34311338718*x^26 - 48825*x^25*y + 958759972116*x^25 - 18205184*x^24*y - 17018660197623*x^24 - 1204873466*x^23*y - 1285520457216824*x^23 + 36378044672*x^22*y - 10926207212966012*x^22 + 6603405420108*x^21*y + 683598271231694680*x^21 + 190752057502872*x^20*y + 46376*x^19*y^2 + 17054367600512622350*x^20 - 5241259110533354*x^19*y + 655275024*x^18*y^2 - 78581176872582117856*x^19 - 421228867437385712*x^18*y + 403669259124*x^17*y^2 - 7621075705566170995528*x^18 - 5649198456929790560*x^17*y + 83827652482682*x^16*y^2 - 62415191494215705685272*x^17 + 214568721525413522344*x^16*y + 8154338419182664*x^15*y^2 + 1232415383170363633424946*x^16 + 8021364116515873955086*x^15*y + 569190870359543025*x^14*y^2 - 4526*x^13*y^3 + 20967837815502237313373448*x^15 + 38795726350888490541256*x^14*y + 23912109648959366552*x^13*y^2 + 226831216*x^12*y^3 - 32016091440584052822775048*x^14 - 2370859254757514585641034*x^13*y + 796471245618195513026*x^12*y^2 - 495771626193*x^11*y^3 - 1473127278102340479588365536*x^13 - 42759325636234340951173784*x^12*y + 17280292686691366826908*x^11*y^2 + 188678616639408*x^10*y^3 + 12505662256874162119449297710*x^12 - 62770478788994799056212514*x^11*y + 283578090178813680294631*x^10*y^2 - 20213788862464738*x^9*y^3 + 140680272596760752517320822200*x^11 + 3765948938282554637835888904*x^10*y + 3032138248042651439574028*x^9*y^2 + 736107124649718784*x^8*y^3 + 124*x^7*y^4 - 1135175840836914174790220720732*x^10 + 21634488097464030106044000160*x^9*y + 21222078864602797502757746*x^8*y^2 - 9581309583607766072*x^7*y^3 + 2751994*x^6*y^4 - 994762043582345318793833936984*x^9 - 32119999741574075423277651632*x^8*y + 82199747575275732008219192*x^7*y^2 + 42357259405004886784*x^6*y^3 + 913025392*x^5*y^4 + 76616227165432356586240070504937*x^8 - 262459878559265722293623284154*x^7*y + 142595230421228760576616545*x^6*y^2 - 53883493233372484498*x^5*y^3 + 20357117417*x^4*y^4 - 405955219081543779235970201632284*x^7 - 299507119349293592254219069128*x^6*y + 73361278207573894806370024*x^5*y^2 + 13902342669987449328*x^4*y^3 + 32232122032*x^3*y^4 + 1009270814070817578425306282629998*x^6 - 577547164335834807060247389492*x^5*y + 5914812889053378341225162*x^4*y^2 - 353159103595099713*x^3*y^3 + 1402297834*x^2*y^4 - x*y^5 + 211966131441935603877890886299648*x^5 + 57200037568797587721494928512*x^4*y + 27383222232374474205924*x^3*y^2 + 106579683315376*x^2*y^3 + 3724*x*y^4 + 14316763912842090579355094401355*x^4 - 212511458929091139774418346*x^3*y + 397683291921333264*x^2*y^2 - 4562846*x*y^3 + 319542275553772078094659193336*x^3 + 136668531009916550656*x^2*y + 2038690376*x*y^2 + 1383719001913543927474*x^2 - 248931317385*x*y + 1997313645004*x + 961

37:

x^38 - 74*x^37 + 2923*x^36 - 80364*x^35 + 1708179*x^34 - 29669634*x^33 + 435578393*x^32 - 5527234048*x^31 + 61576674206*x^30 - 609089044812*x^29 + 5393759970426*x^28 - 43022415314760*x^27 + 310467691158446*x^26 - 851*x^25*y - 2033326533306724*x^25 + 132164*x^24*y + 12109774297290146*x^24 - 5202940*x^23*y - 65652295038031584*x^23 + 125423044*x^22*y + 324046151692822851*x^22 - 2168974373*x^21*y - 1455089762721554526*x^21 + 29231986012*x^20*y + 5934737012925361097*x^20 - 320070266972*x^19*y - 21930159274875768340*x^19 + 2922082721900*x^18*y + 73158453942129216101*x^18 - 22594430462194*x^17*y - 219285278035079647566*x^17 + 149337243921348*x^16*y + 586950056678008174767*x^16 - 847581143086748*x^15*y - 1391871588081328894176*x^15 + 4132343374686052*x^14*y + 74*x^13*y^2 + 2894505306278890999418*x^14 - 17250429949760481*x^13*y + 63825*x^12*y^2 - 5209071338378851654084*x^13 + 61189771760924884*x^12*y + 8050460*x^11*y^2 + 7970399984056882856582*x^12 - 182138971323872252*x^11*y + 325849639*x^10*y^2 - 10118560675839787909320*x^11 + 446168350452578004*x^10*y + 5517967916*x^9*y^2 + 10281484152303245260818*x^10 - 873344562301680274*x^9*y + 43765830693*x^8*y^2 - 7883727665747688475692*x^9 + 1304897459560425980*x^8*y + 168955781020*x^7*y^2 + 4057439288686298695382*x^8 - 1382543441496469628*x^7*y + 312684193809*x^6*y^2 - 964509517660111192192*x^7 + 912542762491193356*x^6*y + 258140132876*x^5*y^2 - 202886274707963972251*x^6 - 297211336623010373*x^5*y + 81172957603*x^4*y^2 + 127005727208358860046*x^5 + 31256403287705908*x^4*y + 6950541020*x^3*y^2 + 27015683552857755663*x^4 - 553028681237980*x^3*y + 67749405*x^2*y^2 - x*y^3 + 1391276123624654484*x^3 + 241622699732*x^2*y + 2234*x*y^2 + 12457728941119*x^2 - 1072931*x*y + 37185766*x + 37

41:

x^42 - 738*x^41 - 80811*x^40 + 194653896*x^39 - 25375102950*x^38 - 10943556*x^37*y - 19914806723004*x^37 - 4924740912*x^36*y + 4497545484533034*x^36 + 5235335622504*x^35*y + 1145726919528103944*x^35 + 5656321786822480*x^34*y - 709488846*x^33*y^2 - 292649947293032392503*x^34 - 3771529367537210724*x^33*y + 83888453196214*x^32*y^2 - 68200794200305948655866*x^33 - 859861896448109861760*x^32*y + 59483493914806908*x^31*y^2 + 12316827206085502574959605*x^32 + 1037150876748297320513472*x^31*y - 36540066625276438350*x^30*y^2 + 4118845650*x^29*y^3 + 4832941908634514116849982880*x^31 - 104365785587015871387261312*x^30*y - 69680481456508609923480*x^29*y^2 + 5707006789875048*x^28*y^3 - 651131061886689337132662815080*x^30 - 103308864379614178586408287440*x^29*y + 8828882374859354725672158*x^28*y^2 - 235204236233844798704*x^27*y^3 - 226355574378240991581784103734224*x^29 + 30547802180096368194810195920832*x^28*y + 17676712378254502864656043092*x^27*y^2 - 874222289159815112044056*x^26*y^3 - 2304213899*x^25*y^4 + 27371673785772081866139843373394328*x^28 + 2183807486404001972134491315962208*x^27*y - 2493684306556332829712135664902*x^26*y^2 - 483552676157636036076420234*x^25*y^3 + 201149682558275361*x^24*y^4 + 7074550509951110638785431942635815456*x^27 - 2257139328879386217673606913609133120*x^26*y - 2088502834485709197749387259823896*x^25*y^2 + 397569725006377425768386258384*x^24*y^3 - 8725917193631960799600*x^23*y^4 - 398732786614003876140410530687455702654*x^26 + 255699218574087863654659566082236587504*x^25*y + 452631681825672915951741977489645598*x^24*y^2 + 148460870524600394487226857680640*x^23*y^3 + 234264981660100715585009048*x^22*y^4 + 400555404*x^21*y^5 - 280170327102531876108419193145826827005156*x^25 + 53661420678652375756792396938171738971520*x^24*y + 101372388780464029816285259335128404828*x^23*y^2 - 146509447240019574957768631803525552*x^22*y^3 + 1932982011165001762971914727864*x^21*y^4 + 279733839573673732*x^20*y^5 + 8111177932429869597689312019464605170344330*x^24 - 16015149975812348493823706118358968344170944*x^23*y - 32905024509682229999580239370024522893238*x^22*y^2 - 60288718623032828721361405146095599470*x^21*y^3 + 5244777444012782292017031125371548*x^20*y^4 + 398141329833645231021966*x^19*y^5 + 9214846396166210395175733456354498744624375024*x^23 + 630357034708302609517274638152719527505141632*x^22*y - 1671425470484945937861844169892114100497384*x^21*y^2 + 7922184290995488442287437036859312955224*x^20*y^3 + 6912730621090878296884957963797797088*x^19*y^4 + 18739213473445242313951944072*x^18*y^5 - 30532782*x^17*y^6 - 690902177579637492329038060595432082421091936580*x^22 + 266433745543875637089582610699040117268484842696*x^21*y + 1335911169097127900025752197704158649803420806*x^20*y^2 + 4448993360646739356769895086716198875838960*x^19*y^3 + 5277105662357734326474730186080920507217*x^18*y^4 + 107986288941461355106956175935316*x^17*y^5 + 49961789274844971*x^16*y^6 - 100714108439921459098299899487730697239391089418984*x^21 - 38558287562188950208206604960330330893851620715040*x^20*y - 63554942735306972352922636095685034503335642540*x^19*y^2 - 264028686309338391467460420801057138423690408*x^18*y^3 + 2471131182524821266971177184513613111965507*x^17*y^4 + 221526735455177280761932866847005468*x^16*y^5 - 175009462944037474205045*x^15*y^6 + 1558543638250744012852684985836394117973805939694940*x^20 + 257483466228481789041527582089100660536039599124080*x^19*y - 24125479773879071818708213575628449388943277522030*x^18*y^2 - 184131754515000799590495994166649161879424159258*x^17*y^3 + 752126732707763886071628904606553232695522654*x^16*y^4 + 194918262837930403446710312747148341016*x^15*y^5 + 21212760218420409499968005445*x^14*y^6 + 1177438*x^13*y^7 + 2587955431678697345962538686760118645645005953982702064*x^19 + 324060336672260780677304300741854333582969045797254880*x^18*y + 2410629880319984876862462658960514315516543974850828*x^17*y^2 + 1940033460792342404156659774637221200680036722272*x^16*y^3 + 149287156229054737804012297841896094630843258832*x^15*y^4 + 85708440539370456494799325018233320898612*x^14*y^5 - 290308716133933276991341720629714*x^13*y^6 + 1640948229951144*x^12*y^7 + 75627109308528494693925244482001795831434881998213074010*x^18 - 20525586892690301365343023044839842654572965990409862584*x^17*y + 176514340317543363518525586060828259544862427685930370*x^16*y^2 + 3490944334433092442869035937422742891538453124961536*x^15*y^3 + 19471465626750209542060491820182806566646425170276*x^14*y^4 + 28048081899568767340381435327361644378843488*x^13*y^5 + 807699241795887838053079311936354055*x^12*y^6 + 3761716748997671302500*x^11*y^7 - 107075627725266851474130238261290375725528220910448085648996*x^17 - 539768166180016601300048658801199478183078177823095321728*x^16*y - 24926262651406629484594062905936611830144555047147553900*x^15*y^2 + 75398768290775588516967771035060515490862934733857632*x^14*y^3 + 1614550227437715995163434663686204369208853918157984*x^13*y^4 + 4800847972048872885476903118032282248366030020*x^12*y^5 - 611101566601747870417880178478804379979*x^11*y^6 + 227451804608189231789430856*x^10*y^7 - 23985*x^9*y^8 + 16377453135891170029202329084930218206488351504789055430191346*x^16 + 50654839585357803912838994663897210620689837610956128732736*x^15*y - 668786344108120744161344216341656397455084802839053746954*x^14*y^2 - 22822244029966660124765724358727970245137391093332762938*x^13*y^3 + 81721262463123273483140924227573267725931020376611396*x^12*y^4 + 472754074948425987875864450305579372741000199988*x^11*y^5 + 142958038693247661157857386425712342116761*x^10*y^6 + 1047003323197777561230663155778*x^9*y^7 + 9246485160587*x^8*y^8 - 1238438480874516913196779646332444025051423180594506373217176544*x^15 + 6445558084288018023429322713370019951429429187964883829375360*x^14*y + 94866311477401925142619526355334458367290834277571952534936*x^13*y^2 - 975691668768815531048061093384256640519470069297422744168*x^12*y^3 + 2317003513017058658229757517416282335712415602295299152*x^11*y^4 + 28351256121515698674170671856638419122165270943780*x^10*y^5 - 10549410022698477782557281646417665339309152*x^9*y^6 + 582536515057314767981860981424208*x^8*y^7 - 3007460080398316374*x^7*y^8 + 51740229463872144320232265372144291199073949213293278555491078488*x^14 - 709140361412797067733561413721067245902332601785471898765495056*x^13*y + 4417207778054865171451905636187215551181111045201342629779002*x^12*y^2 + 2840507505514465932444693143558731750243567158431302439280*x^11*y^3 + 33134799116264967306262896125886383142586625193237809614*x^10*y^4 + 792216914249959547827317793936115052748180674358368*x^9*y^5 + 228412600549290976432558932603315516701910801*x^8*y^6 + 45244589916687499982782744148936120*x^7*y^7 + 11401630734578110343325*x^6*y^8 + 246*x^5*y^9 - 1093463949030409148267969580975428396106245800110374318503617103824*x^13 + 21171110834662601011977567293260059524285520053433300543550411200*x^12*y - 371262064407576765002965338364833531999129468926688299481345892*x^11*y^2 + 303290370476793705570545577713615530289283420352529393702424*x^10*y^3 + 214960418453998625193808827209843545445594358300359206467*x^9*y^4 + 8620052522793786605745708412971063807735607420829652*x^8*y^5 - 1217038938664106246585355376773321968941189659*x^7*y^6 + 456786863101227778277575543655513808*x^6*y^7 - 1475736624114978277925682*x^5*y^8 + 3896910108*x^4*y^9 + 7090721625292710317331421417193728374219616286648215223607556501720*x^12 + 40878255970042494292211755827481789148907690613117291009273481568*x^11*y + 9651363665801243161637399615263611840002710566787426486197468558*x^10*y^2 - 2887411499074698964710199957544529258217179801449868329574030*x^9*y^3 + 567638241369571671185427638230294726760292406983929169417*x^8*y^4 + 25624543915899876815031457130252815852906148574108696*x^7*y^5 + 1167030251107603287099552797434976330149758815*x^6*y^6 + 450689248487774979524733625253923938*x^5*y^7 + 5708714654130406331495445*x^4*y^8 + 2955199778908*x^3*y^9 + 30779205258304316747946003046911526310728390638752428833247230084000*x^11 - 10198321153388552917918824904989483472243097953066005365290584671808*x^10*y - 83014827501960403773688328719210794187546873650269812002666544536*x^9*y^2 - 39160456372798175922907056285738934335163839003492115224639792*x^8*y^3 - 2098329001261879634126129184862428831996304901941049913312*x^7*y^4 + 12440427223912509723357714754670804200072961274774588*x^6*y^5 - 120081308757616229778838641836638384261585554*x^5*y^6 + 23540423644834097213973751271524616*x^4*y^7 - 383316624601825983932214*x^3*y^8 + 1239319360188*x^2*y^9 - x*y^10 + 1110665044714188313972071414024958124297354698507014716085912808879005*x^10 + 74840556898733772887164213502007994857584876251316011646376941678640*x^9*y + 285153672359114700590360194874242945212603231819816675443665723178*x^8*y^2 + 51346738215574019914896960862185253410157606945331988920920320*x^7*y^3 + 2381610738642765466296580288499401754748322786755936288828*x^6*y^4 + 506948586013141277447353338425017542534299718891796*x^5*y^5 + 552780308941840406179591470087650970664125*x^4*y^6 + 15548818106492819354975630330340*x^3*y^7 + 19144009474324341667*x^2*y^8 + 7446*x*y^9 + 5038304624895281855423718732863993321065440577031590880402544403156934*x^9 + 222647915149332940747152593606354482165445023900518006430217325283968*x^8*y + 109525354705863258222996607661379385953172447462946144327543443092*x^7*y^2 + 6372231779020929399879681726902704775470819661110240112816464*x^6*y^3 - 110391550214093520649810429331516523775613679710631537096*x^5*y^4 + 627199297088823029923470321071308407074934201672*x^4*y^5 - 22874802691845500013441881237113167365*x^3*y^6 + 5070206543142517380764904*x^2*y^7 - 22980465*x*y^8 + 34354567759054600218889698039184717071354754822606136917987084957369857*x^8 - 543151556571024476920348228679479612787893752771239632556683381950528*x^7*y + 24823096932835059569686894171216550030867837384496665814832207758*x^6*y^2 + 2335668742462008237091774504486397508576834577497200880165846*x^5*y^3 + 78745694835326001348614179976079251119709939732950168*x^4*y^4 + 4083367280806889685239353645684474835848206*x^3*y^5 + 163571180577361741091659282371*x^2*y^6 + 38025081598*x*y^7 + 74913829053654531764742433775793373874405875888465175572068886525188744*x^7 - 190700904331126545267915370725484923197855875695339650805671503966080*x^6*y - 8276447209018565252078840473087385280348813708666626770180041240*x^5*y^2 + 1633539695099188326956962889790079603117715382475639313064*x^4*y^3 - 165194099297468070014558436176767712390994394800*x^3*y^4 + 1190033630865545493077132004764132*x^2*y^5 - 36450321193902*x*y^6 + 233133450235487535802154095163360363982358177705094825411016532669381434*x^6 + 7095575820461513880988276502014424224500116721279649809048652021596*x^5*y + 6414758673503955279786477413717722157080773467413944950714850*x^4*y^2 + 2165171308878775898330399533369303686245786794826896*x^3*y^3 + 2456499419214161519424289471424421801*x^2*y^4 + 20422494477137484*x*y^5 - 297116180079824624510831985255564467092959897584053386984890667379644*x^5 + 4034310581527676092158559666670718990051135377722756915030035920*x^4*y - 11179446102898157070008219682960673506719363386409369412*x^3*y^2 + 1503923037339910958777969628711671804328*x^2*y^3 - 6425769378632446859*x*y^4 + 126196619018874338463306300990418639589186422807862409943177022730*x^4 + 23958082826161787205145308555274382319759291917482890668904*x^3*y + 243615838142730964506198893662645765279334*x^2*y^2 + 1029773325270318296370*x*y^3 - 17866032634835498704612539501780437900176508309520332689729464*x^3 + 7108562368550737415016323968890827856421968*x^2*y - 69020428240285337080206*x*y^2 + 8406022086092681061960370605353778099536829*x^2 + 1249143319738596458652924*x*y - 1318352890764373593486498*x + 68921

43:

x^44 - 344*x^43 + 70348*x^42 - 10457084*x^41 + 1247726614*x^40 - 125146702232*x^39 + 10880592946438*x^38 - 25542*x^37*y - 835721089902368*x^37 - 5748584*x^36*y + 57499748759205673*x^36 - 4353059033*x^35*y - 3577686491687325108*x^35 + 1855887748256*x^34*y + 202759333986134148348*x^34 - 371262429521926*x^33*y - 10519350351333796744692*x^33 + 50542142771330960*x^32*y + 5233788*x^31*y^2 + 501448251790966119860367*x^32 - 5311938976730036590*x^31*y + 68014177107*x^30*y^2 - 22015723016088217302507792*x^31 + 458394329774153425768*x^30*y - 99361557597144*x^29*y^2 + 891541257734738132262637902*x^30 - 33649436975712210552578*x^29*y + 38199037530643366*x^28*y^2 - 33317276857252507223886174096*x^29 + 2148368230354334734852752*x^28*y - 6203913484233735080*x^27*y^2 + 1148648678511416511804590093754*x^28 - 121025445222034575594580849*x^27*y + 766846351654564041834*x^26*y^2 - 2432725*x^25*y^3 - 36490956647686084743050875495980*x^27 + 6072262690465231291878816848*x^26*y - 66623246087929327510476*x^25*y^2 + 1658553828352*x^24*y^3 + 1066073159686625883689899059001984*x^26 - 272912589011029247059106958626*x^25*y + 5091663187292867929921228*x^24*y^2 - 8655991836339002*x^23*y^3 - 28555042384882861964307440334277784*x^25 + 11018963844192937328994121185112*x^24*y - 324101766154183743388248092*x^23*y^2 + 2499304563973866144*x^22*y^3 + 698367211993200487515798096852047863*x^24 - 399880934581584394277855493888686*x^23*y + 18486153010686125693864520266*x^22*y^2 + 538560884781545854478*x^21*y^3 - 15509201211238316158839389207949320072*x^23 + 13020788546435730193280782850753680*x^22*y - 893528821344051130577926821112*x^21*y^2 + 166747355229217390441712*x^20*y^3 + 261096*x^19*y^4 + 310479271500481089541175371013120922760*x^22 - 378993974186745247499929698482501968*x^21*y + 38626782022956495023419455972766*x^20*y^2 - 5711182450293377555144330*x^19*y^3 + 762946139296*x^18*y^4 - 5548493770631206684813056086597536401512*x^21 + 9798830864660790903176189159774912360*x^20*y - 1453161161808760589274838723705560*x^19*y^2 - 2390183398909835251919792832*x^18*y^3 + 29711525277498324*x^17*y^4 + 87347103230675964421726775470709216763727*x^20 - 223061393741385568117283596823442688212*x^19*y + 49435186938142066066749699296351041*x^18*y^2 - 86710480905806710279232177397*x^17*y^3 + 115765602030165872330*x^16*y^4 - 1188648835921036212064182870405788370090104*x^19 + 4413389587294753400956003064557556509640*x^18*y - 1456267282930759475257635237434828356*x^17*y^2 + 5407579955002044876588891385296*x^16*y^3 + 106318524058520851872176*x^15*y^4 + 13589876603526248749448438701017148940154496*x^18 - 74608851240215873128424269236059060141008*x^17*y + 37754459821263763438308538592542238880*x^16*y^2 + 228885184545837297823121876339004*x^15*y^3 + 34759390079065621440123366*x^14*y^4 - 10406*x^13*y^5 - 124428439300942079155453002748559332088398140*x^17 + 1050337049001210570767179089880096596994000*x^16*y - 823344837215845723074119056506675761716*x^15*y^2 - 890983246135183323655556459687328*x^14*y^3 + 4978939211350910533750451748*x^13*y^4 + 28979618832*x^12*y^5 + 827704451443211440088214651508290183232031466*x^16 - 11873714122553866148240565417872572969940366*x^15*y + 15212533031409967175311337399520371324329*x^14*y^2 - 116470721561123129981588939207537112*x^13*y^3 + 347616691271295059982222050099*x^12*y^4 - 838120232706597*x^11*y^5 - 2935959385551261222995620590307539674132801616*x^15 + 100728201793582218850791027377529509024094328*x^14*y - 223301247818184977970716771182386944212920*x^13*y^2 - 447395053796532987115101975718142112*x^12*y^3 + 12385068217612739233437792456820*x^11*y^4 + 1850204465200754944*x^10*y^5 - 7038014511098950115436895646607747052507379442*x^14 - 556492114137597764615063848241894819026823186*x^13*y + 2530151049082100067492508704818428514169214*x^12*y^2 + 3707527352098091152857732421647491484*x^11*y^3 + 225859294646715240671247190220090*x^10*y^4 - 664040303935928644764*x^9*y^5 + 126062189193610659085469725356939110265741517488*x^13 + 942573558519516726859991234186495526411801872*x^12*y - 19698245322165641882300493067183465103087512*x^11*y^2 + 100007308767490220473702446989016718224*x^10*y^3 + 2031374828058328748242379310433060*x^9*y^4 + 52230240567518246713200*x^8*y^5 + 172*x^7*y^6 - 157332017131902582544198493882719857281492324217*x^12 + 10397548139721487358263816365791285901733280111*x^11*y + 95251824117913624455754603175219637776664314*x^10*y^2 - 617926338966062404289406792870997041477*x^9*y^3 + 8293550004702256887053910178429931*x^8*y^4 - 995083811933897192954779*x^7*y^5 + 84881914*x^6*y^6 - 3615817841830537947430776238612550628617683923012*x^11 - 55269091493239099940575885614172139616208571952*x^10*y - 243706458318844262313495060354623280398957132*x^9*y^2 + 4540405908063916911669914936594504501952*x^8*y^3 + 13285799774070383761674931545335988*x^7*y^4 + 4420026696364212167102640*x^6*y^5 + 113477700384*x^5*y^6 + 4468804412935979738407754352504189566228748260412*x^10 + 59438748362361051353046539078733089444216673262*x^9*y + 275191559828142813282086527048000684187844172*x^8*y^2 - 12657830502882214157527737066125001958970*x^7*y^3 + 6577102650569479233889011076104774*x^6*y^4 - 3820967620301459086402044*x^5*y^5 + 4623797544350*x^4*y^6 + 103325414372139268094326172199082954638869388953052*x^9 + 262647348203293032604959111535783500672295407112*x^8*y - 94428824388496841344918552593066322241641116*x^7*y^2 + 7211714888785821561614689586726107980848*x^6*y^3 + 685395869472727633492642665687536*x^5*y^4 + 430274808070622247296896*x^4*y^5 + 6774994521504*x^3*y^6 + 358504859076535403283947513651436404760440972825857*x^8 - 392457831641450853863158855605733273075392659470*x^7*y + 41324687896054040194020821648041786805641146*x^6*y^2 - 550618087111152118720009116339411686962*x^5*y^3 + 7995554392796773932674666731130*x^4*y^4 - 2818573472105718716277*x^3*y^5 + 116017931146*x^2*y^6 - x*y^7 + 546223082709540738981656790966849513474895382943712*x^7 - 238352125048273406656313234312780830170655852720*x^6*y + 12521798317377089035808619004433527575726520*x^5*y^2 + 2673169357708174569832918117953862176*x^4*y^3 + 3171390066924046004641501284*x^3*y^4 + 84792459434923728*x^2*y^5 + 5212*x*y^6 + 338633451402180651008551045197385981234114057676422*x^6 - 26484941629985517038368161469570001025017683606*x^5*y + 60827411399982338527440513547868377033414*x^4*y^2 - 240742463533523086508737905244682*x^3*y^3 + 2305591835048563359904*x^2*y^4 - 10263926*x*y^5 + 3411422189101309134997629930236256024631547117128*x^5 + 131204515718700080350395469549018175968086944*x^4*y + 3258841478384037989146667933656682376*x^3*y^2 + 8644262973124405163266048*x^2*y^3 + 9466168776*x*y^4 + 11539522638523565663223045776283482312722871686*x^4 - 12250099994784372503927642446105598487833*x^3*y + 5850720244128544787212290843*x^2*y^2 - 4099110276805*x*y^3 + 13035154571585603644474058344128025392150676*x^3 + 576088879728747252983503407544*x^2*y + 725389233324588*x*y^2 + 2039440386955653797622434488972*x^2 - 35380537227992502*x*y + 106361533583664136*x + 1849

Definition

For prime $\ell$, let $s=12/\gcd(12,\ell-1)$ and $\mathfrak m_\ell(\tau)=\ell^s(\eta(\ell\tau)/\eta(\tau))^{2s}$, where $\eta$ is Dedekind's eta function [1]. Listed is the monic minimal polynomial of $\mathfrak m_\ell$ over $\mathbb Q(j)$, written as $\Phi^c_\ell(x,y)\in\mathbb Z[x,y]$ with $y=j(\tau)$.

Parameters

$\ell$

— prime level ($\ell$ is prime)

Formulas

(1)

If $v=s(\ell-1)/12$, then $\deg_x\Phi^c_\ell=\ell+1$ and $\deg_y\Phi^c_\ell=v$.

(2)

The Fricke involution gives $\mathfrak m_\ell(-1/(\ell\tau))=\ell^s/\mathfrak m_\ell(\tau)$.

Comments

(3)

The factor $\ell^s$ in $\mathfrak m_\ell$ makes the Fricke involution act as $x\mapsto \ell^s/x$ (Formula (2)). With this convention the polynomial is PARI/GP's canonical modular equation when ellmodulareqn returns type $0$; for the stored range this happens at $\ell=2,3,5,7,13,37$ [2].

(4)

The quotient $(\eta(\tau)/\eta(\ell\tau))^{2s}=\ell^s/\mathfrak m_\ell$ satisfies $x^{\ell+1}\Phi^c_\ell(\ell^s/x,j)=0$.

Programs

(P1)

PARI/GP

\\ For T309 this gives the rows with ell = 2, 3, 5, 7, 13, 37.
E = ellmodulareqn(13);
E[2] == 0        \\ true for a canonical equation
E[1]

Links

[1]

DLMF 23.15: Dedekind's eta function

[2]

PARI/GP manual: ellmodulareqn

Similar tables

Modular polynomials for the $j$-invariant — the resultant in $x$ of $\Phi^c_\ell(x,X)$ and $x^{\ell+1}\Phi^c_\ell(\ell^s/x,Y)$ is divisible by the classical modular polynomial $\Phi_\ell(X,Y)$, and equals it up to a constant when $v=s(\ell-1)/12=1$

Modular polynomials for Weber's $f$-function — stores another family of smaller modular equations used in place of the classical $j$-invariant equation

$q$-expansion of the $j$-invariant — the generator uses this modular function in the defining relation

$q$-expansion of the modular discriminant $\Delta$ — Dedekind's eta function satisfies $\eta^{24}=\Delta$, and the eta quotient in the definition is built from it

Data properties

Entries are of type: integral polynomial

How well the digits are known: exact

Table is complete: no (it holds every prime $\ell\leq43$)

How they were obtained:

The generator computes exact $q$-expansions of $\mathfrak m_\ell$ and $j$ and finds the one-dimensional rational kernel among the monomials $x^a y^b$ with $0\leq a\leq\ell+1$ and $0\leq b\leq v$, where $v=s(\ell-1)/12$. It truncates beyond the total pole order $v(2\ell+2)$ of such a relation on $X_0(\ell)$, so a relation whose $q$-expansion vanishes that far is identically zero.

Each resulting polynomial is required to have integer coefficients, leading coefficient $1$ in $x^{\ell+1}$, and the expected bidegree; the stored rows were factored over $\mathbb Z[x,y]$ and are irreducible. At $\ell=2,3,5,7,13,37$, where PARI/GP's ellmodulareqn returns type $0$, the rows equal PARI's canonical data. For $\ell=2,3,5,7,11$, the stored classical modular polynomial was found to divide the resultant obtained by eliminating the eta quotient; at $\ell=2,3,5,7$ this resultant equals it up to a constant.