NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Sharp constants in the fractional Sobolev inequality
edit · history · discussion · files · short url · functional analysis inequality
Numbers
$n$
$s$ 
$S_{n,s}$
1
1/4:
0.9204417878355909839349171307499909812294989202091513422533000589181535037415131343554935339711922087
1
1/3:
0.8309636620422484140021111583389030473561182630036305298876874057733114293046179715898701518743918746
2
1/4:
1.180102898677338017007018272320422487664468152558851607452963216190246053965523452602249868927179531
2
1/3:
1.238209539065100822909185370228872108477109418811926233539206347364416158954894865521225712107243145
2
1/2:
1.331335363800389712797534917950280853309366223818104258453707482866700761017235614968245891056706946
2
2/3:
1.349598322172841086665382537366933809108989708521641617240943075983201774939006708312289234621467965
2
3/4:
1.300725609300810163628011934657950149816310821351523071668935996736050616496742406511678301993357273
3
1/4:
1.291088856379394058869647253614911630142610260512249934162604131607364275323406653294815669611776175
3
1/3:
1.402596030221232226347445667540731869717642293772172621628441824008381434063480386213598399009560139
3
1/2:
1.643948810049598286647506106735731721031600869510228777480990682980845383023444093251195039732354940
3
2/3:
1.899882518931811505821041083265120102330240594717342677293654370602595081851443362113936686460326832
3
3/4:
2.026777553670240165366662921000072317343212125058376785056801680789265926017173804518885928199967044
3
1:
2.340492275042011727772899253758440583274789448491242047559846939452056180309921978309851052047740757
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#3,2,6
3
5/4:
2.307925266409092658951789207103254271837374476180443160219864026854156721597391724235403122737505307
3
4/3:
2.095338910489745539974965141014531792697227626567946828984732733327196847144591701520345104261782109
4
1/4:
1.362102527419335722049886602433502212529437135077632083678672553745216073095854509434213712585732069
4
1/3:
1.508214826345761245101147448738462651306795431041571731126065554854705909729460693530960169203458214
4
1/2:
1.843228552538314673938136155446412490027997403683016954679669972407940848332223162316761646087195279
4
2/3:
2.238709059603450017829754812121693720793191066930721962711642039995159209531134587695453204217797356
4
3/4:
2.459412361087093509180232329491580893231838365762201820142226297542499725555142412753480773488394719
4
1:
3.203185701968418933762975056140436021291055660908330565005316751453985671725718759197681298132760404
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#4,2,4
4
5/4:
4.007733261559305479031873673293662221177131549223363443292613652896460092339700946333728915980833150
4
4/3:
4.260622811789670588081980612216206090777935869059061417253436419944951460008184818607866339777156000
4
3/2:
4.667682584707234197683792627231292360435311089556844340968713774973196188587563924853167203916363758
4
5/3:
4.780667233725957378591434204228478624972366388361548313421566009468933788286029692315234611217691281
4
7/4:
4.618860248772833066156481637405500580380429269570214465805368022744301566598118028356275121453581177
5
1/4:
1.414648314039261742601245497090370440658527852726218970064377747122291051272359189793775771039429186
5
1/3:
1.587027220204500152010226739088007325564150337676169045544622656230724830068786635991606586268902825
5
1/2:
1.993700692149257989253124196721233894108550216785686500772193432485255687101640304610481739632296870
5
2/3:
2.495872042144590584069802617521315942591955656668231859673351881845442461713077635601315306360971766
5
3/4:
2.787736495707552009149224380029137691713386981121053044363828840428019417745607132114155774118575365
5
1:
3.848624653042426011965342529396383581157011573078297177394782640838743474887959183771398533241656108
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#5,2,10/3
5
5/4:
5.212664377579088844014673530993862797978702940540501430944699873505247236613841322354167936343446532
5
4/3:
5.734512841852536684448309141090095073260097563953284035646183001743317543547239251332041102976534890
5
3/2:
6.862944876275886181991335223801699541231378557596957405902384218227186015628485425274240471542343115
5
5/3:
8.057917046051455218878013865063297884366501661107236263423964988952845265558603028810182321445718717
5
7/4:
8.649957158452008167470992010485060071630720332998443254659934092098889240166375067795845090115971007
5
2:
10.11846200964271718309285833876485211094097039583608106611298244212513839962942381053515506609411756
5
9/4:
10.03079431579346717180331461847115343746947230500342993362698068392385219996021069425374778777763961
5
7/3:
9.109596082455100461802463091108976215479608683884766830814958457439483417737996576461836903828871916
6
1/4:
1.456554875338465774357472140464013334433555789961906882227513752025976130191725242878382976033993235
6
1/3:
1.650391508840108875770602041382603423568506458025819040181683571505849140718417810926167367635430148
6
1/2:
2.116377810607053556260100616600078365171539434148135550582527804265665278035814353462445775257277143
6
2/3:
2.707897170830946874956214641614918184763322607069380259319952210171535385187168871416910030770591704
6
3/4:
3.059688012864795209629184261306916230259787208660185877385529837913489180717374359596586540863300679
6
1:
4.388559748422391722697019732684445233819192509993589572445418290666881414630732070982914804321686039
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#6,2,3
6
5/4:
6.223489287308245803727650180598117648022323159736850022337348003358710682186736802317546457683745035
6
4/3:
6.969427718462755026580608313103689108518393806525439730392333824197044758371472102630988726458926742
6
3/2:
8.687988581531630140658605979341637690149180897777051996946225970783807456455767941611728490408040720
6
5/3:
10.72713243370320115615443389051824527264317934381568840680132319999348279921403449926172801704696140
6
7/4:
11.86845467796334494854298919343191165254437127649387031239379175464053057290823131709851211153266771
6
2:
15.72528051788457621032456641824513355505148417722967895235840298709784811029410017027440381421110061
6
9/4:
19.90698243831250690783575252980611706024045037756486340253863118040534865628835450270795797528801190
6
7/3:
21.22310524968288021804699726053110706451302575250537191474024064291009732857975945581163009738417958
6
5/2:
23.34838741170308946029203018492789063452923405720373914568838133753526346910291891933804343035848734
6
8/3:
23.97026281271999616437680666333597417430729578829809380244861748777676528622726936967105068776325790
6
11/4:
23.17167214845846570067949076244359360535991651009623935130449920882886027144725770304183477621867635
7
1/4:
1.491531599907900684939608018344542406053182024212189339461432384829941356131240032596700102397771411
7
1/3:
1.703657697372863848568428862243502609140332105339709516887402727567448115899292206520323926972128276
7
1/2:
2.220871129679940630472519186636568365657848503604926191021219910220463265069207685633241228819914844
7
2/3:
2.890634177564032519843818197207896999013784458285868123694328891598630397904657754416526629114083838
7
3/4:
3.295346076602411725130018722026232699713899983910615696812850877703206602866603439096867780722089334
7
1:
4.863282399879984367776010668238993731438234398418144866083018689206688469038853131773869829762813271
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#7,2,14/5
7
5/4:
7.123030665934418045787372966633874180922799355563926615484390932233063104863417979535011191997077454
7
4/3:
8.072204316980300614691557509231093330896938619608100897507618961403034511067972665164531460267547057
7
3/2:
10.32746696133368195865441872638651810499053854568638757781188954459866505123446307056719639677153929
7
5/3:
13.13510933354245526342711846939835007119024917464802179492291594662901158479190384630789211646188895
7
7/4:
14.77542502514905340727381976732217817537599534515804249547333646113176578682257177362409112725191362
7
2:
20.77336430813890953455962099115864630306346203822030883816549556709406503163494844246530914979702095
7
9/4:
28.53593372480755348161161143705017971711028523730563622583815177523769508699272814727446245228455391
7
7/3:
31.51478703970068163730363952265036271420678917195243363421055258882365026436422336472511512335732680
7
5/2:
37.96682484733348296309652281029892427729695056866435526848424619897965025413242138766956571446063116
7
8/3:
44.80987713315208206451203676921521147256770902880230691808824008012972807069597667066707613785168544
7
11/4:
48.20318424927698225912363167874228767017777932470054071112982733272176680358005580339447861764085981
7
3:
56.63679206398688720471894045388143339952042954413407379112761995286574295626499832291647465269148380
7
13/4:
56.24986398642916809598325403411788063269229975823082738654998513791858103412420451389795190639598589
7
10/3:
51.08843638204738639457597035310171421954070413793546321620329440115144396465489030442524250136961479
8
1/4:
1.521626602929459989322370855187610629069289609899849082712343014567687411306693255703685836387740827
8
1/3:
1.749778989312906289504777534315430684931920174907479828770475432226261670105107825682944444404440857
8
1/2:
2.312432331102087844001914041159134488035989947333213177808627405262519764310499078907962722837161829
8
2/3:
3.052543852809630881389362395351611859282805287565740838859126428132287885849357052408484926665898413
8
3/4:
3.505251978251957473005036031862225762824130894512159029391854305430649556420192010941528519939329824
8
1:
5.292497289563743441392770635118828471000931365522308705801498833980635559165765854477487779689977438
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#8,2,8/3
8
5/4:
7.947653520870793907892950115268284341257324079574007340379691320249926083943530258193447293329176573
8
4/3:
9.087588087260668851059067987616533622111706137461756829064201064239723396001923222806741707614939421
8
3/2:
11.84991718655514722191892763367870827876452406558308538573482473290664391854733930891783815165522657
8
5/3:
15.38947186913455469287634418167954695393422680386654384023755916271787689702781791469067993333008616
8
7/4:
17.50762872569958708589489295179186983864823285913945817234178449133881907754538271847084209744486689
8
2:
25.56999632042302346445913375156513216608786660114528464067723833587927494591818900362107378406394605
8
9/4:
36.80506787790036682069744755960337411680875370775410804240459973855174166829845919673304975728445257
8
7/3:
41.39447640331016931176236688755194659830004388612415247510643658586492432268027849344370964474563422
8
5/2:
52.00107369029921321023773522109837467969709638863371625910225252372740602694542981999938574261014139
8
8/3:
64.62892601450827410405999056616693102418757135142992435740977048348944851226937215095399655971734031
8
11/4:
71.71108249183768433469496544870596729053835136943243515364206044121611656593497364124748849911017293
8
3:
95.69214991327560002502439397498939331714843351330239053016697169536639672441203439034664977136621625
8
13/4:
121.7442012412483062730180380194232825122160118258452202122928472920786121390965768769228067639238833
8
10/3:
129.9519971951515191969700914426354225811296665757786076834247510113606116926106246703692214606974156
8
7/2:
143.2267088476905276920978322982671092839414034326104965460509437789002620739706204530793634207754395
8
11/3:
147.1942019813350069222039463099328515832515285522216291721932232221287823376334661934676244931559201
8
15/4:
142.3240161448998605247601167280933214362953511203435855945967460644557312498628620465220746713931648
9
1/4:
1.548090634341610603392302978970171577749788664685415478298374498831035210929807769695325092231864455
9
1/3:
1.790562227605540360451032228689906534317382635935864222413143080218315516566550760239347295853460232
9
1/2:
2.394267491388334525766523918787479849355626361093049393690633897723931420962443742158814208774896420
9
2/3:
3.198737484395542768821377823619823745741856250315400051433308795665975848827624339511546842312378151
9
3/4:
3.695720015463976283783575849935110823196488510803194303209734883625598627663744446729401847297910835
9
1:
5.687555209897043257876492632804756745259192064603364487920374892855209655213678664900232640509659370
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#9,2,18/7
9
5/4:
8.717063606117865561050094380870345617490832791942922223395196515699968025912969280183991569845458082
9
4/3:
10.03920480409148454564905541528666126479729572916581309690378120205168858939817021104630745184432895
9
3/2:
13.28934709998833744317254552199298734429201319319890418695172311822097718884910308091104997257011804
9
5/3:
17.53953208739561636678233565985358383327209111355494766701768281113205708534363136743714880006261567
9
7/4:
20.12474596741883413849685619030422375767321399625882394471797348999043310220774199918759582721083674
9
2:
30.22472241030501199688871470224476836236571925641008567657822358207325463591270109971420494443775229
9
9/4:
44.93458579215697374266576082559813796624002320291650741738114463475966825134296013017936375209180918
9
7/3:
51.14923096684613960585588113686607575535756346100032362032975764768099501252561747490217699226051127
9
5/2:
65.97503270299799897504606402297435374913030388553433513188726085350314093473014927393319934037006965
9
8/3:
84.51801796796328618267500512051854624780092603193869027064297970719230128332228283814143560207048612
9
11/4:
95.38383647903958506305418357628211444433129013375325985364070759068757369788787220059732414442812742
9
3:
135.2539555734899468866381460303542935668024734546186466432201361869298301617511036064267787311821580
9
13/4:
187.0565766567446975397945547930436307843277080667250145367495998858776363982934347469137289620382805
9
10/3:
206.9732183418257689017197789143410160615928862551081325385662077174377554035089311732378346652404151
9
7/2:
250.1577606487093848410035808180692715561860196736580032676318333621856739715550448082905103792578630
9
11/3:
296.0074419371019054859676734326563433909460866939942992184587791496273481779402211945694088751835230
9
15/4:
318.7570271514086023636994383061179620818661349697148960449009107872406981776917998158829516671477478
9
4:
375.3625626057873017568432022373536672363947405652862535887278241758286913681274280113224549367068848
9
17/4:
373.1463380867446327474027608268681067489206217042980900005342023740939135048721449085516270558848738
9
13/3:
338.9199844196327331682992619201537164597557040891742214138955366831223417711965802023138055915753392
10
1/4:
1.571744164499588327765657347299119927879791146205107740996221238325520713274264104263622874969622940
10
1/3:
1.827195883614556132191235133212809529336202593052889561378329806075473081297255515064762307905322161
10
1/2:
2.468488642277435803781032579132522461706927710723500398323249013647656993525303467256670207787674151
10
2/3:
3.332568492482476106902327634602660504494619246090912596287042098795414834769381964334439824841541764
10
3/4:
3.870875169516714738806635060886749829774861373689236720529767120787028686200175358905168421088567675
10
1:
6.055705559309456803044261722192691922105327670033154452944328464961419628099104127913404365148424859
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#10,2,5/2
10
5/4:
9.443367585906670140579480911932634363469089279306386786438323128095349296161529537762459725428067770
10
4/3:
10.94132554890110520307852009254589308332897309508054091176221574868136664721552138375864453111969288
10
3/2:
14.66547902674081895207740767903409681333580937490023317474388343488924518420297331515763148744200810
10
5/3:
19.61245873635631270303996101802264208298736116770029558804697197517893183782886623446561874078227748
10
7/4:
22.65867560603453686238792227074589990146751497178856322759009036344770404937544345259698703318520896
10
2:
34.78970580252479022180903580627744890363079266783157152916858868257606707499817834489909048332252668
10
9/4:
53.01307591828490146389366600689402109051506743466683714409636790835951206192989478000598429634009168
10
7/3:
60.88639101339540403426822254038501992342166962266398565773233397071730888268449053377968364093317405
10
5/2:
80.05209253262143628423095400175661659994590037945664182712761897193404181009036417809669882407815792
10
8/3:
104.7428915350118877822278704516525165394031393102995681513984398596584429642246360314619291373462514
10
11/4:
119.5714291912494766678602160346097875822009772504508372688042159700472732185993718355100761981390394
10
3:
176.2643674940248657274980868276135277184610543531721401203492050290551565720574106662833525754245042
10
13/4:
255.6941453494790641220034320200896814598800663265535239413564879666681708029617344949701759449147340
10
10/3:
288.2339100048753933273641684750822884600888596638258776377453736826431822677223369758111751445297301
10
7/2:
363.5789263381130138858476039130397800782990823233656161409979294371213272613406109644835408967124831
10
11/3:
453.4683395814776366691253747561702509594833868935015133513156162020168435640715533090836754949470924
10
15/4:
503.9448726714662429476787521986275397464398294585172001991026917220155110395191504828442724897726550
10
4:
675.0862668301531744687558944919917517392910302589906165078008062496479689888086409358232870508269934
10
17/4:
861.2478344803176532771000354538021361288238604577785055876834887854174358469584722731779376549216177
10
13/3:
919.9380313666523778479920189310811653159762870773693331139946848357699125679876685219694429469588843
10
9/2:
1014.945963611074073563655473423727265661992163651826679248523829727568360592894360382435977601580513
10
14/3:
1043.667459667824445544870383209022717464885482928415187626267492508430142570900118621016336827810161
10
19/4:
1009.268722641159604011262273086605162385043864922816982720410070989068647004394260693774323725523204
11
1/4:
1.593154969118720583581886129283543178459695816784701536041814649937829625787514826703869916022330861
11
1/3:
1.860504876053741221038486324034777383221114938184799171932887671809504680644984468077173127963671822
11
1/2:
2.536566627017701436707774696299098062018135767264403315344314942752009092783624223006070267420098485
11
2/3:
3.456370796743389029485555450655163789149289452335589817428734674863197055077706748976104814284852934
11
3/4:
4.033582816522445824346839416878229141744114340627492346325313432224095747482204541323752324496792532
11
1:
6.401918570238577815602487328096964934882589916243260850505867121823889286567894614542489026304645926
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#11,2,22/9
11
5/4:
10.13465464566631856803339666651087371242168035573235881019715868030097642604887025480958538954052946
11
4/3:
11.80337303579945580071475218627632692578601065404202076857748913568111915599698087928371054149070085
11
3/2:
15.99095640403213758271979207289686143716666160350092930483365871390494561905461453564428697530420353
11
5/3:
21.62501417920677959637287436320449301729010970422589183904153434233603194868436276613887901737323544
11
7/4:
25.12865043465580502205137621499479709065941413921259588426434901816765865036842538457429581879773791
11
2:
39.29374210685500124679601202118968974741638276057513781642199843266365069755172602760917479444620453
11
9/4:
61.08366195989595269330472074654459527252042164152804211658690013630836813023914309867559510969132835
11
7/3:
70.65552951332398444703796545489063451686031632967872535218309670087565655729602481788210662017838907
11
5/2:
94.29890088788865784249903591540686365711310764333573382005513268461974266113750476875273080631670542
11
8/3:
125.3967795794510596642099261190354999537709425341527711855876067537308152155757452909516453970873543
11
11/4:
144.3866563389196386725729635871623022910336116838857525224515242852332241777423247583092509563093881
11
3:
218.9508172912352716797734147337997227038077544540500581234842287759959643623977148426065113803778640
11
13/4:
328.2386513453837980709720792853614724648777203333137033344173135602606664314504718285676445393274038
11
10/3:
374.5743670884760938901122681126057209577385926588938591721654075458020571648995011228332242218758430
11
7/2:
485.3881464093874260832832627925094864251144392529582000463378782453649213783063519674075588546022413
11
11/3:
624.3844225405122147981053996180928123442625984538383086449113388132026565794464494582523557240512490
11
15/4:
705.9852085692443445507077757778015438894071412821872249861870121253813908275764904707231249473495882
11
4:
1006.060752859212057278204924517031636733289629772254829517975978720614099144682098311126037033883842
11
17/4:
1396.919232682886438086075522568036055301751242380001910713874874414967069095821012290339508200806387
11
13/3:
1547.377590317918130745271601822070200935280910231202158300515069757824226526978970011986952377991420
11
9/2:
1873.841983759011491866811970445906158302077650400242595681015714460348868065449909617463067768377477
11
14/3:
2220.699016460997776029864230145267503682924019855764719281307919431509394496333565688258221743413311
11
19/4:
2392.872971925359048059291523117848255940899926478802732265964413440623383736902659918196294533511396
11
5:
2821.587717567582824890128059330300632712098403429147926224929500271446807947754946919921924586635918
11
21/4:
2806.507150557458714472784856926573944347263329781651551437092210429086967339685951834399353963223422
11
16/3:
2549.139499731278548433726436549086508394741378098916059931538394836188198299251976665266230046988605
12
1/4:
1.612732594452734469802869754498952733468185964243289503039320343813066534993624793075068828794725409
12
1/3:
1.891086067172359395455317792385503533639077250808754377591902640230324678089821973568625872259459450
12
1/2:
2.599570147737554526913587490809859419124278296522812532463070791603632254871233317972125636025812457
12
2/3:
3.571842455462927598892462270124547405428540927899073477464327663094740151528149164927208430402710925
12
3/4:
4.185926547516298657936199780082807112942465514969159129677221255033580783552324910331473077150032616
12
1:
6.729782369237196317854446561142644484569303597888665268317514551681396533103657677278042486106952494
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#12,2,12/5
12
5/4:
10.79666359159663736469512577356688535730934013341835919786975620796695817310681234372442232628801206
12
4/3:
12.63197481697776925094963416529775344745111875204268055634470144703428360375850743529523734406820627
12
3/2:
17.27447546372928865458416799831930992066395669075189718240008638814503102961116737086126942473603879
12
5/3:
23.58837953923641414135386660325272401466232015429426123977552663173866439382223824576333691229863120
12
7/4:
27.54725615382993841911512152286417986964911107493718478003489930288287115547378593994243502357529476
12
2:
43.75426858520324420532345020880134017633286132285528237062173988798463672817727803992647934612183288
12
9/4:
69.16949412042092588318194384713033199332172300816429337289331986375770475854008267856359447184566861
12
7/3:
80.48187249476129180366460439559169901858905851655162750632983404368350550395315598673195785091823312
12
5/2:
108.7451547236688392507271705908419599702594609483229282160001910455424807279766987527809744727742731
12
8/3:
146.5146874478410234994286443342309034832565455326127825516613760167453985937759213484432235733681305
12
11/4:
169.8678820082361736671950306378847937844199565893810237437321734915933058767668988654192955064343034
12
3:
263.3700837957618954995129220768792918100070050161687262474443751319447853054446053698489797829449029
12
13/4:
404.8072791586133627157179183964304970154914151670561358338100402793558600814617254475653600250476319
12
10/3:
466.1569976271843406975239351704803202315167098153761672109004010635298670713352635537576432867847502
12
7/2:
615.9277559106814011548732828292704444043739691962076369961790691411829498622995172059533623304818025
12
11/3:
809.5356800612325746579716892947287443166386275377766543628089640196922413599076957552407721904028526
12
15/4:
926.0766841092064226393637785729015723257658053283921926804162399465959859563238714128951128430441029
12
4:
1372.913220695000339987016428280599953710627269490925688615524246371025955327838144485750713840000427
12
17/4:
2001.145177741383102046681507286802210733006207195102413589038122043587804646901705805342294333656190
12
13/3:
2258.995489295511131568873462783887612441524293042586005299067322318005261413078671839220863978698960
12
9/2:
2856.785285405949248140717764069408895500073796742874105948520346779320400487504168774868401272589668
12
14/3:
3570.952945231434862755914613369514560018273088104117519797205029259480912644918638908701668108835102
12
19/4:
3972.323935055425152514225640945192337065940914943207401027124835793078918953706150367457656889934003
12
5:
5334.374226639683556616837886416458301030680783292984493243133293554209068064062430149713004708029905
12
21/4:
6817.286624360255799225337589884479037744238001643643092735516567455338750430715067940468105105966753
12
16/3:
7285.013257359461446410379921914534897248654646477975634515186388864526400699720635982212717935015399
12
11/2:
8042.621761341392923899852763480514033196540673851123735275588725590207217141870017083867007954507328
12
17/3:
8273.290131142961646633962227449627377597263204129893493462258065796698461916224412917280759071964861
12
23/4:
8001.276641409464090688730646034662440239545908544378210419880220027431516577235216880792967741829712
13
1/4:
1.630782396954286055641972126805960675985348979632419637830534555158594277745132261160891426770577276
13
1/3:
1.919385826901799729876244009136027816049812871128843368705252920641610535864642609519200954070333395
13
1/2:
2.658302139956940099686893464098688615548831131082198739320512612417038979001701953326679762000402563
13
2/3:
3.680262374519411617731366133326333665547909461093961842182636326774907672937631248608007836262369639
13
3/4:
4.329476109253153851566792270715673467231559173851385709394188606775426539383257648863875283996169144
13
1:
7.041990817984743614108191449586196172906921252353768788776468170393631113025141050399715689187977180
13
5/4:
11.43365238834709810817756376710728185405051398241303896001033674377852608088600028514694397050341893
13
4/3:
13.43201721855813402663988684071343104044643931760113464643830704613083103072438407534678754272104747
13
3/2:
18.52233754826305577413850557372600099681409907096525456490738373299155684753573688803183842573531290
13
5/3:
25.51045410219945479462337265377376937278539229634212352507043492454064466391855858549819810877302916
13
7/4:
29.92323800925887031815350181682898251358530278175157863685180785998749044396431161467697167189569391
13
2:
48.18254929920283223030445647434767242452286054645325276912822171053822398794246320037194147082986365
13
9/4:
77.28366905681089494882938332956142257498095471869600048260595896605745514162621298997132171343055498
13
7/3:
90.37875493613737942613969555586136987607463895043528256212540623331616235646993557609271396550280486
13
5/2:
123.4037095781648932168772065220787972817843435349478664368107139060554700306457084181859863273501553
13
8/3:
168.1072053558098161682913580116596028989554850037241643151876926053821627879812215457063092740737666
13
11/4:
196.0237199220432330075790734038122929494047345126346443123853839766686328007217734965541599533455530
13
3:
309.5214069695441940086846445621229017489922732591951513890316982323574883625109535004002200236029434
13
13/4:
485.3900511263076580198596421807406413324790591135924578375433858779821653459904220445680118003162785
13
10/3:
562.9726159353310022434364889688962011504576687424633557806125821575916343360252592793479230353827841
13
7/2:
755.2096461334863460864924611460565473012753275262916796551286940244082132042536427495936366502094595
13
11/3:
1009.016608615932816577010734407843809150658088235039058828034631141237042584525268834011564889012281
13
15/4:
1164.402880633037008600022148599130062548642044095211993956714201101271953601033933815691467165327385
13
4:
1776.560203194064022789830256019454666511008578469251827729151333754162162870319021257330287931577660
13
17/4:
2677.576383216294063076281779320497769005680515835237451759225851217686424487566407716239480815888561
13
13/3:
3060.491188354560528604948294889705572993242920295460874690154963497642166574361227364995767646230618
13
9/2:
3977.772653190939993921552240597906871684665707998975317407765312146876239155574653704770159135033608
13
14/3:
5130.571637231651604727409294274243652149371639941659611571078864104447417244245576249408257325004500
13
19/4:
5808.201298970792087314740010542128247382714190001226401068867081670262824677578853586455513970780929
13
5:
8303.814515956178057478645673347718874989299641081232740157753324455916903064616967718355444916845805
13
21/4:
11560.01875858138645406737467425000267637835043200727765811110385847363105438014046985816527920096134
13
16/3:
12814.53975565459595040264783368106680385397706059024495498228649291020423442311468843323568396461821
13
11/2:
15537.95043239078056632232151975486082218037577832251211882052660895613292667664807556833220872138267
13
17/3:
18432.92858468177745699039078136975272093158781561998353286648662366159093837209182948543782646999640
13
23/4:
19870.37136661887211214015115553011387043269641933185551644325122567065108041226448917022339634371472
13
6:
23451.41183203979610330134010553140310390410398616987947760008710207737150103772013261485942472330525
13
25/4:
23334.84432246277098267146834347088387446988083670309924980565317283550466531380147803741917227497810
13
19/3:
21195.24144264531036534215695550729070225238377642925883552303035415330643193375110100300849682182352
14
1/4:
1.647538288761916480066289360711304034766877187140143663163548684941924117943951318332811885850766153
14
1/3:
1.945747092670689006596580860974016422032837243652259784569983990123129770892087310674626906823602618
14
1/2:
2.713382426369067143740454628425909540247006895926699045759564438551825989304489733834023317653190503
14
2/3:
3.782620854041491049248578134155544588517786271012717198686590401554885864732795084623491990001682355
14
3/4:
4.465448015199911307810566011097129476680460329582832699044667458113443468988678802338765710393047324
14
1:
7.340629494321748137214706730164975771721600795508054971051474023970221423543246163866293127075895825
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#14,2,7/3
14
5/4:
12.04889171035176477058939159679692631316253269495757362159074555588079550740896526439914549146090635
14
4/3:
14.20723603403723101790564955384443918856069496206659919104429690905754248592738526092909629857325035
14
3/2:
19.73929527090438055248884037350005671269682598165112514282076530111441986470982816628756484154259931
14
5/3:
27.39707043918685269783140372242688107507609908477374935063183236552278658788698674989851553886074511
14
7/4:
32.26295927807203098419952029179570315943519363163608708191245123100969804735343061754090377863504680
14
2:
52.58622062663945915637117465615617340526583002728405508268797759418310210472195941125875572091595094
14
9/4:
85.43376374185346763974071138740627396399389613198295282244845874527275683701348460180089256427318467
14
7/3:
100.3531530450377252052581649129426427677900225952095545218542071961982389645059799505771491441564999
14
5/2:
138.2789338466930171580227517002595277304634281546249336345725632683481874516678709976944550260677607
14
8/3:
190.1734480959086978668381071507230619889359054434046232137562425404206874958584373112104289105941268
14
11/4:
222.8493392157747283070217424590384261590554981637646462754652315913792044805019793315955580064106563
14
3:
357.3813365700502113542685359061772457296032383206816267091926400282727233665362588360457990366093267
14
13/4:
569.9341742370074941388800493308893138527704059506289940186826712918450647124459227192320259937426797
14
10/3:
664.9573411972381636914257679844963148703494422918549988482484555469267514297569532391298185399665390
14
7/2:
903.1512895796398797229722465030001391407882693347070770307599867134885076147600935029569186050020061
14
11/3:
1222.746094333881200614899759126661587582084991967018982641427730024844182383253967309119487860627135
14
15/4:
1420.901583230086524371875920266020177421544388924595558352897290283977808795137660753631313518917159
14
4:
2217.181035523287159295195176245299927920559821500776096482685059689891353501337293784226323845718677
14
17/4:
3427.375102587491331063771755138803147848813164836902635587425238581858671766800492199170038167228741
14
13/3:
3953.730198854077098581091011655406687998792021845696387662666561114275715920677060030073113946735392
14
9/2:
5241.237255689005655542372911311398352764753295046039288748121447454793393397558019334552181318724957
14
14/3:
6909.517130337474639948338608994238407962137752465591370866578179591336198400191092381541409175553848
14
19/4:
7915.314009668582961134117778161393644711681067145116080366150586830946728063031387376732316489676918
14
5:
11779.34535192533561495367338271051023479823417992791406875519437729774635857350607154397118258479382
14
21/4:
17225.25192368067604169925075227398910448973846840076367677227992518218104245601443355762713968724804
14
16/3:
19463.40837703968395298798775402183152557131325921879211017832692274119063060537758650815100644501332
14
11/2:
24656.81792944566169255958596907079468577282260683839629677287894760687489737635862714600220403406531
14
17/3:
30867.33392267260560637940437797424123477323621817258010014437086585718548897620949765549645604437075
14
23/4:
34359.80951178255856700199789942920287880904057130359935969251032267364321686021579549151399114700382
14
6:
46218.98852620362110056837013891025699838787497901065178331884675292022881381747455483553310168591066
14
25/4:
59138.85577520709763893518059338927867678683044791612967635178937768751818266034438684047545221986671
14
19/3:
63215.29359716723054596439407303753551946992400290021641466298512321943847516571411580844567680135128
14
13/2:
69820.94075044384938948814833016766095118281779791855941161410751917937109676547996716465675586094484
14
20/3:
71841.98491584896736246143703599480697477539433301199019797639231723304331212387672007229836628131634
14
27/4:
69483.95067925031923966556652952375385823114774466915474179357220750538486111653686589527698214481857
15
1/4:
1.663183529409545358899259549840652814722307033175137507367337533007830645948425112619234276102609449
15
1/3:
1.970439297766038430004569823849338601044404830458409154132676149945804764689768662339938628814592836
15
1/2:
2.765300303868076468836641125889809536021007535057088743476953122783661607121641598548815753961845502
15
2/3:
3.879702352333735019592991439928847647284542451543880654596051395417660118210948090503835887004599860
15
3/4:
4.594807030564746494134242284581313558223667373509135903772824298358399305798101528972202102068390250
15
1:
7.627353463397190867021749222270917863605472880402291854312231983154310287493887693892029485859846039
15
5/4:
12.64496402605110340558374206300597162230586418675860755549181994494777472929859805009578847833008255
15
4/3:
14.96057079725854934564392186153594726268652135411042164143941280726068063245856107576885444195131365
15
3/2:
20.92904842144764668585530601140641465041327522028775949399375302401892359411175782150915939261057765
15
5/3:
29.25268823820500583440702935708784199121163262217919521054284979345050791768503029685679189789342744
15
7/4:
34.57122242136345757565782711261912157077315152200930063775511627734984338146456986595447970034069893
15
2:
56.97065899112265246504981914745897301464950783945106093024379139186254638893417699663677386787250144
15
9/4:
93.62413949078496926952797701219702514607870231755940972928295595388444320702928511712282581335718805
15
7/3:
110.4084359585779971571400101629780189412233183004115059903742289050988186875343912290952685240101521
15
5/2:
153.3706656148258242973407968956568530501790332125914688762015575954672582362159800920765863007925049
15
8/3:
212.7068316711998574117330708046376329831268908556308759905014979574874021386670341149338061717208722
15
11/4:
250.3334992644803825235043292147724710899332667962730004017048546075236767258441093250958102300892104
15
3:
406.9170293373897316991762030013931047995780833771382097186428657936172415624348393247356475187815909
15
13/4:
658.3717305382526730281212181635596088229166250605924834190974524400552997172231065174508460594429283
15
10/3:
772.0289395893388224189923205352879070068645328106355903837868574603516012479184665246303145506966879
15
7/2:
1059.641260913958442702519263575326477843822030970656213921289519981098329105311485171180900066720575
15
11/3:
1450.593030582510933349851133255925923510890613620447696740305541098433952054172548305387844847524210
15
15/4:
1695.442632439908895464413367523011360656356713312827128491123957092946280306091904628524717723114010
15
4:
2694.766251526486141858209949208929909883092813495942682533232762596092212579549132059313319362975465
15
17/4:
4251.122796241865593055157775968741131681544298569803712072837003005069344033149744991016540683765287
15
13/3:
4939.720443647061894198617955828060571305494369803974361715184382814055010598291801415355106548845187
15
9/2:
6649.705217978794582951386829197366764474165764960957687938219763054406088791013530846681965467270758
15
14/3:
8913.386956149997473486718556176789393454995453622820294100116629007976605183715414675227712662839352
15
19/4:
10301.77998182322526798289636013285012617312772810678090219650822867960097878664452412527799865941186
15
5:
15784.34580690840707885935377531607462014178379578754712921022783822036336380790945046881939424677784
15
21/4:
23878.13510120011217064552493063438955928420291523352498929175737839559585363870470041144143240376241
15
16/3:
27323.63871034613145338380667918569291830339827478144055277066822553274104340070081321815585184941673
15
11/2:
35587.26210609976572233411543274323333366638317595004107019439560011051328493132912521117228623187842
15
17/3:
45987.08121263687931573266504760535917546639569591697474585198688773728820644283011358651984198926054
15
23/4:
52105.78002701153048587991189825252464284018771348761004573227225313041339995561787271501462472544322
15
6:
74664.43545741844583556244213727401849904270055669578464438699235173582974858676690783205567944501686
15
25/4:
104135.0828018925762854156631395822439917760902337081165373439833528033010885091463134017068184987284
15
19/3:
115496.3419076986886117383445208161743382265537082038266435996323363739331460701453742032196986282418
15
13/2:
140169.2713931163494145746150814803598537638315684441366903131429846597953542637617431390074210159475
15
20/3:
166406.2776853928487372663081742569938437711339624222236574679020386520711056179687880527463884985328
15
27/4:
179436.6015260727190179988454137045583664299251428801689345597946433062102876782251790391408958040816
15
7:
211910.3822371301394750643778148676430857780655689514939921691137184825085249098175097468850762073144
15
29/4:
210913.7934224310577218842831818372432398366536577786591742575480957056406160146652947344763725001373
15
22/3:
191576.6557065883019287142898968233537077767870336214131760892616201518522546430188266281243089830887
16
1/4:
1.677864448857516097913586045427510888275891600145421353112871082327380944617830004195964830233557305
16
1/3:
1.993678159917559363326148219397206560308219177638463544533981462302169099443039552099294187487776559
16
1/2:
2.814449361633180061038651433622132102821080747623953284701665979028933187373538142398275193945623401
16
2/3:
3.972140184662174056710171654455911352472400041547813846357210136581281935431593830508520460623677753
16
3/4:
4.718333096810274023041401048215496880243283273776615131638531757630725831153173764098777317343732279
16
1:
7.903503106814610314755015904644349933632947977769378318155125958695860515841245446076853489100388708
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#16,2,16/7
16
5/4:
13.22395454347515124360726920468251354970953950848223950298671357885632632865235658757659663958811717
16
4/3:
15.69438903016512171256821015443944347609336773102320215050777226332185225637396639058003516772807218
16
3/2:
22.09455175177325556345959239760935085373784263231455803968526822934597472138713758037286468329840254
16
5/3:
31.08081524735272579833052903620690722014221992052962658052838440206855258234305225115835151598205740
16
7/4:
36.85176111286723857448693625618137687368009786401873145656219607888439394763707953780275247352728570
16
2:
61.33976715907486011624621341938547466156176979561631744556388902067216803791199375613969994727293025
16
9/4:
101.8572041706335569893424914610999624127543221986796898116152366768435925992685384627429406071587553
16
7/3:
120.5458462493962539466807663303203006796085889877562593863009388518243988358161595496007819093123613
16
5/2:
168.6762578195589816294904768929531031588233362208192193460212938511336904606053958359742136219238159
16
8/3:
235.6979212127938342060369320254140349831709148053592180781969686977612173217067696698200444460870733
16
11/4:
278.4619253553973002871507712307344449513001730576728303208821743579715879117371811007568599238915884
16
3:
458.0920344682365216860369370534783205340541160861189409667344434937121586453118257967086887992540723
16
13/4:
750.6303214674191242159753540544892521667088848160193608588106834178298625019345141982780235023431114
16
10/3:
884.1001718717537892356628639155122492941854391886841476230132829384632196349972753361913554971698768
16
7/2:
1224.561154507227332220413249064378613979268001081475720801765601559259086484186425145277899421744349
16
11/3:
1692.414656161518003081276069359996399298158855822839171902867793762662048946044040450211271243799462
16
15/4:
1987.879859555716946550237208743956915657609316362167171406078647230685967745736245955906822170277353
16
4:
3209.258448690988685546775620025967991547154390248685268270228949256354283683353668901507623296457972
16
17/4:
5149.245682789032961895109768350389430345268193291805164364005517796110231608321086245218134329725398
16
13/3:
6019.239671524850330982860062582946312161987707199749486551244153254597092076830508539721768198221397
16
9/2:
8205.197439666244630766059408529828603199487907940482303583533031955912269495185373997064914210096712
16
14/3:
11146.67041082594834231626598541003266405802851379847258734498054133654296038458148346472713095201048
16
19/4:
12974.07374864749426207057977479295487962141356140404115753211680919502987143591198672348487921291909
16
5:
20336.75040060478280600904639164681761011146504670558826927830308893426986729435992636896917556708253
16
21/4:
31564.84199114441068088909112727303103512293798407575236941716549810193987318261688138752768279133872
16
16/3:
36457.91699898683547447281527649454879578650098749659052052865480509700297518421484953456642734325871
16
11/2:
48443.96275052307879414669547785155152786620166264145824615806784991210249492302201616323441715015701
16
17/3:
64001.52737003559916603795715385538598617098261866235294161872560152634424287305239099925260893321039
16
23/4:
73391.93337719596992133855656089504695933228884959515066746531688081155788107204928962655347323292338
16
6:
109520.1039308548458123677965103421046317339708640002693470572412295950914096794185890054542887780428
16
25/4:
160529.9971483572435631153308067912583741586565802686379395984402285727579808109207902734897053403344
16
19/3:
181514.4524131020849297930433359284041723842815216997340009354974193136149361780787619321974758810445
16
13/2:
230238.4167459533343268644158839312362700484622635107880939157474340646797779459074825221365268618441
16
20/3:
288547.0393132599681273257865336014272571086535883302614062856795824916177602800411075720449142760317
16
27/4:
321351.4759784367054098718787960768811883536301997182899405292538018601438464103046809805125053854717
16
7:
432796.2408380851447241578467577984487406948410468062611869811039129491249315463894363419822911239766
16
29/4:
554268.0904186268644531046773047049252512823147504243689406249688668862713326402470578627601962526704
16
22/3:
592604.2960903388424791912489661909007861792515437103713048092009984550059964982281641243747329280716
16
15/2:
654745.3281687351651822974550902679441462043592402199116541348054216250372573513686463866604651276362
16
23/3:
673825.3117162344062941849389010271428587995485900048720825154113116319300224189474593398097222312062
16
31/4:
651736.3263912510229470352753298638435576531203522859055755617517523029434320130692114317086169676514
17
1/4:
1.691699805432316220550474653050778500637141473151479566282406155060594225151425603143055157304353523
17
1/3:
2.015639200642481618291507510777915252866464815458038091413869829800093529491248477332753792994713737
17
1/2:
2.861151315618923998613750163860340243442538184825146423256215698656627141598504279246954199045231046
17
2/3:
4.060453943944561829391941852906067151560487554486687838610236607098592773529143012863833877012423052
17
3/4:
4.836667053279199406909007069621974030266361388767454411779881467595510080757983095786403710924224935
17
1:
8.170182560191920760227366395293805948277515086349927334793996110190740308936592120954941977232363602
17
5/4:
13.78757841409432997542805577187775307630382019241297193983198830496623533648964547597583190449762296
17
4/3:
16.41063455975564540356927386873391447201364102002651221964857798504899858772440170697170955962481695
17
3/2:
23.23821511429253037835367145645129061763904760459039650194086623288225990181915590699059690673344246
17
5/3:
32.88427548551596405295368897565913929137081232660480100024972114947614539266281703912304468233863142
17
7/4:
39.10755020248554103426559184611701192180468824926843340247969923509878874072806567363898515257876402
17
2:
65.69645084167628889035302123637608720104235815978861899328499198985815019220134408386602649970765281
17
9/4:
110.1341433766496327552118040515149895940677565318467954570321562013731955246307861390280680178904085
17
7/3:
130.7653432800337870457935444199571141814911877992540936594828809808365321969113617612382944813000891
17
5/2:
184.1917012042000718688604563489183817725395257599102045407298429876687754328586984579704758448357024
17
8/3:
259.1359299644189467601537175067943041972183282733248595849244532292167604352105303065166092946319401
17
11/4:
307.2190435719661078026286832086788126320571728144024338016601441796426133824384150851961304808955389
17
3:
510.8690217578437111445037071707963194441126578780330194710658007327678316265471296576531771656315249
17
13/4:
846.6375537738834026877891236970931400924095029362829017359433893048844837388415695962458560279864266
17
10/3:
1001.084182355480841972991408610422103040963548862174530348422601771838771077278655675771429227773387
17
7/2:
1397.793672161105336347710319025073061346967101312574846375974760820114456553563243551049637475219118
17
11/3:
1948.069512101788378078652030165821423103817309514831042452364729762550168759366536194977401636401451
17
15/4:
2298.067945689741320771460784285187436448437456058232180175018245135613890889690588999167023472036398
17
4:
3760.593680664943588778624175757723407486707891720031837070040346932362012513241497904165614730888828
17
17/4:
6122.130641791236221142655508401990312635353709083273486470814242462648176535856557042382908737697267
17
13/3:
7193.002213196198680585074994969889526185558468797559548440012922763280839542718712148080827592982265
17
9/2:
9909.582440597574167557688038157248342360056436634054596203236812866290643768603173800947593087941421
17
14/3:
13613.51309706573845773018445663133760030565904428455817623044024514008030468576964518172569427268148
17
19/4:
15938.16100022710963491264515635047769233758607491584541418629788427332622758578206732023713893977700
17
5:
25452.89036610453437603665785234259960046855574145955111336104339162165573865980804499562322704259087
17
21/4:
40326.54656490971863724459357629256433076953235277189375849300848243663479519196627940021110951258714
17
16/3:
46921.59567597678975222455937814390705723969855274908628818167878605741414648467231501620267535179687
17
11/2:
63325.60167054936455178670602694485114736262814192500591652539902885129204255577681119166182076223985
17
17/3:
85084.14434857428550842921908564362881100205929045077213815322765884961197647653325137737290086657101
17
23/4:
98447.37982204348398535631286865660678176607476888743931461960675890050448900754105291965597227208087
17
6:
151309.3137975127343340648414672138836782402047791319198957557829653075805502560025799997915382817627
17
25/4:
229522.5215360664238868444919337683206602440975126967762882219151721063789907193866719717897025372030
17
19/3:
262859.6414027626291472915490527260522951512451240117397852490219705585673813093784906740894040519476
17
13/2:
342886.2001178705706114078493089361310416406029943964543316114625323130516338468074038157999285103416
17
20/3:
443705.5459141928627165348194280964893144055948297167861182897616747624517891186508742115756088200030
17
27/4:
503062.8937434226626240009822576503814784978892061094675435271547899355162312868926827355431332318588
17
7:
722082.7308082241625235833040844224888512796167528816008975797104597623000198116416504994503875958322
17
29/4:
1008481.624478606241504249356047329463075135833471302478546791527596003194458900331534319921005243307
17
22/3:
1118943.995993776072786233943721835236131826702760771031166645363980297540125046596964023597400772171
17
15/2:
1358899.386388547244394353478397865691973986733892550179436402521219289230143650922429559377749075824
17
23/3:
1614139.150163326080259478152302922992103550128792097721515028085477801939230349946396752244536072514
17
31/4:
1740922.765505347997799564861324658477695249973710742736127834241277639688952549926419933980670681392
17
8:
2056977.191610086801453502641636033275259118227433955878603111845823969537591822378103656404260784664
17
33/4:
2047717.015219754869010950635412488429152514826689913184298165333418575918154578784254096796649575925
17
25/3:
1859989.826670822604309135060515375612530891598193007146185091918568540339359498615513091318155638311
18
1/4:
1.704787347478464193627837817785271176156187855253769867176531315131744295353853722285906178578255547
18
1/3:
2.036467242851989160874702542028314695644016055443159310625777470083556857891766043073302358133000425
18
1/2:
2.905672792565617197749742363858333457676210575365108044433276313989769085734360842350895788817732589
18
2/3:
4.145075858237674778498382690712817076424742385886188865560304533322959293454791418689600107782784786
18
3/4:
4.950342816436687187811742491536926022957493703421967401827522928163453584338743072537346681226948128
18
1:
8.428314566699591629574342827143563464742537213322246836545238499739854247531112895627488088283006499
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#18,2,9/4
18
5/4:
14.33726852006901171464424234757497309731596205132180012618235376284967147077037669792694883187379848
18
4/3:
17.11092925522180312009455299476756856288818674435605406162738840459888305884357368156304607382490378
18
3/2:
24.36203872722407440230029607552037089943223333518731492434815785010211193402763675803577566463318203
18
5/3:
34.66538720720627425899299573561250712214877379425164129596190189717404852985765058914724936659620663
18
7/4:
41.34100922314776245380092881153115260727676415789396280551620526945255090406954286854889973552071824
18
2:
70.04292021032609705863666275247914308026278332860282377470758088752782602488163311489475058582979810
18
9/4:
118.4553625455035357819742606270854872146589228540934097705126003071885065555925545064402138458657132
18
7/3:
141.0661045588043184621760636279799628601002122589010479072797760773218914253516110646958082109836443
18
5/2:
199.9122674798522664430733308615446730600842241175673404997381481805905265281486174157446604490197542
18
8/3:
283.0095419926588773268540903450821559986805816343108565967966651554725858620860184129504318634773717
18
11/4:
336.5889105092974933470488054770454713555054640200863599049187960949179860546544307365023844759737974
18
3:
565.2111232214557507685308293382676778624153725251240561079819295456349063893789476087711720657374059
18
13/4:
946.3230050098489498272486749062199390314555760498713266966162692124822948831891403434797573710065716
18
10/3:
1122.896753702730434204212016223653160318364075284679947412836474791336960553261320815074076641028897
18
7/2:
1579.225682062493258844396340198005407470060930017132499143222690084392984422940720233173783770746251
18
11/3:
2217.421863588128572193467697269930524718073855395458438958403432549893841100030933662010520943993097
18
15/4:
2625.867913115566735259818063735897826630301496613207860170436679777128665387138994954647996928338344
18
4:
4348.713667012976202174755874828348396754071321003399148828567898740625489961280409516145035774766420
18
17/4:
7170.158153066379962796621180262099965128906773315278550135645364539352529076439203137767743200375912
18
13/3:
8461.706149480412189780197808766425896478631387299369851857142844956693365322529670580160883100310901
18
9/2:
11764.67541251200379738070272763689826944502794826352573757000069611303886621289402787878435530384483
18
14/3:
16317.92877173126884559910775268960610822459236544859377931425515970120688132835855051784957012573367
18
19/4:
19199.80959342091858818540552523403429562303285457637673516033190488075244244230566853117782728050972
18
5:
31148.48821614951312425149153722931151934663561120808716419900022597934038040087436639827580067198556
18
21/4:
50202.66776057391600023362527352654147522208168697689539665556631807177194711036470604290270820245565
18
16/3:
58767.53992192533600031657478262223653940347385286447551422917297414837276742704833451712592558840390
18
11/2:
80325.85259500801969526979158098301303494402815060973281275179059878837981265932382263137497209814732
18
17/3:
109398.2046424436958031676856885329967848361302788061343935608634438676684748158490932527959906657359
18
23/4:
127486.5707937073138910671463276810282421895151337549908577354822636892442278004063982789858703024998
18
6:
200510.0320287904900705405080794076407394545977870419479039702730879498589204087869282334298252731257
18
25/4:
312158.4267141347332538453619574121225493793129798220781846065645419003511788665594169529417140034176
18
19/3:
360885.9426556312803624271295572462599606753908496107296186190818669950670190050786817040485051362627
18
13/2:
480378.8049542505714435754165768999533656095269898946192477552005568425765191152059749308374922009845
18
20/3:
635680.3492424907756663083827301303780923113230401336636436206672842818403413520899758980046132286048
18
27/4:
729501.5124169565723923933991142761597667893856872167103916982177450319837758548716385436294928964803
18
7:
1090865.537398021505790280072138425806761896802410527043413853792170000903018586153320586887753603317
18
29/4:
1601782.326171591209325115184680598022873091159087886489734271833469304385416727229922386492074009347
18
22/3:
1812120.681442052769899122911206693733827683918898266008858850385249577296333758914770203826057774376
18
15/2:
2300751.977937029638790725352165149607242654147816638359918800095826618211797919968410049461367808572
18
23/3:
2885831.331561427112695421835099296730707799545889646488390926067346779434870608771013981461065010382
18
31/4:
3215110.991903264125032183605465187978523265298573888688110827503429954322452839502504875850029267794
18
8:
4334167.598531693375767963261087894366368856422741709005669242338321621351435393896101763054254026011
18
33/4:
5554376.308104394963978084896971870888948554948124254631187156089569093128165083456482378917072747530
18
25/3:
5939547.886228305885665437102997276800735947755303440963020436211456044822386804577957339956247315133
18
17/2:
6564040.717372245485970526611088588588592760591064791007987875256776160884118324972520110808417551933
18
26/3:
6756303.958010348639333861613123798264144854751635088562107598850328574781512610309321539679151200917
18
35/4:
6535034.253137289182725997210886963151271263536412151310876848712215549467207262635573641922353354980
19
1/4:
1.717208526433152663919292794711284857559211621935671977146128013245153101322171666382783808468143975
19
1/3:
2.056283245732219507228854569540890577094281196971691633450832631730911647801897241249967455649869229
19
1/2:
2.948237440234940612587883191396904667094151646530023619588242178765890978580276633403611256490416723
19
2/3:
4.226369824585554545766352372571645250605686251698768137155948196352931886317727538749579563762849514
19
3/4:
5.059810610032574704134280108224225833016704186492611415446498742429443278861546566974776190607342911
19
1:
8.678679897144288202761559799779741884104076635853354402421389296598259960620266700191369506056367423
19
5/4:
14.87423788976995505898544246455030470394741072457419677125918594554718106500674293244092017710230483
19
4/3:
17.79664498938703829411025350701904385919091175143188876054962320503701453081726516190370256928954833
19
3/2:
25.46770761779740518497697781364820766116356913991891227722448684639451682621089943671817974636782214
19
5/3:
36.42608508788050581420418804697939061604422741621575741259838630841638221186367064936238104800210044
19
7/4:
43.55414073051380045409418164956529549165668264118502322699486851762593507880963095784650271034410184
19
2:
74.38088753362216726332263386532224965325308541744803426866143934090876419294540203101695678156489595
19
9/4:
126.8207634255305771428195242547461695468149704042864062857368359772029233911361943911897884111083284
19
7/3:
151.4468335704144949085603646988887480050947319490335461274649819997110807230441641129299124578191765
19
5/2:
215.8328883301143314683944675366342556078187822797770572735311913627811140412589304425744375474922110
19
8/3:
307.3073741943750150688895193891069911078852041028746006525818110704295320506954150838658757300459631
19
11/4:
366.5557212555508696531536329322430089250251765325195782146157365753164123932882094738406216475427949
19
3:
621.0825957120168663415129165688472745897072247610032607073942914292478356286695151797780868694126975
19
13/4:
1049.619063493240639862949449409403307278129742643918443038113740516593981030509405374088449992717141
19
10/3:
1249.457212406262048395583591980691499804255385899347294644772859008459222983959148256852763226512810
19
7/2:
1768.749277821639827916487718460189343973547484257324801506431071557855223310846409735658348459047933
19
11/3:
2500.342991733662737765875437882044477540113416037604245596124569585017414527322826219900581025174534
19
15/4:
2971.148603771566264464119207238776137205539799180420924013334282869424763528920059327744368725180710
19
4:
4973.568632831233232605474311160395761205898539312991155499726002715985438308345033618463260536962008
19
17/4:
8293.710249375103629965214528519885267002946730491468532367966256215335800913220651663750118423050576
19
13/3:
9826.045077872579509686876378215722445219398822764117619695079948691359368752450526709360827783072031
19
9/2:
13772.26461849917505932989056339736546057017686247221077418144020529913022913485948958887817283943259
19
14/3:
19263.85884358668285448331972776301117088815696692675528634381685159921938430137640237984914083594303
19
19/4:
22764.67856623562877597220401373237319557951474548610499158070818823773286714467822199390855012344803
19
5:
37438.95009202609637608868534224534064531793084534501354903368097983043609113768892530959349924225082
19
21/4:
61231.80721497977290906178571576405512057240077917588561810735000556760019184600138483864066740414103
19
16/3:
72047.50685942514479854757334357044622812084461066299873477454499048910924581243821973364471698612898
19
11/2:
99536.36505868489434584020682563094723710375775469656218678764812496529465864676641120811608855829476
19
17/3:
137103.2729606796547141914173423620136408242150820434491771654288634456728724834119238237094354272704
19
23/4:
160718.9155220082081020667432889412109748427760092971996664947900699744438244524204187765819889379133
19
6:
257587.0878673971000657190877026986906606958430787011101829760346626162210159878634538993514789524290
19
25/4:
409446.5092744452934903774852414024262360797264823513284185836958508938584268075702359407884297079254
19
19/3:
476894.0623045758185934364613709138934346293018777188614302517096745834628825724671346001614785660020
19
13/2:
644867.4235132818930880557768578199867295278543584088543888679153087191721923617932421779064942087480
19
20/3:
868008.8110712474600589408881997783311132217687276866342334593406133511786311016294410475671984246311
19
27/4:
1005195.803328431922571772053210786306953714776308946454176185478297125978448531341751122249618763992
19
7:
1548611.027085340641917733621807689040203476434409912870873344572889619973690560137093994237340640718
19
29/4:
2354025.243665297891408317278000570860144674161073294897985574789458677968295726931954130888570549555
19
22/3:
2697655.874848945465556571405390438113367164383757503220712189221690881606811872169010009721029960336
19
15/2:
3523123.216468192463338661813486759714936514627275814515891214443150582593353400743583397019374101694
19
23/3:
4563914.478404393575134677689585188165459615562940411371622604732770167232916990556305700017228464810
19
31/4:
5177007.313164137748420969784311757856410366993553564776007817447344715355204346681537531879022406928
19
8:
7440675.313020226258989486251074224312591086278405508253220885738439045379320949200876437137054393492
19
33/4:
10402936.14334434817719407309226050972183024099660533957999571442577240516540443455704081748919536115
19
25/3:
11545889.83972956287872925232808144675521899259848212079348950859294750579596973776704548602425524340
19
17/2:
14029257.86074238062330218250779954700602755297828662123867385773075953097013017610077438325226649083
19
26/3:
16671407.47982316462165269719436800981383744323369071520324152312489129154814316031453437909948846483
19
35/4:
17984002.92812611451975970065635151166862423751725695117780762623074141022703724981779578635476318766
19
9:
21256843.98207714458646751551953606652799259035932007033911679515196148344480250559080528515143866332
19
37/4:
21164475.99659426082563248147220521270624035578041022202979841319227509900532651147407092664656051729
19
28/3:
19224296.35262835060910434231530900522030526234082861262902087402933009685207432606188627498120396738
20
1/4:
1.729031954019784054342570612280888867593281836762696479670575873571136826179142721734559545669014351
20
1/3:
2.075189327787375591898310823689384510155414021106545198927753942830016695193852869309831009556068153
20
1/2:
2.989034852139921288443082856047996636412068304144654672166741848682108985934536313037750068826752379
20
2/3:
4.304645454086983846904148335120776583976544074034860277814761027527708059049208847890408224646207524
20
3/4:
5.165454106511229873939503193994770573336684033465633094874389366990120733968339985526988851780288305
20
1:
8.921946348497698952263860292218091759951938231369049775460848759337613394692144645597652653983227575
equals: Best_Sobolev_constant_in_W1pRn#20,2,20/9
20
5/4:
15.39952521655572401465882046183763709676932050254613153556419716139309872810049814775741908256058555
20
4/3:
18.46895588957365492407587377516906565969191611130866391104084654063284418523041102595107953137416416
20
3/2:
26.55665941940837636884187917445616606121537387727483259191833959409855446499953511186681345155368282
20
5/3:
38.16800659523101723131927698903957390615400438938450932641269270643421418642688657153166552580715416
20
7/4:
45.74862717831004713382857131228462364892697136260571069041437366056395860554337619004100400010372746
20
2:
78.71170066656739161437828915137364038176445005445672122779500447419587421671379407580846343828167517
20
9/4:
135.2299216344892787318494946173985173213698400712854373842169007077734218875678927424091157604949937
20
7/3:
161.9059534300656555641945430300816224418036070143664607499923409120177179077108170448934721380195064
20
5/2:
231.9483825517115021617975016689416504006697695066245020308707495530977474951742380134837531023993971
20
8/3:
332.0182369210869640698519554361367381714689622487267075107051705778144969095082106441644059918623268
20
11/4:
397.1040857669358544206655946610446142824173483249433633808586179597377785539283439722657099482744710
20
3:
678.4491326837541369126971894020115376126652211571167040626073064446357328207669234520574248819630810
20
13/4:
1156.461235211438102689935221606802328839310756726525620073001584991660729639124649872382974827333320
20
10/3:
1380.688718225413433643912764764965658125822773669702681055167987259207077474605544913122147867432267
20
7/2:
1966.261998628726571537045456952098197572823606463375146812264228436015125482935322194938536589772292
20
11/3:
2796.711290655507231150189462423309657329971243048541849923435631218240904442560383310708818446848202
20
15/4:
3333.786696141212129965137204955515024165906583236336802118830800263942641411006597359299627336414354
20
4:
5635.117103345198528573439891847767434976898186465634115337810748879259548288347455245468046282243374
20
17/4:
9493.170779857639887413857897976727265291441169302781463322590278501995318198074239758843925193193327
20
13/3:
11286.70906354280677250510012456024503403836584496451386468488080629121577334673704887052760040958212
20
9/2:
15934.11573980539683310685748494500422281963802449818617176829214139420583110220718711809084189763238
20
14/3:
22455.18582063083617017621842378000542326079171602176147692863499513013427829795442142684425571794220
20
19/4:
26638.34029271148004645558527109368211911819240187756837531365380457858894823840586767725699214914287
20
5:
44339.45168026434580435395572676337706961798560776280691239929930237274341361716002685507148388234833
20
21/4:
73452.04360649890155123189253718817550593528765649735861337750634526607635557646629155073942448479396
20
16/3:
86812.58212453722112233711834243378954101126659863952460984161950572804280010783295820196553896393680
20
11/2:
121047.7100556793957537865091367108217242970043549549356827263919923267725649785887182785362034815578
20
17/3:
168357.2276385075515958181421527301858428114672163420911150384059792426161251971855964541305393741781
20
23/4:
198351.7289126588643554161155738485255542152262822480111456225878221417559666207554292940784095707842
20
6:
323001.3190940244917076696392134138056703249699883662561314937560244636520603992310359967799241256224
20
25/4:
522387.5184535144141422696963677972118676490395831751130348489273847302029649101173085655458730258325
20
19/3:
612174.2110709852358328572980916617651458684658747206767488401752622600219758205443450585212168634279
20
13/2:
838484.0426066137297351330156635534132160615386608485547278666910160266438282122176110150960521207678
20
20/3:
1144189.063650729506165430072996235560971012415730700291823192619163804496727703292631225805903073436
20
27/4:
1334615.924358615228535068759004970832904315239696030173094682974528443260237631769418401354445051797
20
7:
2104569.475887390881307981178383473195673301542499901094891649751878138836399436035267084579489519988
20
29/4:
3284158.991353445439050342007934538018185707505549846670394315328184986034182923241262291921371036225
20
22/3:
3799576.225814971553588263375194196186637776053026515115492933741740783540052624656101623658900506288
20
15/2:
5064599.769575545261515651941262742948943180594932277666484111733184328660429666000455259189039830140
20
23/3:
6710407.782113365940798876938737690684359464961099828009043181073250072683502359273695018349313053999
20
31/4:
7705366.843398733607432638896188047075107045554116904751388257833297115097437395818210695815274920519
20
8:
11540937.21362066249731051497366447185557914301759812500764563868407705861512552443741150608271830482
20
33/4:
16969775.64008646973672240524308687118500735026051320886972929428113785829688011431983194680588008576
20
25/3:
19206088.84224123444875286509240627213198136618373387903519524064778479478004411987988942279093468350
20
17/2:
24403276.31246491765276890604325418402252968648081700088283762369195807998500671905219995273414939466
20
26/3:
30629079.19597597306416608421648031687145865046268917375359999423148419948808696140556905499050193515
20
35/4:
34133895.73690905431894503969313481878446409134482985407402196373448806472154306569378426692094232811
20
9:
46048520.73702833667714171522546979788469504292311397542599491663201317162773844617989661829934752813
20
37/4:
59044101.64008168744428110985774639939422615158780634615569046349553201990208861425673254219279919497
20
28/3:
63146949.26687604114056142128044699919961932842881229823608871599130820406763840002984266598655746354
20
19/2:
69800310.78579685997618605994300370337822185485667933830650982753179409615725405588032467415917034683
20
29/3:
71853024.26850817035534280125868226012552033280708452776381663881814741393642389966494701832155449208
20
39/4:
69501607.67001194866085740495204523818315991552352769450092570856935461735115361045483322122165751305
Definition
Let $n$ be a positive integer and let $0<s<n/2$. The number $S_{n,s}$ is the sharp constant in the fractional Sobolev inequality [3]: it is the largest constant such that $S_{n,s}\|u\|_{L^{2n/(n-2s)}(\mathbb{R}^n)} \leq \|(-\Delta)^{s/2}u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}$ for $u\in \dot H^s(\mathbb{R}^n)$.
Parameters
$n$
—   dimension ($n\geq 1$)
$s$
—   fractional order ($0<s<n/2$)
Formulas
(1)
For $0<s<n/2$, $S_{n,s}^{-2}=\frac{\Gamma((n-2s)/2)}{2^{2s}\pi^s\Gamma((n+2s)/2)}\left(\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n/2)}\right)^{2s/n}$. [1], [2]
Comments
(2)
The table stores $S_{n,s}$ in the lower-bound direction of the inequality in the definition. Some sources state the reciprocal square $S_{n,s}^{-2}$ in the upper-bound direction; (1) gives the conversion.
(3)
Here $\widehat u(\xi)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n} u(x)e^{-i x\cdot\xi}\,dx$, so $(-\Delta)^{s/2}$ is the Fourier multiplier $|\xi|^s$ and $\|(-\Delta)^{1/2}u\|_{L^2}=\|\nabla u\|_{L^2}$. Thus $\dot H^s(\mathbb{R}^n)$ consists of distributions with $|\xi|^s\widehat u(\xi)\in L^2$.
(4)
For $s=1$, $S_{n,1}$ is the $p=2$ case of the best Sobolev constants for $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$.
Programs
(P1)
Sage
import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.rational_field import QQ
from sage.rings.real_arb import RealBallField

RBF = RealBallField(numberdb.bits(100, losing=96))
n = QQ(3)
s = QQ(1) / QQ(2)

def power(x, q):
    return (RBF(q) * x.log()).exp()

reciprocal_square = (RBF((n - 2*s)/2).gamma()
                     / (power(RBF(2), 2*s) * power(RBF.pi(), s) * RBF((n + 2*s)/2).gamma())
                     * power(RBF(n).gamma() / RBF(n/2).gamma(), 2*s/n))
print(reciprocal_square.rsqrt())  # S_{3,1/2}
References
[1]
Jankowiak, G., Nguyen, V. H., "Fractional Sobolev and Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities", arXiv preprint (2014). (arXiv)
[2]
Lieb, E. H., "Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities", Ann. of Math. (2) 118 (1983), no. 2, 349-374. (doi) (zbMATH) (MR)
Links
Similar tables
Best Sobolev constant for $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ —   the $s=1$ rows are the same constants as its $p=2$, $q=2n/(n-2)$ rows, in the same lower-bound direction
Data properties
Entries are of type: real number
How well the digits are known: proven
How they were obtained:

Each value is computed as a Sage real ball with arb at numberdb.bits(digits, losing=96) bits from (1), using exact rational values of $s$.

more

The special value $S_{2,1/2}=\pi^{1/4}$ was checked directly, and the $s=1$ specialization was checked against the $p=2$ formula for the classical Sobolev constant.

Table is complete: no (it holds every dimension $n\leq 20$ and every rational fractional order $s$ in the admissible range whose reduced denominator is at most $4$, a small grid chosen to include the common half- and integer-order cases while keeping the table to reference size)


API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.