Page average entropies of quantum subsystems

edit · history · discussion · files · long url · probability theory special values physics

Numbers

$N$

$K$

unit

$\overline S_{N,K}^{(u)}$

nats:

1/3

bits:

0.4808983469629878024533082270006307124755486513843286447118164689770364063937283599618422076311687815

nats:

9/20

bits:

0.6492127684000335333119661064508514618419906793688436703609522331189991486315332859484869803020778550

nats:

107/210

bits:

0.7350874732148527837500568612723926604983386528303309283452051740077556497732704930845302316647865660

nats:

275/504

bits:

0.7871847941358431290158319191974609876831897567302998648556519581469345937992577320803964708248298507

nats:

15797/27720

bits:

0.8221592193695149691942543357065977667723205677400692208346931558907190597188016128048940859252784893

nats:

30233/51480

bits:

0.8472610561615390577838500948082790402257145907518885731685517078428171138986940271985067286313010356

nats:

21635/36036

bits:

0.8661534912207992928802300608690181039301111449134157699250873548383435441498762127684362439310969520

nats:

166245/272272

bits:

0.8808868964586359289848044550785962507584061403602395641870915358731792183653703414437377821550910936

nats:

144045379/232792560

bits:

0.8926984348050952785187453588996643735209634756573985133554519403743695862417075292322742574302426075

nats:

13237037/21162960

bits:

0.9023788560751294485681301348977290177331336108476025315282222718927385009158669962185191330384024986

nats:

3378951221/5354228880

bits:

0.9104571879905156073049940082761981107292643688254025186429464615889930650548920773641232017436691679

nats:

1309365187/2059318800

bits:

0.9173007413896042798783680099681301631760317919412564262792300036475124292997259040251186485445742621

nats:

51392118293/80313433200

bits:

0.9231725160777970491390921641439620400072350721779393157140507175544359507453147728891216059027081910

nats:

214084856611/332727080400

bits:

0.9282657744323311564064547882230327593758184692246206289462202023243897846061350486227076194318067766

nats:

3334258450073/5157269746200

bits:

0.9327257187791653174775943403282805442092610575237494833124991453834510093428510777675150270025797129

nats:

787843581751/1213475234400

bits:

0.9366635561790962002182714965988405216342780835795369337788893537691252713604467812498228926733563289

nats:

94103945740529/144403552893600

bits:

0.9401658970813476520008446097366602411088899224971819043006000619465490659168156712663517154740315077

nats:

183866178378767/281206918792800

bits:

0.9433011992486027882188308535115576675178699101484547913867961152649152349959592298009535790847136181

nats:

3503912518228613/5342931457063200

bits:

0.9461242867105312591239211244797799935627668556727757490176954427143755701751936675416202641092690624

nats:

144048411841278913/219060189739591200

bits:

0.9486795828050210026735423615744697560593703807367517113284463838822849099652648722417659413449399069

nats:

6209254709330116459/9419588158802421600

bits:

0.9510034648803480352435372065252429639722694379467031635529673936991476651758657945490415303881590856

nats:

270570136019489093/409547311252279200

bits:

0.9531260069914494965587132046286054315438018331800859052654635533448302369300410119480825994205232693

nats:

293083573532643950033/442720643463713815200

bits:

0.9550722884604255110228512467129049314208420971484544878932287680088214804804319107222112392525180550

nats:

82217298717582454145/123961780169839868256

bits:

0.9568633894465631696748457110277542192785316405949369364169003293473584017899595724710487127809402653

nats:

2058984917145031877753/3099044504245996706400

bits:

0.9585171575175671096289837845685708678825199526992450349236015986524378030065171903605102515945135154

nats:

4048169520165441221567/6083309582408808349600

bits:

0.9600488044055721102899179625210402206597159026855118452337222848743853064779373056821110230185927903

nats:

109462535286595978659149/164249358725037825439200

bits:

0.9614713752732115402971752235100031253647301519428536543558856669254717778099822452750717395058134194

nats:

3779770905377759487781/5663770990518545704800

bits:

0.9627961211732586612204488558439107482115159192285571782993814019482565877187023292327058005522435901

nats:

6475494883220773683960331/9690712164777231700912800

bits:

0.9640327972262318618813457326404056489332531571397734530140114384552694224283063063126778085671922415

nats:

12757396882712863514861641/19068820711335843024376800

bits:

0.9651899032435145665355829364652881818479880838260763061781778926772924344056153830116870005527669734

nats:

197961932082206325110847923/295566721025705566877840400

bits:

0.9662748793527340570653115024536248582826247383294875699215273249949729600920835681556101276533173254

nats:

792683100471584433310150157/1182266884102822267511361600

bits:

0.9672942661459029778878196077425029434904509668955776022322145233667118703066856584291306410742138152

nats:

53162453421618564441205700519/79211881234889091923261227200

bits:

0.9682538366362912526951731639461118322933792705339053391719379978438789155744518974744691401715702857

nats:

53212135700069383930111411799/79211881234889091923261227200

bits:

0.9691587056486622381473596956848963584787095867760059210207746272977450966095003816008131253265942241

nats:

3781393563042584292269602971889/5624043567677125526551547131200

bits:

0.9700134210205280447714383454511952661836460079203174373913221213572951613156998317375662318659789305

nats:

7466806567454896712611074058381/11096085957849463876709809204800

bits:

0.9708220400477242324560522322329901067929856784590205692911368195418949541130729711803010338009381647

nats:

55297974270298837075223404124333/82111036088086032687652588115520

bits:

0.9715881938864134875609565070754377688100164245323497984263818187527829779753218698476655619268939385

nats:

5030849868198744191121146446903/7464639644371457517059326192320

bits:

0.9723151420685043387792399400385939880110086966669152039963626128788195622691238410527185596380983185

nats:

79543891217414250013753408764317/117941306381069028769537353838656

bits:

0.9730058188569857477457624615914916806116916901048819856428571886254029397758723798365001733248129962

nats:

29121075303383578029137087244583/43149258432098425159586836770240

bits:

0.9736628728314947983791957305104966073981589596037246207604060796907396765099920854773694473438212552

nats:

99162715781766461327436707509500589/146836926444430940818074005529126720

bits:

0.9742887008301452589759822867019671397891896471564266142949372207233700500710602849299036444151686475

nats:

2307522219518793691664168029222327/3414812242893742809722651291375040

bits:

0.9748854771645628811267695658189212154241749381347909853900945462222960186426061467797683499102747491

nats:

1092095833958217270417588179931181871/1615206190888740348998814060820393920

bits:

0.9754551788586759198225387761920902938726496531296874890334981342970118341710670409876403289052449680

nats:

19450155461799105921837960626516911667/28750670197819578212178890282603011776

bits:

0.9759996075286289107803723648385925400827215629920820728754003439529017374912097535504163334474218956

nats:

97302671070567216483915825443441303167/143753350989097891060894451413015058880

bits:

0.9765204084140164433582800724263619761147065495869878595904887898820375628716011140931365957522302962

nats:

2071326819474372895973371665510507041/3058581935938253001295626625808831040

bits:

0.9770190869839476249444831836700811106454136402627541876739161905056224160577842199541575744372943980

nats:

97399983172631406804408992290053573691/143753350989097891060894451413015058880

bits:

0.9774970234709909078948497134029624765550687907981445478891253026178476342108350978035037502035571777

nats:

192902643680441563160202346112291979973/284572960121275416998097179327805320640

bits:

0.9779554856285074318754654409231805720559955380791429150617216456380563857817317066044877808165024194

nats:

47282418811858662146833270950309775087049/69720375229712477164533808935312303556800

bits:

0.9783956399596794924491394645323091641737839190340277675009136607117026528698348098653062882174264329

nats:

4777588569930996756056012249343881824544317/7041757898200960193617914702466542659236800

bits:

0.9788185616276550961659155247668874707409581056756062976427394282528531042231571918242709834611789459

nats:

492296077966151140208199344424535183804671451/725301063514698899942645214354053893901390400

bits:

0.9792252432240631933058894378438000983038959570809196713812933300684225788452667235612681043370257147

nats:

714793657624717720499159475921239275881779/1052686594360956313414579411254069512193600

bits:

0.9796166025464413245778424203839156851889190813721665073610764276509925286472769627926283014477353016

nats:

4055154368085123757859495727817872480951040709/5969785676620983253374079841221828203649905600

bits:

0.9799934895128497477855489257833166379603100166580336510313770342216361826423738325275069959422443388

nats:

40197785770212480081634666038369740962867397491/59155148977426106783434063881198115836167246400

bits:

0.9803566923233166508149247447111319600163452053809307206685192179138021400802488103918095641928415055

nats:

442333618934535683950202208896395961518645680041/650706638751687174617774702693179274197839710400

bits:

0.9807069429621191077086034441042615875096364526436974745954328785572304835492789916297600108691611528

nats:

50000924726248684406126985558418549932518527463533/73529850178940650731808541404329257984355887275200

bits:

0.9810449221217302966542028231812257342859038678163800863001217175653860459315089308008357283698667367

nats:

50017557376016928957438002509313555893187284154413/73529850178940650731808541404329257984355887275200

bits:

0.9813712636181306513532558059597474279754240854761216807406268561776485341422708706647725896486190488

nats:

11024358492768108000268736393864880306586382368091/16201492412308956940906966750106446674519093806400

bits:

0.9816865583577435740159261926721405043540721283584976249059244325015518646699233997862689495009151065

nats:

650639102449326144728424175535053074468713114248009/955888052326228459513511038256280353796626534577600

bits:

0.9819913579082328626814891070162727941518952577558285268385504947842676903369867940608495217589921185

nats:

117363587818297500724803491700021905943837549566039/172373255337516607453256088865886621176440850497600

bits:

0.9822861777185576858499081856949312217327043429268777189693350726899879301065209521463158997551350583

nats:

7161258366421924036199073780506432193487837252907579/10514768575588513054648621420819083891762891880353600

bits:

0.9825715000278313626877259899079818597068550083118679695485452409784524626766427293007218114749765896

nats:

35816359736480511383971402144752812112793818424198039/52573842877942565273243107104095419458814459401768000

bits:

0.9828477764975151682762321915622034202083386568458429909204687730205375803663374365305616409460273686

nats:

2274958202774623155384783006327578502799385070834785789/3338439022749352894850937301110059135634718172012268000

bits:

0.9831154305971676560974795216707351267002137571568285975316401650607092295660902263821995710273743938

nats:

1669/2520

bits:

0.9554992155728888598744897986476817370496317847148148905047877222888973360370626580670412434957389242

nats:

21341/27720

bits:

1.110698227547307650666239271906976194257649758570666407661783037276940903555038628781999410503979758

nats:

300863/360360

bits:

1.204499828191187139606307634865890426636122160351675566383043941940044158648320808884446654300169273

nats:

239175/272272

bits:

1.267323068125322555956212851775531644711972020936932225116229769872583473503187773555932413287280293

nats:

23528717/25865840

bits:

1.312339492333512015659548847460929030954983905972532914038501311517426355154330014770405612422679175

nats:

1665345503/1784742960

bits:

1.346180235693343949527839947285860483548019055988779078548501383480307869635876258056822656536758458

nats:

76408384313/80313433200

bits:

1.372547439930673579893121761612433526458537385891603593555563799279347942687293073690627936553458866

nats:

2249944483777/2329089562800

bits:

1.393670643183973947242261326591525269576305737984429194944793833015202990094570961422942023670263077

nats:

141228377241059/144403552893600

bits:

1.410972759296296987128915359758721715481538545951207734709626965870810073411119509271275899285731998

nats:

20381843294717/20629078984800

bits:

1.425404608084070888967245478055646678421503763309405628974788048343166513567345862014210226805297377

nats:

760593928752329/763275922437600

bits:

1.437625708979371678672878570923673430032450931958493092344338258970140657935979565001532456012249882

nats:

219882083561975803/219060189739591200

bits:

1.448107900902921660724477416155736226251178885341990955392097163912396751677595742668082125681401531

nats:

9514278151063384129/9419588158802421600

bits:

1.457197668812143543328988502395479346785487176824665646124468405435646382735727475234561122407743214

nats:

449612998943320768793/442720643463713815200

bits:

1.465155179618156905323792897317286730568471798935338336811131325961850581366039978508212789835127610

nats:

3162380077839505151429/3099044504245996706400

bits:

1.472179586144774137120132186455378176179571724764532597056666772403961134156911154762517369740712539

nats:

479536419291984439887/467946890954523719200

bits:

1.478425922708886861334530170554912535941822073293783021530628796557056053377289391260214633396469939

nats:

393831667366464530713/382865638053701224800

bits:

1.484016681003210500573577801514745569002670756350717487034483988019702050788143797632293238692523798

nats:

23314876622260712721467/22589072645168372263200

bits:

1.489049922953259920727527111682298080612372852036020566838944154544954646600856156501437685188771150

nats:

475519384931774291154349/459311143785090236018400

bits:

1.493605081806225795721680164730226544828778322188326356663132660621500496472806017310776330561601453

nats:

45458566229140960990958133/43787662374178602500420800

bits:

1.497747185138115416560118842921706128169562658880288652900519965934648734001653096934698416759323714

nats:

9160249162368114221079313133/8801320137209899102584580800

bits:

1.501529978893050411202846970790454734593976106310165866305942897710506820715929831466908926027032896

nats:

1955639875938311928045476992249/1874681189225708508850515710400

bits:

1.504998272237541151535910991355670113562366596212000907919489394318845126761225631386063348912239172

nats:

143064446622027138540303113173897/136851726813476721146087646859200

bits:

1.508189720911851242746194423406386998242531057365671434004813093025403208058747875315095567191316810

nats:

28668788974669459964629154431013/27370345362695344229217529371840

bits:

1.511136199926078960745031586648007666885718169429702971781156117008256883458982438950741682783895815

nats:

20420315642301978160686068228036071/19460315552876389746973663383378240

bits:

1.513864871845920610042463783379433673403231301383151772968986382206701633200804114302737656253662810

nats:

1697723376204451992384903850848967253/1615206190888740348998814060820393920

bits:

1.516399026618233720648985689678049565764403055012775705569834255259082151231688696136072814466403730

nats:

340073052539862558567696408804314113/323041238177748069799762812164078784

bits:

1.518758747975313229577010437378348833609173837667654971456007519239766072031966292150077621994296794

nats:

2755490730976765620733664264854344355/2613697290710870746561717298418455616

bits:

1.520961446807207557784683019911060151241575225638271378210709096030059549167259792160997910011063959

nats:

13796121578471469386466627133570132031/13068486453554353732808586492092278080

bits:

1.523022291487217094311541247066363163889014867802126510982962545611599628584021905048617012485238188

nats:

2762724957685978106383723782109632709/2613697290710870746561717298418455616

bits:

1.524954557652575864567714152485738372679140427565493671535001747851779593933828009793009082024579099

nats:

2951336722209718321203263268258507471149/2788815009188499086581352357412492142272

bits:

1.526769914496560311769537807517205928678316828972615105770985637340576922254366786585536653189359348

nats:

7460465570070922012985676229924297868557993/7041757898200960193617914702466542659236800

bits:

1.528478660621656203728167633064620146241414942489552803412040860681131214266495928865254937223569532

nats:

769237998642515490419482799540806284310255879/725301063514698899942645214354053893901390400

bits:

1.530089919525421493973834221887898283830754055061068034615532247187900440714575530023617370675092305

nats:

82390332845610981804646080316725253257289982333/77607213796072782293863037935883766647448772800

bits:

1.531611802556027507187381937351586452584229629993088341725622892970394181391562229186976641854437459

nats:

817180741533407913838647315347169348996080593147/769016936706539388184642830455575505870174203200

bits:

1.533051545482545870762790278108887216038653980316135969617375203620139090107741485662168400960228615

nats:

92423587312002922849334171591522892647361337137911/86898913847838950864864639841480032163329684961600

bits:

1.534415623533258740652457882421272338730587573265598798913910023714305398734054771262750182915339253

nats:

4868502280745458253508287358574828291217813544029/4573627044623102677098138939025264850701562366400

bits:

1.535709848761156569522300831266980838614652324369073103758984293616216396627748850899051959987290320

nats:

22047060486334402558731137805196049414243850649/20695144998294582249312845877942374890052318400

bits:

1.536939452825036219346427799893806649013389970403681560777594618339272676922492492019712998029273426

nats:

2669724597249050965587963469847835191651454117289/2504112544793644452166854351231027361696330526400

bits:

1.538109157672818697253416471708351869773632780630228032130066027486034706235845708097113155331582627

nats:

13358291619560777551645391342467481338715298317501/12520562723968222260834271756155136808481652632000

bits:

1.539223236140695861382782095360832368798592994758949270653055441878254033692776875884377797011050076

nats:

664789/720720

bits:

1.330735644268971437750301044453555988660953681340061835619895765046516215326674503374430233803351078

nats:

15743083/15519504

bits:

1.463478972807593896430588575946841540590156339264750488090786487481637797163787499329841734821046507

nats:

1920308783/1784742960

bits:

1.552279527248910150579257758857559360323254192296348497710708441613323472376045555183326459807259364

nats:

89953308563/80313433200

bits:

1.615859103572661456134378900273466922651523310699150824510947131797491362588881827242750482081133547

nats:

166517231769269/144403552893600

bits:

1.663626549916624290917831462353371260255624144235322821912388118322003064194491189296683150037410445

nats:

2210920182727/1875370816800

bits:

1.700828206799236630372322008065098813748408900011339307309737480575469182683753922719628945721330406

nats:

83236959139039/69388720221600

bits:

1.730620593448954282090672132304302456776731884768700317312988677568911964978312315782480024822498694

nats:

11458786873267047529/9419588158802421600

bits:

1.755016749985775433309854294991024790517222642829329381390136296937492355693015626229911120956549788

nats:

544806045724712713673/442720643463713815200

bits:

1.775361036395380905367849962426484783560941093839295385652709641664620219336499920593489027065343076

nats:

3850642070639042294339/3099044504245996706400

bits:

1.792585492702038885236586909094284176976245247285521503464247982669309315815020878238386979587539335

nats:

479640353690612555783/382865638053701224800

bits:

1.807356657017671264041985708314578086581252048005454437884108737680026877527733531741754419182083771

nats:

28499309682270438682717/22589072645168372263200

bits:

1.820163819614114847919804286813343801437739328656744785253459170433103746075382100941109096854323701

nats:

3498330219213026776088389/2755866862710541416110400

bits:

1.831374268090229214822909373359941708550011766752315837571427279428528224785816595303491094207763928

nats:

33698595042851965019912553719/26403960411629697307753742400

bits:

1.841269082187933184941683277559574759629422973783163481738969289542514074323964042846989387717271923

nats:

2404032558352611987382746789769/1874681189225708508850515710400

bits:

1.850067024731502221465619426812776668233092348994458261102945124681714676433299458008687671386114341

nats:

176241280323542853282661110404593/136851726813476721146087646859200

bits:

1.857940904678872983384000860021131273008413468069502513465725983744101796424655372811032563792127043

nats:

13976178315538768969406785493045707/10811286418264660970540924101876800

bits:

1.865029041534180879093686410533700719020959322496920762130473278579861914231771606882413189075575571

nats:

10476112338450460547963593789711756849/8076030954443701744994070304101969600

bits:

1.871443460746274711386670195383512176654751243816285970832831840072401059351282832890043634942483328

nats:

10508761388649858547938311055567853609/8076030954443701744994070304101969600

bits:

1.877275858254172929815169459501359662250828888093902495740938843668962594147574253267857088058398155

nats:

85266664792741763008023687939009266851/65342432267771768664042932460461390400

bits:

1.882602011898217133155256602674470924916335145131650310481970297348679455697907829957995500947965315

nats:

85487828874872111600129456935874421421/65342432267771768664042932460461390400

bits:

1.887485091903636312437703313834558278681328201879318225340621276660071951591854974779292282490653160

nats:

18286529692072333625298459078685296133519/13944075045942495432906761787062460711360

bits:

1.891978178179573759903187435130006619329516181004375125893750507851127778084358829939789202311561508

nats:

953259218842453877964234006704603961534053209/725301063514698899942645214354053893901390400

bits:

1.896126197639064050799490779691162539145262661102674727435603118905539923606172805848157395655765009

nats:

102205368769029007705007621469351214357296704723/77607213796072782293863037935883766647448772800

bits:

1.899967431671506207871024536054304299247063531728184775872447946681268455254167108212797834991573064

nats:

11161301741297064325221127256268306433613396168627/8459186303771933270031071135011330564571916235200

bits:

1.903534701068661985308637827944571173479010016528881862858404722082761835845479493693612287261755652

nats:

1263427896325462533247007101614559195216750153350091/955888052326228459513511038256280353796626534577600

bits:

1.906856306147709224452327299363954069184526747269687843502022497601824711020080482314232012022582302

nats:

1265482180134139021586248784546578449877507090864771/955888052326228459513511038256280353796626534577600

bits:

1.909956779112240639378836722631631139649482266041777331499175698066259382285763473376389164753846701

nats:

13941445188212444596076122563621396435008603498496161/10514768575588513054648621420819083891762891880353600

bits:

1.912857490991774233883955909897417812423553270666501067642800970584830964360132666831307361473868410

nats:

17730808827837874016142872666542561754197063196836242671/13353756090997411579403749204440236542538872688049072000

bits:

1.915577144929066633302792789413378138011901480935855559621867894580734317333614769227992668456625164

nats:

10107221087/8923714800

bits:

1.634032246232618076996320157447666581444097463031684367311717241339419661462979376376839635104558057

nats:

2822050213687/2329089562800

bits:

1.748046925053128054050115841488418616031501708468833279559810969082804818139473169537680507627041025

nats:

16648548039589/13127595717600

bits:

1.829640264021465506029458140297410611732930860203570194286116891908603934396359733423693822765393472

nats:

90946816941439/69388720221600

bits:

1.890920042436616882908441541304512694268581435230143198883594167227924100442888435769760760699554955

nats:

12657643548023719369/9419588158802421600

bits:

1.938632482462552594246571981663992880735159400630618500280102585092360801770621000033523600233905141

nats:

4246425705803545425059/3099044504245996706400

bits:

1.976834246450013726538524910998186869530636861394679750969219541371576575755423426353755071807889233

nats:

76207140982599995444269/54749786241679275146400

bits:

2.008111299112734728527676193187593630013539653097588636094848305086399593133906597095455530584555953

nats:

414055665970911849382921/293657944387188839421600

bits:

2.034190006998741287473199706522415711935098893283836105152674192340466102767096371034016892558305411

nats:

51063024239113418476737067/35826269215237038409435200

bits:

2.056266908507192397989432430890662486108116901867418429730957385009890923352773765837844362872642241

nats:

37979913133527721154893309499/26403960411629697307753742400

bits:

2.075197488441928407023818428117047256051066938012229193635664046243341278751267666101902501422987205

nats:

198406717173745930576304399853533/136851726813476721146087646859200

bits:

2.091609609981438276921265578628364981042681928488665401241267662497430360919399517995278054437679604

nats:

15781778438025006637517421424060907/10811286418264660970540924101876800

bits:

2.105974498139475593325968293102128181257160426983083359661522706534816687507473483829239186810283975

nats:

11859959629889942656643753701248341089/8076030954443701744994070304101969600

bits:

2.118652719349826829768553991833040291028238906366698227181556188421594542122029070827969258070706955

nats:

1061152314670116283438937542016081738081/718766754945489455304472257065075294400

bits:

2.129924862925143136532801536824115312554584553539326737910774686967490602175206084132570593052469699

nats:

1066178113172206980620269373439111168401/718766754945489455304472257065075294400

bits:

2.140012550656364532224258685872135567957910546418409704459467587828347324375661995290838416982872494

nats:

1888329283457507467348430148215864104229/1267643185994772312082432889732950973760

bits:

2.149093154057935744910514497490945188429056062020488161162808226124776195534421811779918699968683439

nats:

1516876954303707687089256213710846494308547/1014407081838739720199503796299376075386560

bits:

2.157310313376343624904499680895952598888826415322809005082991591916686341418028873811040942762073753

nats:

195278657446941698528884511011080546126973934239/130141327750337434923554940538635854839567942080

bits:

2.164781592136683571175921240146554325247295572402897876187987946030978280617262142898865595715004397

nats:

22136033239373397018298009129986873337576964800403/14705970035788130146361708280865851596871177455040

bits:

2.171604137753552102435509616804836328515110271270052150212898699238289502333313135408240112638633938

nats:

57719456180093748842821084974134621404817247372715/38235522093049138380540441530251214151865061383104

bits:

2.177858928960906713217691039312585002229062079921911410055050695882296189008250341725019543718303679

nats:

79573975346792421581158682063471170327709454035949109/52573842877942565273243107104095419458814459401768000

bits:

2.183614005222414170808339539925730257296536341058077612993094491958666954914117793832614481283620067

nats:

17169484377589/13127595717600

bits:

1.886890067231345006321518643511771410837162842511228366275618852501108268490851204847722657007199280

nats:

3916747278532499/2844937529085600

bits:

1.986220019731111416931200793606466951314040771632525399817338284555690461466035824176833149406951207

nats:

632399890208000535443/442720643463713815200

bits:

2.060803350672275559324037080498450058731086827445069244085821917000611146919443988798112791973692122

nats:

26803384958633542222543/18249928747226425048800

bits:

2.118863645686028889092680512133193430462453887961858263361812097941717068545795552723031311735976642

nats:

4848270270067219182633731/3230237388259077233637600

bits:

2.165344101625010688142283768431678633519339434570471190074078683879657849965385923750882949184987806

nats:

601882991711442998895717737/394088961367607422503787200

bits:

2.203394899273840764124622884955540763526335457797938557046635500518599614120085764077918464857702620

nats:

2904380093558932330717148643629/1874681189225708508850515710400

bits:

2.235118580116936332920914414506631707113300220768280184795504680041449539418469573764495722794220047

nats:

214567031195948665214121625327373/136851726813476721146087646859200

bits:

2.261972128905418232081869825731304121897136966660999482583218881394487479776263910681376490225373191

nats:

12791135047711480116246886527278025469/8076030954443701744994070304101969600

bits:

2.284997074029356118999514495143237448190211774960037956912229679213756399921876496180316567916236241

nats:

1148355634203944048236906602615888667181/718766754945489455304472257065075294400

bits:

2.304957717150642373455145340033903696874729099447593413743384357661338411855276332795152867153520101

nats:

1157059332767890320116433833015128278101/718766754945489455304472257065075294400

bits:

2.322427616348400862605315553970091529004653426887400723522302511335439113978442986321255988130892592

nats:

207472091790670065674084853958932373900393/128031961785472003520325721863028048349760

bits:

2.337845595545843868002916363692705479279224265408532154767214090309276260405073438360472539641616477

nats:

35383948899449746525434118101484280087416477/21708311551349030012269381240806648013272384

bits:

2.351553112896628208574899490338089015574232389644188084848268837672684145709945810462867805420676771

nats:

24095365159042473323785038101713812368402038797059/14705970035788130146361708280865851596871177455040

bits:

2.363819845869574944079715734801101679609511750191449437605802238432027800636762547388530607561091844

nats:

62940587608384196780912952154672407188212335276619/38235522093049138380540441530251214151865061383104

bits:

2.374861611468895222918354573298444732269158379514983364735131355533815055659097278569918765421529513

nats:

86907414567555587092472300624238525027494853475076269/52573842877942565273243107104095419458814459401768000

bits:

2.384853173167933763530615551149452686470345807341916272400398296694031142287957099562891836720739530

nats:

4517715077881587835151/3099044504245996706400

bits:

2.103127312331007904182810381089066792354572614365373678378060866438641136767871612315162680145312844

nats:

83143693986957052237709/54749786241679275146400

bits:

2.190894307179186369460145727086534654062687582065311817937694564723558885261046640405627590454757767

nats:

308564625495229668958776751/197044480683803711251893600

bits:

2.259208953485388583592051206494009944338346797122723728201890248480510461024742479981706575975035168

nats:

42348480476357629615551799979/26403960411629697307753742400

bits:

2.313893136482448376703065373756671001798795556833711398555809912987837321225517352062982722063892508

nats:

223738329904311032889995797465373/136851726813476721146087646859200

bits:

2.358656237123501444113566409831081275629109160558198423390664500157353190851926080953425185815555726

nats:

13412368198053303327400276550670484669/8076030954443701744994070304101969600

bits:

2.395973615636199458027201009066459920299953771433344567230341172054610955243506117709972461984967498

nats:

1209437644148029599017359922630210084141/718766754945489455304472257065075294400

bits:

2.427560372640107395619065679225273285110253590789532145142440864037901539639171914675534616791356538

nats:

118624231124180849180737719726762638878367/69720375229712477164533808935312303556800

bits:

2.454642411321797207972373382459359977872605493450738112230738366519254268729662110070969235834622342

nats:

1742448432266002064265689807345045497430143/1014407081838739720199503796299376075386560

bits:

2.478119245459420242044205965448413375875431135128154752539396254898184660755546353394387164264101258

nats:

225397385742945684933008186392705659696218385343/130141327750337434923554940538635854839567942080

bits:

2.498665844753849497774223308670245834618995830083939853072609205442147952229358135323048672958916567

nats:

66702321120118649335723604468966128291560600689611/38235522093049138380540441530251214151865061383104

bits:

2.516798584875927742527896526778507047819217114598490064825512686934674098206678610818718426290997285

nats:

92303151073449692475778830037553581235110021676836669/52573842877942565273243107104095419458814459401768000

bits:

2.532919243153906323759660452620699511100975260531301670903773367405381825309183989340616937491388865

nats:

208674539970071455516817159/131362987122535807501262400

bits:

2.291769779061007549383160617697177648828878737060204313520919488567497301040984504354122975450062221

nats:

3080013103963664112733194433669/1874681189225708508850515710400

bits:

2.370280160967897298610442711640899884634837000816451341756174308822116590003373529481043797817828848

nats:

1657577612599117371374588761698277/982844219842241906412811281988800

bits:

2.433121092139259390956448716207939361620927458469897440305449102394731926157712493140443956354779251

nats:

13908252790011917985908203476826802629/8076030954443701744994070304101969600

bits:

2.484558001420196226877860455103247106419421281046576086196001009598519663867289755873427593686765265

nats:

1259197273426009666478037754709334375911/718766754945489455304472257065075294400

bits:

2.527436959727471280862711444422901613643096454301035881333170974449482038050274849664879242441789888

nats:

23434372225447911762465013281202253010461491/13187292063903616362593549351891888980025280

bits:

2.563729720413270817865564133332042140074374960978991280499082263661129603432232061431550282545693942

nats:

46814694851926969452249036485722943337104582963/26028265550067486984710988107727170967913588416

bits:

2.594845514146447058264884954070371977114105560360805582014972499237555233508103807315417114485150324

nats:

347428211068283925721535315401797076020430360348523/191177610465245691902702207651256070759325306915520

bits:

2.621818297411227284681302808704380078411303842143450070325078489350982784014720760016267790751627526

nats:

24486356550698639193542662171692901615042941265033130801/13353756090997411579403749204440236542538872688049072000

bits:

2.645423873583221471620397721475767600395540451156841395946569467114498092729111695136605514114805547

nats:

15076545637699973093960029561827133/8845597978580177157715301537899200

bits:

2.458947114476160587754867120991306566550169886044241015669602209062017214649227534693950297134971648

nats:

1260431069769453684416167053621789934781/718766754945489455304472257065075294400

bits:

2.529913412420791263064297764902080850837442042515237657386049753863633414146848065614466167576392011

nats:

125068857883259888514600027351458090181167/69720375229712477164533808935312303556800

bits:

2.587998421456138897114229002184559853268547264826129280690200625773542336470047488611836401470604960

nats:

2578570746379718089957863876740726974601714369/1411040250837686950797509780652432120862704960

bits:

2.636417512664773194519088597406812656022034292379608207559199961995536424029755851226625396905622314

nats:

354793327132532822431296572840970924012831463803683/191177610465245691902702207651256070759325306915520

bits:

2.677398113455612677454682031728727676354457932398748568588358571677411573706049425154835365149590183

nats:

98848496334642658672903996044549214280945383936858369/52573842877942565273243107104095419458814459401768000

bits:

2.712532081636195920705369096087636759349458365024181000495543194946629981716813555717121518331783732

nats:

5043318897282228254570638946529778038407/2788815009188499086581352357412492142272

bits:

2.608983076596342001221282452090041920722025751431990894277625344419813016021773817046534970530874143

nats:

57007728279049751343364029689382051474403363705/30760677468261575527385713218223020234806968128

bits:

2.673698164333004817736799189316494578227707559390595152951996743306141539938260480966786558873359711

nats:

361451403923839035539673087226765584507446804564579/191177610465245691902702207651256070759325306915520

bits:

2.727642356729181468682703877338310078601664960209067445164134805738511949267846149117761089738596261

nats:

4001310959701182418271989479448186438962886008324169/2102953715117702610929724284163816778352578376070720

bits:

2.745030210183421730135044567364159329569272607728128914755987673934995703631255748909769847245921579

Definition

The Page average $\overline S_{N,K}^{(u)}$ is the mean von Neumann entropy of the $N$-dimensional subsystem of a Haar-uniform pure state in $\mathbb C^N\otimes\mathbb C^K$ [4]. Nats and bits are two invertible unit conventions for this one number.

Parameters

$N$

— subsystem dimension ($N\geq2$)

$K$

— environment dimension ($K\geq N$)

unit

— logarithmic unit

Formulas

(1)

$\displaystyle \overline S_{N,K}^{(u)}=\mathbb E[-\operatorname{Tr}(\rho\log_{b_u}\rho)]$.

(2)

$\displaystyle \overline S_{N,K}^{(\mathrm{nats})}=H_{NK}-H_K-\frac{N-1}{2K}$, where $H_j=\sum_{r=1}^{j}1/r$ is the harmonic number. This is the formula conjectured in [1], equation (11), and proved in [2], equation (9).

(3)

$\displaystyle \overline S_{N,K}^{(\mathrm{bits})}=\frac{\overline S_{N,K}^{(\mathrm{nats})}}{\log 2}$, where $\log$ is the natural logarithm.

(4)

$\displaystyle 0<\overline S_{N,K}^{(u)}<\log_{b_u}N$ for $2\leq N\leq K$.

Comments

(5)

Write $\rho=\operatorname{Tr}_{\mathbb C^K}|\psi\rangle\langle\psi|$ for the reduced density matrix. The logarithm base is $b_{\mathrm{nats}}=e$ or $b_{\mathrm{bits}}=2$, and the entropy uses $0\log 0=0$.

(6)

The average is over pure states in a complex Hilbert space, using the normalized unitarily invariant measure. Equivalently, $\rho=GG^*/\operatorname{Tr}(GG^*)$, where $G$ is an $N\times K$ matrix with independent standard complex Gaussian entries; see [3], equations (3.5)–(3.8). The two partial traces have the same nonzero eigenvalues and hence the same entropy, so only $N\leq K$ is listed.

(7)

Nats and bits express the same entropy in two invertible logarithmic units. The expectation of the entropy differs from the entropy of the mean state: $\mathbb E[\rho]=I_N/N$, whose entropy is $\log_{b_u}N$, where $I_N$ is the $N\times N$ identity matrix. Every nats value is rational by (2).

(8)

At $K=N$, the induced measure is the normalized full-rank complex Hilbert–Schmidt volume measure associated with Hilbert–Schmidt volumes of quantum states of fixed rank; see [3]. Bures volumes of quantum states of fixed rank use a different metric and do not define the ensemble averaged here.

Programs

(P1)

Sage

import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.rational_field import QQ
from sage.rings.real_arb import RealBallField

def page_entropy(N, K, unit="nats", digits=100):
    assert 2 <= N <= K
    entropy = sum((QQ(1)/QQ(j) for j in range(K+1, N*K+1)), QQ(0)) - QQ(N-1)/QQ(2*K)
    if unit == "nats":
        return entropy
    if unit != "bits":
        raise ValueError("unit must be nats or bits")
    R = RealBallField(numberdb.bits(digits, losing=64))
    return R(entropy)/R(2).log()

page_entropy(2, 2)  # 1/3

References

[1]

D. N. Page, Average entropy of a subsystem, Physical Review Letters 71 (1993), 1291–1294. (arXiv) (doi)

[2]

S. Sen, Average entropy of a quantum subsystem, Physical Review Letters 77 (1996), 1–3. (arXiv) (doi)

[3]

K. Życzkowski and H.-J. Sommers, Induced measures in the space of mixed quantum states, Journal of Physics A: Mathematical and General 34 (2001), 7111–7125. (arXiv) (doi)

Links

[4]

Page, Average entropy of a subsystem

Similar tables

Hilbert–Schmidt volumes of quantum states of fixed rank — The normalized complex full-rank volume measure gives the induced ensemble at $K=N$.

Bures volumes of quantum states of fixed rank — Volumes of density-matrix spaces under a different metric from the Hilbert–Schmidt metric.

Values of the harmonic-number function — Integer harmonic numbers give the exact finite Page formula.

Shannon entropies of discrete probability distributions — Von Neumann entropy is the Shannon entropy of the eigenvalues of a density matrix; this table averages it over the induced ensemble.

Data properties

Entries are of type: real number

digits: 100 (Unknown key)

How well the digits are known: proven

Table is complete: no (it holds both nats and bits for every integer pair $2\leq N\leq K$ with $NK\leq128$; the total Hilbert-space dimension bound is a noncanonical size budget covering equal and unequal subsystems, including small subsystems with larger environments)

How they were obtained:

The nats rows are exact rational sums. For bits, Arb ball arithmetic at 397 working bits divides each rational by an enclosure of $\log 2$ and serializes the result to 100 significant digits. Across the 200 bit values, every ball is finite with relative width less than $10^{-117}$, and every serialized interval contains its entire generating ball.

An independent calculation expands and integrates the generalized Laguerre one-point density from [2], equations (2)–(4), using exact factorial and logarithmic moments; it agrees for all 200 dimension pairs. Density normalization, first moments, the two-qubit value $1/3$ nat, and the entropy bounds are checked. A separate rational series with an explicit geometric tail encloses $\log 2$ to within $10^{-145}$ and confirms every bit interval. The attached checks also apply these independent computations to values read from the database.