NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Values of the harmonic-number function $H_x$ at rational numbers
edit · history · discussion · files · short url · special functions special values
Numbers
$x$ 
$H_x$
0:
0
comment: The empty harmonic sum.
1:
1
2:
3/2
3:
11/6
4:
25/12
1/2:
0.6137056388801093811655357570836468638489997312794894917586399810132127560606105687882733460071626249
comment: $2-2\log 2$.
-1/2:
-1.386294361119890618834464242916353136151000268720510508241360018986787243939389431211726653992837375
3/2:
1.280372305546776047832202423750313530515666397946156158425306647679879422727277235454940012673829292
-3/2:
0.6137056388801093811655357570836468638489997312794894917586399810132127560606105687882733460071626249
5/2:
1.680372305546776047832202423750313530515666397946156158425306647679879422727277235454940012673829292
-5/2:
1.280372305546776047832202423750313530515666397946156158425306647679879422727277235454940012673829292
7/2:
1.966086591261061762117916709464599244801380683660441872711020933394165137012991521169225726959543577
-7/2:
1.680372305546776047832202423750313530515666397946156158425306647679879422727277235454940012673829292
1/3:
0.4451818848807265376100930157951335768867310392195055346130160318496969696089096078475138736733717824
-1/3:
-0.7410187508850556117958287265627106908292027126877538898170990327621798492647365084683611381145680488
2/3:
0.7589812491149443882041712734372893091707972873122461101829009672378201507352634915316388618854319512
-2/3:
-2.554818115119273462389906984204866423113268960780494465386983968150303030391090392152486126326628218
4/3:
1.195181884880726537610093015795133576886731039219505534613016031849696969608909607847513873673371782
-4/3:
2.258981249114944388204171273437289309170797287312246110182900967237820150735263491531638861885431951
5/3:
1.358981249114944388204171273437289309170797287312246110182900967237820150735263491531638861885431951
-5/3:
-1.054818115119273462389906984204866423113268960780494465386983968150303030391090392152486126326628218
7/3:
1.623753313452155109038664444366562148315302467790934106041587460421125541037481036418942445101943211
-7/3:
3.008981249114944388204171273437289309170797287312246110182900967237820150735263491531638861885431951
8/3:
1.733981249114944388204171273437289309170797287312246110182900967237820150735263491531638861885431951
-8/3:
-0.4548181151192734623899069842048664231132689607804944653869839681503030303910903921524861263266282176
10/3:
1.923753313452155109038664444366562148315302467790934106041587460421125541037481036418942445101943211
-10/3:
3.437552677686372959632742702008717880599368715883674681611472395809248722163834920103067433314003380
11/3:
2.006708521842217115476898546164562036443524560039518837455628239965092878007990764258911589158159224
-11/3:
-0.07981811511927346238990698420486642311326896078049446538698396815030303039109039215248612632662821761
1/4:
0.3497621315252674525169819439857188536749148972316813271504876753659109309478113538683926063396854034
-1/4:
-0.5086452148849393090203746727347782621279157033932128518745677323262726627659796475035725683181975286
3/4:
0.8246881184483940243129586605985550712054176299401204814587656010070606705673536858297607650151358047
-3/4:
-3.650237868474732547483018056014281146325085102768318672849512324634089069052188646131607393660314597
5/4:
1.149762131525267452516981943985718853674914897231681327150487675365910930947811353868392606339685403
-5/4:
3.491354785115060690979625327265221737872084296606787148125432267673727337234020352496427431681802471
7/4:
1.396116689876965452884387232027126499776846201368691910030194172435632099138782257258332193586564376
-7/4:
-2.316904535141399214149684722680947812991751769434985339516178991300755735718855312798274060326981263
9/4:
1.594206575969711896961426388430163298119359341676125771594932119810355375392255798312837050784129848
-9/4:
4.291354785115060690979625327265221737872084296606787148125432267673727337234020352496427431681802471
11/4:
1.759753053513329089248023595663490136140482565005055546393830536071995735502418620894695829950200740
-11/4:
-1.745475963712827785578256151252376384420323198006413910944750419872184307147426741369702631755552692
13/4:
1.901898883662019589269118696122470990427051649368433463902624427502663067699948106005144743091822156
-13/4:
4.735799229559505135424069771709666182316528741051231592569876712118171781678464796940871876126246916
15/4:
2.026419720179995755914690262330156802807149231671722213060497202738662402169085287561362496616867406
-15/4:
-1.381839600076464149214619787616012748056686834370050274581114056235820670783790377733338995391916328
1/5:
0.2881757683093445650593041276324503262165710617332807886299085706932429726860450183903692389721763871
-1/5:
-0.3877929018046055987847855430744329885920011537552992303040435593600934806080193333694295959481753026
2/5:
0.5158311203164167148758366080348739752157982394291134415718135596722566838471232869647863709381329321
-2/5:
-0.9634035489916575541541518587238295104683749187496836094609180283763011144634377951363954044280320706
3/5:
0.7032631176750091125125148079428371561982917479169830572057486382903655522032288715302712622386345961
-3/5:
-1.984168879683583285124163391965126024784201760570886558428186440327743316152876713035213629061867068
4/5:
0.8622070981953944012152144569255670114079988462447007696959564406399065193919806666305704040518246974
-4/5:
-4.711824231690655434940695872367549673783428938266719211370091429306757027313954981609630761027823613
6/5:
1.121509101642677898392637460965783659549904395066614121963241904026576306019378351723702572305509720
-6/5:
4.612207098195394401215214456925567011407998846244700769695956440639906519391980666630570404051824697
7/5:
1.230116834602131000590122322320588260930083953714827727286099273957970969561409001250500656652418646
-7/5:
1.536596451008342445845848141276170489531625081250316390539081971623698885536562204863604595571967929
8/5:
1.328263117675009112512514807942837156198291747916983057205748638290365552203228871530271262238634596
-8/5:
-0.3175022130169166184574967252984593581175350939042198917615197736610766494862100463685469623952004012
9/5:
1.417762653750949956770770012481122566963554401800256325251511996195462074947536222186125959607380253
-9/5:
-3.461824231690655434940695872367549673783428938266719211370091429306757027313954981609630761027823613
11/5:
1.576054556188132443847182915511238205004449849612068667417787358572030851473923806269157117760055175
-11/5:
5.445540431528727734548547790258900344741332179578034103029289773973239852725313999963903737385158031
12/5:
1.646783501268797667256788988987254927596750620381494393952765940624637636228075667917167323319085313
-12/5:
2.250882165294056731560133855561884775245910795536030676253367685909413171250847919149318881286253644
13/5:
1.712878502290393727897130192558221771582907132532367672590364022905750167587844256145655877623249981
-13/5:
0.3074977869830833815425032747015406418824649060957801082384802263389233505137899536314530376047995988
14/5:
1.774905510893807099627912869623979709820697258943113468108654853338319217804679079328983102464523110
-14/5:
-2.906268676135099879385140316811994118227873382711163655814535873751201471758399426054075205472268057
16/5:
1.888554556188132443847182915511238205004449849612068667417787358572030851473923806269157117760055175
-16/5:
5.900085886074182280003093244804354890195877634123488648483835228518694398179859454509358282839703485
17/5:
1.940901148327621196668553694869607868773221208616788511599824764154049400933958020858343793907320607
-17/5:
2.667548831960723398226800522228551441912577462202697342920034352576079837917514585815985547952920310
18/5:
1.990656280068171505674907970335999549360684910310145450368141800683527945365622033923433655401027758
-18/5:
0.6921131715984679969271186593169252572670802907111647236230956109543079658984053382468376529894149834
19/5:
2.038063405630649204891070764360821815083855153679955573371812748075161323067836974065825207727681005
-19/5:
-2.549125818992242736527997459669136975370730525568306512957393016608344328901256568911218062615125200
1/6:
0.2450881595266180681815505152366247084516645224062544508017710774747865445431662929516622314684742384
-1/6:
-0.3135137477707283800362147118369080946961367333155238224885741163608439120777720559959628038953452550
5/6:
0.8864862522292716199637852881630919053038632666844761775114258836391560879222279440040371961046547450
-5/6:
-5.754911840473381931818449484763375291548335477593745549198228922525213455456833707048337768531525762
7/6:
1.102231016669475211038693372379481851308807379549111593658913934617643687400309150094519374325617096
-7/6:
5.686486252229271619963785288163091905303863266684476177511425883639156087922227944004037196104654745
11/6:
1.431940797683817074509239833617637359849317812139021632056880429093701542467682489458582650650109290
-11/6:
-4.554911840473381931818449484763375291548335477593745549198228922525213455456833707048337768531525762
13/6:
1.563769478207936749500231833917943389770345841087573132120452396156105225861847611632980912787155557
-13/6:
6.543629109372128762820928145305949048161006123827333320368568740782013230779370801146894338961797602
17/6:
1.784881974154405309803357480676460889261082518021374573233351017328995660114741312987994415355991643
-17/6:
-4.009457295018836477272994939308829837002880932139200094652774377070668000911379161593792313986071216
19/6:
1.879558951892147275816021307602153916086135314771783658436241869840315752177637085317191439102945031
-19/6:
7.005167570910590301282466606844410586622544585365794858830107202320474769240909262685355877423336064
23/6:
2.045751539371796614151183567632982628391517300630070225407264060807256529679958704292342241442948165
-23/6:
-3.656516118548248241978877292250006307591116226256847153476303788835373883264320338064380549280188863
1/7:
0.2132354226771896620569967870655213832222431003495994466217289956271889693142877046841388690513213499
-1/7:
-0.2631802128291401162774191066748857965607601388203284604870294161676432543218772967517604325982769767
2/7:
0.3916976846157175269834806509224642946603897474247509389617956186533481403897870053274966918529178498
-2/7:
-0.6029657754379658942381656303637588972774638860887798770159420396796234705590035645615434489568251357
3/7:
0.5447302409398835967263720111436195784149322062835526625316476149036766568512222715771474694127150733
-3/7:
-1.071555070019544577655400582861885336585600802888489696494598489566672747605567661455755305543619516
4/7:
0.6784449299804554223445994171381146634143991971115103035054015104333272523944323385442446944563804838
-4/7:
-1.788603092393449736606961322189713754918401127049780670801685718429656676482111061756185863920618260
5/7:
0.7970342245620341057618343696362411027225361139112201229840579603203765294409964354384565510431748643
-5/7:
-3.108302315384282473016519349077535705339610252575249061038204381346651859610212994672503308147082150
6/7:
0.9034864538375265503892475599917808701059065278463382061796372504990234123447893699149062340683896900
-6/7:
-6.786764577322810337943003212934478616777756899650400553378271004372811030685712295315861130948678650
8/7:
1.088235422677189662056996787065521383222243100349599446621728995627188969314287704684138869051321350
-8/7:
6.736819787170859883722580893325114203439239861179671539512970583832356745678122703248239567401723023
9/7:
1.169475462393495304761258428700242072438167525202528716739573396431125918167564783105274469630695628
-9/7:
2.897034224562034105761834369636241102722536113911220122984057960320376529440996435438456551043174864
10/7:
1.244730240939883596726372011143619578414932206283552662531647614903676656851222271577147469412715073
-10/7:
1.261778263313788755677932750471447996747732530444843636838734843766660585727765671877578027789713817
11/7:
1.314808566344091785980963053501751027050762833475146667141765146796963616030795974907881058092744120
-11/7:
-0.03860309239344973660696132218971375491840112704978067080168571842965667648211106175618586392061826006
12/7:
1.380367557895367439095167702969574436055869447244553456317391293653709862774329768771789884376508198
-12/7:
-1.708302315384282473016519349077535705339610252575249061038204381346651859610212994672503308147082150
13/7:
1.441947992299065011927709098453319331644368066307876667718098788960561873883250908376444695606851228
-13/7:
-5.620097910656143671276336546267811950111090232983733886711604337706144364019045628649194464282011983
15/7:
1.554902089343856328723663453732188049888909767016266113288395662293855635980954371350805535717988017
-15/7:
7.611819787170859883722580893325114203439239861179671539512970583832356745678122703248239567401723023
16/7:
1.606975462393495304761258428700242072438167525202528716739573396431125918167564783105274469630695628
-16/7:
3.674812002339811883539612147414018880500313891688997900761835738098154307218774213216234328820952642
17/7:
1.656494946822236537902842599378913696061991029812964427237529967844853127439457565694794528236244485
-17/7:
1.961778263313788755677932750471447996747732530444843636838734843766660585727765671877578027789713817
18/7:
1.703697455232980674869851942390639915939651722364035556030654035685852504919684863796769946981633009
-18/7:
0.5977605439701866270294023141739226087179625093138556928346779179339796871542525746074504997157453763
19/7:
1.748788610526946386463588755601153383424290499876132403685812346285288810142750821403368831744929250
-19/7:
-1.124968982050949139683186015744202372006276919241915727704871048013318526276879661339169974813748817
20/7:
1.791947992299065011927709098453319331644368066307876667718098788960561873883250908376444695606851228
-20/7:
-5.081636372194605209737875007806273488572628694522195425173142799244605902480584090187656002743550445
22/7:
1.873083907525674510541845271914006231707091585198084295106577480475673817799136189532623717536169835
-22/7:
8.078486453837526550389247559991780870105906527846338206179637250499023412344789369914906234068389690
23/7:
1.911323288480451826500388863482850768090341438246006977609138613822430265993651739627013600065478236
-23/7:
4.112312002339811883539612147414018880500313891688997900761835738098154307218774213216234328820952642
24/7:
1.948161613488903204569509266045580362728657696479631093904196634511519794106124232361461194902911152
-24/7:
2.373542969196141696854403338706742114394791353974255401544617196707837056316000965995225086613243229
25/7:
1.983697455232980674869851942390639915939651722364035556030654035685852504919684863796769946981633009
-25/7:
0.9866494328590755159182912030628114976068513982027445817235668068228685760431414634963393886046342652
26/7:
2.018019379757715617232819524831922614193521269106901634455043115516058040911981590634138062514160020
-26/7:
-0.7565479294193701923147649631126234246378558666103367803364499953817395789084586087075910274453277642
27/7:
2.051207251558324271186968357712578590903627325567135926977358048219821133142510167635703954866110488
-27/7:
-4.731636372194605209737875007806273488572628694522195425173142799244605902480584090187656002743550445
1/8:
0.1887230016056779928037691669960594309907132934904464556896803102019599033343513220395276654896308410
-1/8:
-0.2268014066461625217177064596637439861974956177587575002499794905337888972799657687571105744034868536
3/8:
0.4898832824230599515091595379445009924573306089184879549261506735611229944752837092049054504409210879
-3/8:
-0.8754930996750337066042695219409748597918837677475943096300649784569252853781180455144691068030974093
5/8:
0.7245069003249662933957304780590251402081162322524056903699350215430747146218819544855308931969025907
-5/8:
-2.176783384243606715157507128722165674209336057748178711740515993105543672191382957461761216225745579
7/8:
0.9160557362109803354251506831933988709453615250983853568928776523233539598628913741000322827393702892
-7/8:
-7.811276998394322007196230833003940569009286706509553544310319689798040096665648677960472334510369159
9/8:
1.077611890494566881692658055884948319879602182379335344578569199090848792223240210928416554378519730
-9/8:
7.773198593353837478282293540336256013802504382241242499750020509466211102720034231242889425596513146
11/8:
1.217156009695787224236432265217228265184603336191215227653423400833850267202556436477632723168193815
-11/8:
1.791173566991632960062397144725691806874782898919072357036601688209741381288548621152197559863569257
13/8:
1.339891515709581678011115093443640524823500847637021074985319636927690099237266569870146277812287206
-13/8:
-0.5767833842436067151575071287221656742093360577481787117405159931055436721913829574617612162257455787
15/8:
1.449389069544313668758484016526732204278694858431718690226210985656687293196224707433365616072703623
-15/8:
-6.668419855537179150053373690146797711866429563652410687167462546940897239522791535103329477367512016
17/8:
1.548200125788684528751481585296713025761955123555805932813863316737907615752651975634298907319696200
-17/8:
8.662087482242726367171182429225144902691393271130131388638909398355099991608923120131778314485402035
19/8:
1.638208641274734592657484896796175633605655967770162596074476032412797635623609068056580091589246447
-19/8:
2.518446294264360232789669871998419079602055626191799629763874415482468654015821348424924832590841985
21/8:
1.720843896661962630392067474396021477204453228589402027366272017880071051618218950822527230193239587
-21/8:
0.03860123114100866945787748666244971040604855763643667287486862227907171242400165792285416838963903667
23/8:
1.797215156500835407888918799135427856452607901909979559791428376961035119283181229172496050855312318
-23/8:
-6.135086522203845816720040356813464378533096230319077353834129213607563906189458201769996144034178683
25/8:
1.868200125788684528751481585296713025761955123555805932813863316737907615752651975634298907319696200
-25/8:
9.132675717536844014230005958636909608573746212306601976874203516002158815138334884837660667426578506
27/8:
1.934504937571030888953781193092471929901952264066458892370772328709093931919905364352876387885542743
-27/8:
2.939498925843307601210722503577366448023108257770746998184927047061416022436873980003872201011894616
29/8:
1.996705965627479871771377819223607684101004952727333061849030638569726224032012054270803092262205104
-29/8:
0.4195536120933896218388298676148306627870009385888176252558210032314526648049540388752351207705914176
31/8:
2.055279672629867665953434928167685920968736934168044075920460635025551248315439293688625083113376834
-31/8:
-5.787260435247324077589605574204768726359183186840816484268911822303216080102501680030865709251569987
1/9:
0.1692723877697009474027580607497035557999353313555580457281599570712525144395928517197362144337472637
-1/9:
-0.1992727353678148299263521788725057270184304398668690933369690076934724262223223629837443741997632952
2/9:
0.3159805921463020897662526785552522579036108052036967816489243894392453432038883948743053858007106885
-2/9:
-0.4400150764704844828000892650765207683155417273915755510930785149796910029692847241583822085873218506
4/9:
0.5604514773386340740418745409446408292333278402262857539998836525450465177005937953603403507324936676
-4/9:
-1.135600975437983169413122390138455717315260176868337712967335480944795344431602457916491690385847806
5/9:
0.6643990245620168305868776098615442826847398231316622870326645190552046555683975420835083096141521941
-5/9:
-1.689548522661365925958125459055359170766672159773714246000116347454953482299406204639659649267506332
7/9:
0.8456992092438012314856250206377649459701725583227101631926357707345947113164295615559035056983924351
-7/9:
-4.184019407853697910233747321444747742096389194796303218351075610560754656796111605125694614199289311
8/9:
0.9257272646321851700736478211274942729815695601331309066630309923065275737776776370162556258002367048
-8/9:
-8.830727612230299052597241939250296444200064668644441954271840042928747485560407148280263785566252736
10/9:
1.069272387769700947402758060749703555799935331355558045728159957071252514439592851719736214433747264
-10/9:
8.800727264632185170073647821127494272981569560133130906663030992306527573777677637016255625800236705
11/9:
1.134162410328120271584434496737070439721792623385514963467106207621063525022070213056123567618892507
-11/9:
4.059984923529515517199910734923479231684458272608424448906921485020308997030715275841617791412678149
13/9:
1.252759169646326381734182233252333136925635532533978061692191344852738825392901487668032658424801360
-13/9:
1.114399024562016830586877609861544282684739823131662287032664519055204655568397542083508309614152194
14/9:
1.307256167419159687729734752718687139827596965988805144175521661912347512711254684940651166757009337
-14/9:
0.1104514773386340740418745409446408292333278402262857539998836525450465177005937953603403507324936676
16/9:
1.408199209243801231485625020637764945970172558322710163192635770734594711316429561555903505698392435
-16/9:
-2.898305122139412195948033035730462027810674909082017504065361324846468942510397319411408899913575026
17/9:
1.455139029338067523014824291715729567099216618956660318427736874659468750248265872310373272859060234
-17/9:
-7.705727612230299052597241939250296444200064668644441954271840042928747485560407148280263785566252736
19/9:
1.542956598296016736876442271276019345273619541881873835201844167597568303913277062246052003907431474
-19/9:
9.700727264632185170073647821127494272981569560133130906663030992306527573777677637016255625800236705
20/9:
1.584162410328120271584434496737070439721792623385514963467106207621063525022070213056123567618892507
-20/9:
4.878166741711333699018092553105297413502640090790242630725103303202127178848897094023435973230859968
22/9:
1.661850078737235472643273142343242227834726441624887152601282253943647916301992396758941749333892269
-22/9:
1.806706716869709138279185302169236590377047515439354594724972211362896963260705234391200617306459886
23/9:
1.698560515245246644251473883153469748523249139901848622436391227129738817059080771897172905887444120
-23/9:
0.7533086201957769311847316838017836863761849830834286111427407954021893748434509382174832078753508105
25/9:
1.768199209243801231485625020637764945970172558322710163192635770734594711316429561555903505698392435
-25/9:
-2.335805122139412195948033035730462027810674909082017504065361324846468942510397319411408899913575026
26/9:
1.801292875491913676860978137869575720945370465110506472273890720813314904094419718464219426705214080
-26/9:
-7.176315847524416699656065468662061150082417609820912542507134160575806309089818912986146138507429207
28/9:
1.864385169724588165447870842704590773845048113310445263773272739026139732484705633674623432478860046
-28/9:
10.17441147515850095954733203165381006245525377065944669613671520283284336325136184754257141527392092
29/9:
1.894507237914327168136158634668104922480413313040687377260209655896925593987587454435433912446478714
-29/9:
5.328166741711333699018092553105297413502640090790242630725103303202127178848897094023435973230859968
31/9:
1.952172659382396762965853787504532550415371602915209733246443544266228561463282719339586910624214850
-31/9:
2.215797625960618229188276211260145681286138424530263685634063120453806054169796143482109708215550795
32/9:
1.979810515245246644251473883153469748523249139901848622436391227129738817059080771897172905887444120
-32/9:
1.144612968021863887706470814236566295071837156996472089403610360619580679191277025174004947005785593
34/9:
2.032905091596742407956213255931882593028996087734474869074988711911065299551723679202962329227804200
-34/9:
-1.975805122139412195948033035730462027810674909082017504065361324846468942510397319411408899913575026
35/9:
2.058435732634770819718120995012432863802513322253363615131033577956172046951562575607076569562356938
-35/9:
-6.830162001370570545809911622508214996236263763667066388660980314421960155243665066832299984661275361
1/10:
0.1534607244904560654382958710723770267505167734957346784793751507759998158961384007054072283795474697
-1/10:
-0.1777112850455185312798719371000930885508008156602224104212606973792308890025513849153722168273209124
3/10:
0.4080247760347332049753509160437541648375843808687548364741808169540373410750876452182454664326071197
-3/10:
-0.6428078887964017541420951544790555119359748515955644137276414703355168489311878756725231510887478980
7/10:
0.7857635397750268172864762740923730594925965769758641577009299582359117224973835528989054203398235306
-7/10:
-2.925308557298600128357982417289579168495748952464578496859152516379295992258245688115087866900726214
9/10:
0.9333998260655925798312391740110180225603102954508887006898504137318802221085597261957388942837901987
-9/10:
-9.846539275509543934561704128927622973249483226504265321520624849224000184103861599294592771620452530
11/10:
1.062551633581365156347386780163286117659607682586643769388466059866908906805229309796316319288638379
-11/10:
9.822288714954481468720128062899906911449199184339777589578739302620769110997448615084627783172679088
13/10:
1.177255545265502435744581685274523395606815150099524067243411586184806571844318414449014697201837889
-13/10:
2.690525444536931579191238178854277821397358481737768919605691862997816484402145457660810182244585435
17/10:
1.373998833892673876110005685857078941845537753446452392995047605294735251909148258781258361516294119
-17/10:
-1.496737128727171556929410988718150597067177523893149925430581087807867420829674259543659295472154785
19/10:
1.459715615539276790357554963484702233086626084924572911216166203205564432634875515669423104810105988
-19/10:
-8.735428164398432823450593017816511862138372115393154210409513738112889072992750488183481660509341419
21/10:
1.538742109771841346823577256353762308135798158777119959864656536057385097281419785986792509764828855
-21/10:
10.73137962404539055962921897199081600235829009343068668048783021171167820190653952417553687408177000
23/10:
1.612038153961154609657625163535392960824206454447350154199933325315241354453014066622927740680098758
-23/10:
3.459756213767700809960468948085047052166589250968538150374922632228585715171376226891579413013816205
27/10:
1.744369204263044246480376056227449312215908123816822763365417975665105622279518629151628731886664489
-27/10:
-0.9085018346095244981058815769534447147142363474225616901364634407490438914179095536613063542956841968
29/10:
1.804543201746173342081692894519184991707315740096986704319614479067633398152116894979767932396312885
-29/10:
-8.209112374924748612924277228342827651612056325919469999883197948639204862466434698709797449983025630
31/10:
1.861322754933131669404222417644084888780959449099700605025946858638030258571742366631953800087409500
-31/10:
11.20757010023586675010540944818129219283448056962116287096402068790215439238273000036601306455796047
33/10:
1.915068456991457639960655466565695991127236757477653184502963628345544384756044369653230770983129062
-33/10:
3.894538822463352983873512426345916617383980555316364237331444371359020497780071879065492456492077074
37/10:
2.014639474533314516750646326497719582486178394087093033635688245935375892549788899421899002156934759
-37/10:
-0.5381314642391541277355112065830743443438659770521913197660930703786735210475391832909359839253138265
39/10:
2.060953458156429752338103150929441401963725996507243114576024735477889808408527151390024342652723141
-39/10:
-7.864284788717852061200139297308344892991366670747056206779749672777135896949193319399452622396818733
1/11:
0.1403532429078278748904940406834311696015352566734249339045956254633803732273282728675944138422468064
-1/11:
-0.1603647469731971101883271860786248815558452207608033559775248574720356806144093388774393255824502577
2/11:
0.2648849450214524410067774165278739201403176555394615932106807762156932453962118944981355546636568522
-2/11:
-0.3467014664763141369074974731487488618674083199045764568097497790201421042092801241553587917807320838
3/11:
0.3766366016302167392227302065353140312340785794377797592238832012710680175076509834404394647000662462
-3/11:
-0.5678245346598442041093467701920864575528352982802141189911441807700393345380907468019329883994954692
4/11:
0.4778765074048524452627148239128378599858165127991388087137039353111778614011408688812956778215792697
-4/11:
-0.8374062006544642263847624131997391725347563341197361762117344310317355627906465209252852806757305064
5/11:
0.5703357427618896014945462898822639522833225413654388749261708342010305556165997238879960465197906295
-5/11:
-1.177971425077828742302041625872277191106334099394836122726459257938040567375442189974379892471247526
6/11:
0.6553619082555045910312917074610561422269992339384972106068740753952927659578911433589534408620858075
-6/11:
-1.629664257238110398505453710117736047716677458634561125073829165798969444383400276112003953480209370
7/11:
0.7340223707741072021866661582288322560366722373088352523596941403968358657807820505032861478956980650
-7/11:
-2.272123492595147554737285176087162140014183487200861191286296064688822138598859131118704322178420730
8/11:
0.8071754653401557958906532298079135424471647017197858810088558192299606654619092531980670116005045308
-8/11:
-3.290030065036449927443936460131352635432588087228886907442783465395598649159015683226227201966600420
9/11:
0.8755207557459080853147247490734733603548139023176457654124724432020801180129420980668634304414901384
-9/11:
-5.235115054978547558993222583472126079859682344460538406789319223784306754603788105501864445336343148
10/11:
0.9396352530268028898116728139213751184441547792391966440224751425279643193855906611225606744175497423
-10/11:
-10.85964675709217212510950595931656883039846474332657506609540437453661962677267172713240558615775319
12/11:
1.057019909574494541557160707350097836268201923340091600571262292130047039893994939534261080508913473
-12/11:
10.83963525302680288981167281392137511844415477923919664402247514252796431938559066112256067441754974
13/11:
1.111038791175298594852931262681720073986471501693307747056834622369539399242365740651981708509810698
-13/11:
5.153298533523685863092502526851251138132591680095423543190250220979857895790719875844641208219267916
14/11:
1.162350887344502453508444492249599745519792865152065473509597486985353731793365269154725178985780532
-14/11:
3.098842132006822462557319896474580209113831368386452547675522485896627332128575919864733678267171197
15/11:
1.211209840738185778596048157246171193319149846132472142047037268644511194734474202214629011154912603
-15/11:
1.912593799345535773615237586800260827465243665880263823788265568968264437209353479074714719324269494
16/11:
1.257835742761889601494546289882263952283322541365438874926170834201030555616599723887996046519790630
-16/11:
1.022028574922171257697958374127722808893665900605163877273540742061959432624557810025620107528752474
17/11:
1.302420731784916355737174060402232612815234528056144269430403487159998648310832319829541676156203455
-17/11:
0.2036690760952229348278796232155972856166558746987722082595041675343638889499330572213293798531239629
18/11:
1.345133481885218313297777269339943367147783348419946363470805251507946976891893161614397259006809176
-18/11:
-0.7006949211665761261658566046585907114427549157722897627148674932602507100274305596901328936069921589
19/11:
1.386122833761208427469600598228966174026112070140838512587803187651013297040856621619119643179451899
-19/11:
-1.915030065036449927443936460131352635432588087228886907442783465395598649159015683226227201966600420
20/11:
1.425520755745908085314724749073473360354813902317645765412472443202080118012942098066863430441490138
-20/11:
-4.012892832756325336771000361249903857637460122238316184567097001562084532381565883279642223114120926
21/11:
1.463444776836326699335482337730898927967964303048720453546284666337488128909400184932084483941359266
-21/11:
-9.759646757092172125109505959316568830398464743326575066095404374536619626772671727132405586157753194
23/11:
1.535280779139711932861508533437054358007332358122700296223436205173525300763560156925565428335000430
-23/11:
11.75630191969346955647833948058804178511082144590586331068914180919463098605225732778922734108421641
24/11:
1.569372124508631928186264596015053407319804835026641080390167955702872732575699073985315041843144032
-24/11:
5.999452379677532016938656373005097291978745526249269697036404067133704049636873721998487362065421762
25/11:
1.602350887344502453508444492249599745519792865152065473509597486985353731793365269154725178985780532
-25/11:
3.884556417721108176843034182188865923399545654100738261961236771610913046414290205579019392552885483
26/11:
1.634286763815108855519125080323094270242226769209395218970114191721434271657551125291552088077989526
-26/11:
2.645927132678869106948570920133594160798576999213597157121598902301597770542686812408048052657602827
27/11:
1.665243150169297008901953697289671359690729948772846282333578241608437963024007131295403453927198037
-27/11:
1.709528574922171257697958374127722808893665900605163877273540742061959432624557810025620107528752474
28/11:
1.695277874642059212880031203259375469958091670913287126573260630017141505453689462686684533299060597
-28/11:
0.8507278996246346995337619761567737562048911688164192670830335792990697713028742336919176151472416099
29/11:
1.724443826712804520194328993477874401630541969109601535884598354956222838960858678855776569351636762
-29/11:
-0.08958381005546501505474549354747960033164380466117865160375638214913959891631944857902178249588104779
30/11:
1.752789500427875094136267264895632840692778736807505179254469854317679963707523288285786309846118566
-30/11:
-1.336082696615397295864989091710300003853640718807834275863836096974546017580068314805174570387653052
31/11:
1.780359465423327440153434426492828199064491321672484475089891798040789795432296936776540849796328848
-31/11:
-3.462892832756325336771000361249903857637460122238316184567097001562084532381565883279642223114120926
32/11:
1.807194776836326699335482337730898927967964303048720453546284666337488128909400184932084483941359266
-32/11:
-9.235837233282648315585696435507045020874655219517051256571594850727095817248862203322881776633943670
34/11:
1.858810190904417815214449709907642593301450005181523825635200911055878241940030745160859545982059253
-34/11:
12.23456278925868694778268730667499830684995188068847200634131572223810924692182254518053168891030337
35/11:
1.883657838794346213900550310300767693034090549312355366104453669988587018289984788271029327557429746
-35/11:
6.457785713010865350271989706338430625312078859582603030369737400467037382970207055331820695398755096
36/11:
1.907906442900058009064000047805155301075348420707621029065153042540909287348920824710280734541336088
-36/11:
4.324556417721108176843034182188865923399545654100738261961236771610913046414290205579019392552885483
37/11:
1.931584061112406152816422377620391567539524066506692516267411489018731568954848422588849385375286823
-37/11:
3.069004055755792183871647843210517237721653922290520234044675825378520847465763735484971129580679750
38/11:
1.954716834379823324691427381500197675480203632983372598123051925818964278813480815505929769716671721
-38/11:
2.116935982329578665105365781535130216301073308012571284680948149469366840031965217433027514936159882
39/11:
1.977329156693341264162082485310657521240142952964569177855311912068423556735740744737966584581111879
-39/11:
1.243585042481777556676619119013916613347748311673562124225890722156212628445731376549060472290098753
40/11:
1.999443826712804520194328993477874401630541969109601535884598354956222838960858678855776569351636762
-40/11:
0.2897265347721211918418062305904514341511148160284765208100367212991362631526460686623575278489465384
41/11:
2.021082183354704362428950191724901133375705566075797862181299122610362890536791580968713139114411249
-41/11:
-0.9694160299487306291983224250436333371869740521411676091971694303078793509134016481385079037209863853
42/11:
2.042264227328089344915339188397590103826396083577246379851796559945551700194201698681302754558233610
-42/11:
-3.108054123078905981932290683830549018927782702883477474889677646723374854962211044569964803759282216
43/11:
2.063008730324698792358738151684387300060987558862673941918377689593302082397772277955340297894847638
-43/11:
-8.892087233282648315585696435507045020874655219517051256571594850727095817248862203322881776633943670
1/12:
0.1293103364740404777083922458577277835741117958293640946444344648934111483225303196323889847344764428
-1/12:
-0.1461062636437194935840862146567992511793506611422025366960215443265864957259900320591663999451089147
5/12:
0.5327844069823721146771925480666299256360769257906443834775132926181114276310564888555141381615810296
-5/12:
-1.025428378540694960179755458300831502821783019737365701282252328930625303175587164940791175790365341
7/12:
0.6888573357450193255345302559848827828925026945483485844320333853550889825386985493449231099239203733
-7/12:
-1.867215593017627885322807451933370074363923074209355616522486707381888572368943511144485861838418970
11/12:
0.9448028272653714155068228762522916579115584297668883723948875465825044133649190588499245091458001762
-11/12:
-11.87068966352595952229160775414227221642588820417063590535556553510658885167746968036761101526552356
13/12:
1.052387259550963554631469168934650860497188718906287171567511387970334225245607242709312061657553366
-13/12:
11.85389373635628050641591378534320074882064933885779746330397845567341350427400996794083360005489109
17/12:
1.238666759923548585265427842184276984459606337555350265830454469088699662925174135914337667573345736
-17/12:
1.374571621459305039820244541699168497178216980262634298717747671069374696824412835059208824209634659
19/12:
1.320436283113440378166109203353303835524081641916769637063612332723510035170277496713344162555499321
-19/12:
-0.1529298787319135996085217376476557886496373599236413308082009930961742866546577968587715761241332561
23/12:
1.466541957700154024202475050165335136172427994984279676742713633539026152495353841458620161319713220
-23/12:
-10.77978057261686861320069866323318130733497911326154499626465644419749794258656058945852010617461447
25/12:
1.532387259550963554631469168934650860497188718906287171567511387970334225245607242709312061657553366
-25/12:
12.77697065943320358333899070842012382574372626193472054022705537875033658119708689101775667697796801
29/12:
1.652459863371824447334393359425656294804433923762246817554592400123182421545863791086751460676794011
-29/12:
2.080453974400481510408479835816815556001746392027340181070688847539962932118530482118032353621399365
31/12:
1.707533057306988765262883396901690932298275190303866411257160719820284228718664593487537710942596095
-31/12:
0.4786490686365074530230572097207652639819415874447797218233779542722467659769211505096494765074456913
35/12:
1.809399100557296881345332193022477993315285137841422533885570776396169009638210984315763018462570363
-35/12:
-10.25804144218208600450504648932013782907410954804415369191683035724097620345612580684982445400070142
37/12:
1.856711583875287878955793493258975184821513043230611495891835712294658549569931567033636385981877690
-37/12:
13.25697065943320358333899070842012382574372626193472054022705537875033658119708689101775667697796801
41/12:
1.945142790201092740017320188693948977731263192054929744383860692806109250814156474013580728969476938
-41/12:
2.494247077848757372477445353058194866346573978234236732794826778574445690739220137290446146724847641
43/12:
1.986602824748849230379162466669132792763391469373633853117625836099353996160525058603816780710037955
-43/12:
0.8657458428300558401198314032691523607561351358318764960169263413690209595253082472838430248945424655
47/12:
2.064718249493467094111289639830988631613157478266954448779187797672764754319062048145550252505123554
-47/12:
-9.915184299324943147362189346462994971931252405187010834773973214383833346313268663992681596857844280
Definition
Listed are values of the harmonic-number continuation $H_x=\psi(x+1)+\gamma$ [4] at rational arguments $x$, where $\psi=\Gamma'/\Gamma$ is the digamma function and $\gamma$ is the Euler-Mascheroni constant.
Parameters
$x$
—   argument ($x\in\mathbb{Q}$ and $x$ is not a negative integer)
Formulas
(1)
$H_x=\psi(x+1)+\gamma$.
(2)
$H_x=H_{x-1}+1/x$ when both sides are finite [2].
Comments
(3)
$H_x$ is the analytic continuation $H_x=\psi(x+1)+\gamma$, so $H_n=\sum_{k=1}^{n}1/k$ for nonnegative integers $n$.
(4)
For a nonnegative integer $n$, the row $H_n$ is the exact rational number $\sum_{k=1}^{n}1/k$.
Programs
(P1)
Sage
import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.rational_field import QQ
from sage.rings.real_arb import RealBallField

RBF = RealBallField(numberdb.bits(100, losing=96))
x = QQ(1) / QQ(3)
RBF(x + 1).psi() + RBF.euler_constant()  # H_{1/3}
Links
Similar tables
Values of the digamma function $\psi(x)$ at rational numbers —   $H_x=\psi(x+1)+\gamma$; that table gives the unshifted digamma values, while this table gives the shifted harmonic-number continuation
Stieltjes constants —   its row $\gamma_0$ is the Euler-Mascheroni constant $\gamma$ in $H_x=\psi(x+1)+\gamma$
Data properties
Entries are of type: real number
How well the digits are known: proven
How they were obtained:

Each non-exact value is computed as a Sage real ball with arb at numberdb.bits(digits, losing=96) bits, using exact rational arguments.

more

The entries were checked against the defining relation (1), the recurrence in (2), and the exact rational values of $H_n$ for nonnegative integers $n$.

Table is complete: no (it holds $H_x$ for every rational argument $x=a/b$ in lowest terms with $b\leq12$ and $-4<x\leq4$ at which $H_x$ is finite; arguments outside $0<x\leq1$ are included because, for positive integers $k$, the differences $H_{x+k}-H_x=\sum_{j=1}^{k}1/(x+j)$ are rational whenever both sides are finite)


API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.