NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Values of the digamma function $\psi(x)$ at rational numbers
edit · history · discussion · files · short url · special functions special values
Numbers
$x$ 
$\psi(x)$
1:
-0.5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495
comment: $-\gamma$.
2:
0.4227843350984671393934879099175975689578406640600764011942327651151322732223353290630529367082532505
3:
0.9227843350984671393934879099175975689578406640600764011942327651151322732223353290630529367082532505
4:
1.256117668431800472726821243250930902291173997393409734527566098448465606555668662396386270041586584
1/2:
-1.963510026021423479440976332998755567193159604660434107047127253871654970717054102148673717284584125
comment: $-\gamma-2\log 2$.
-1/2:
0.03648997397857652055902366700124443280684039533956589295287274612834502928294589785132628271541587540
3/2:
0.03648997397857652055902366700124443280684039533956589295287274612834502928294589785132628271541587540
-3/2:
0.7031566406452431872256903336679110994735070620062325596195394127950116959496125645179929493820825421
5/2:
0.7031566406452431872256903336679110994735070620062325596195394127950116959496125645179929493820825421
-5/2:
1.103156640645243187225690333667911099473507062006232559619539412795011695949612564517992949382082542
7/2:
1.103156640645243187225690333667911099473507062006232559619539412795011695949612564517992949382082542
-7/2:
1.388870926359528901511404619382196813759221347720518273905253698509297410235326850232278663667796828
1/3:
-3.132033780020806322996419074287268854155428296720418064192751203035170757168755063089433189618374967
comment: $-\gamma-\pi/(2\sqrt{3})-(3/2)\log 3$.
-1/3:
1.681765584213411527597659183354886878128637951372322511377133732352952423957598820594691798593685202
2/3:
-1.318234415786588472402340816645113121871362048627677488622866267647047576042401179405308201406314798
comment: $-\gamma+\pi/(2\sqrt{3})-(3/2)\log 3$.
-2/3:
-1.632033780020806322996419074287268854155428296720418064192751203035170757168755063089433189618374967
4/3:
-0.1320337800208063229964190742872688541554282967204180641927512030351707571687550630894331896183749671
-4/3:
2.431765584213411527597659183354886878128637951372322511377133732352952423957598820594691798593685202
5/3:
0.1817655842134115275976591833548868781286379513723225113771337323529524239575988205946917985936852017
-5/3:
-1.032033780020806322996419074287268854155428296720418064192751203035170757168755063089433189618374967
7/3:
0.6179662199791936770035809257127311458445717032795819358072487969648292428312449369105668103816250329
-7/3:
2.860337012784840099026230611926315449557209379943751082805705160924380995386170249166120370022256630
8/3:
0.7817655842134115275976591833548868781286379513723225113771337323529524239575988205946917985936852017
-8/3:
-0.6570337800208063229964190742872688541554282967204180641927512030351707571687550630894331896183749671
10/3:
1.046537648550622248432152354284159717273143131851010507235820225536257814259816365481995381810196461
-10/3:
3.160337012784840099026230611926315449557209379943751082805705160924380995386170249166120370022256630
11/3:
1.156765584213411527597659183354886878128637951372322511377133732352952423957598820594691798593685202
-11/3:
-0.3843065072935335957236918015599961268827010239931453369200239303078980298960277903621604623456476944
1/4:
-4.227453533376265408089530146096683577367244438708242271655279559518956795829853317068554456952061346
-1/4:
2.914139120213527830373113237182819306829924960666863549319665032788859610456355681559480368390055722
3/4:
-1.085860879786472169626886762817180693170075039333136450680334967211140389543644318440519631609944278
-3/4:
-2.894120200042932074756196812763350244033911105374908938321946226185623462496519983735221123618728013
5/4:
-0.2274535333762654080895301460966835773672444387082422716552795595189567958298533170685544569520613461
-5/4:
3.714139120213527830373113237182819306829924960666863549319665032788859610456355681559480368390055722
7/4:
0.2474724535468611637064465705161526401632582940001968826529983661221929437896890148928137017233890552
-7/4:
-2.322691628614360646184768241334778815462482533946337509750517654757052033925091412306649695047299441
9/4:
0.5725464666237345919104698539033164226327555612917577283447204404810432041701466829314455430479386539
-9/4:
4.158583564657972274817557681627263751274369405111307993764109477233304054900800126003924812834500166
11/4:
0.8189010249754325922778751419447240687346868654287683112244269375507643723611175863213851302948176266
-11/4:
-1.959055264977997009821131877698415179098846170309973873386881291120688397561455048670286058683663078
13/4:
1.016990911068179036354914298347760867077200005736202172789164884925487648614591127375889987492383098
-13/4:
4.466275872350279967125249989319571443582061712803615686071801784925611747208492433696232505142192474
15/4:
1.182537388611796228641511505581087705098323229065131947588063301187128008724753949957748766658453990
-15/4:
-1.692388598311330343154465211031748512432179503643307206720214624454021730894788382003619392016996411
1/5:
-5.289039896592188295547207962449952104825588274206642810175858664191624754091619652546577824319570362
-1/5:
4.034991433293861540608702366843164580365839510304777170890189205755038792614315995693623340760077948
2/5:
-2.561384544585116145730675482047528455826361096510810157233953675212611042930541383972160692353613817
-2/5:
0.9593807861068095852393360511937680584894657453103927917333147367388311587588975339266575322802211799
3/5:
-1.540619213893190414760663948806231941510534254689607208266685263261168841241102466073342467719778820
-3/5:
-0.8947178779184494790640088153808617891596944298441434905672870085459443762638747173054940256869471507
4/5:
-0.9650085667061384593912976331568354196341604896952228291098107942449612073856840043063766592399220521
-4/5:
-4.039039896592188295547207962449952104825588274206642810175858664191624754091619652546577824319570362
6/5:
-0.2890398965921882955472079624499521048255882742066428101758586641916247540916196525465778243195703624
-6/5:
4.868324766627194873942035700176497913699172843638110504223522539088372125947649329026956674093411281
7/5:
-0.06138454458511614573067548204752845582636109651081015723395367521261104293054138397216069235361381741
-7/5:
1.673666500392523870953621765479482344203751459596107077447600451024545444473183248212371817994506894
8/5:
0.1260474527734762519060027178604347251561324119770594583999814034054978254255642005933241989468878466
-8/5:
-0.2697178779184494790640088153808617891596944298441434905672870085459443762638747173054940256869471507
9/5:
0.2849914332938615406087023668431645803658395103047771708901892057550387926143159956936233407600779479
-9/5:
-3.483484341036632739991652406894396549270032718651087254620303108636069198536064096991022268764014807
11/5:
0.5442934367411450377861253708833812285077450591266905231574746691417085792417136807867555090137629709
-11/5:
5.322870221172649419396581154721952459153718298183565049678067993633826671402194783572411219547956736
12/5:
0.6529011697005981399836102322381858298879246177749041284803320390731032427837443303135535933606718969
-12/5:
2.090333167059190537620288432146149010870418126262773744114267117691212111139849914879038484661173561
13/5:
0.7510474527734762519060027178604347251561324119770594583999814034054978254255642005933241989468878466
-13/5:
0.1148975066969351363206065692345228262249209547712411248173283760694402391207406673098905896976682339
14/5:
0.8405469888494170961642579223987201359213950658603327264457447613105943481698715512491788963156335034
-14/5:
-3.126341483893775597134509549751539406412889861508230111763160251493212055678921239848165125906871950
16/5:
0.9988388912865995832406708254288357739622905136721450686120201236871631246962591353322100544683084255
-16/5:
5.635370221172649419396581154721952459153718298183565049678067993633826671402194783572411219547956736
17/5:
1.069567836367264806650276898904852496554591284441570795146998705739769909450410996980220260027338564
-17/5:
2.384450814118014067032053138028501952046888714498067861761325941220623875845732267820214955249408855
18/5:
1.135662837388860867290618102475819340540747796592444073784596788020882440810179585208708814331503231
-18/5:
0.3926752844747129140983843470123006040026987325490189025951061538472180168985184450876683674754460116
19/5:
1.197689845992274239021400779541577278778537923003189869302887618453451491027014408392036039172776361
-19/5:
-2.863183589156933491871351655014697301149731966771388006500002356756369950415763345111323020643714055
1/6:
-6.332127505374914792424961574845777722590494813533669148003996157410081182234498377985284831823272511
-1/6:
5.109270587327738759357273198080689474261703930744552578705658648754288361144563273067090132812907996
5/6:
-0.8907294126722612406427268019193105257382960692554474212943413512457116388554367269329098671870920045
-5/6:
-5.132127505374914792424961574845777722590494813533669148003996157410081182234498377985284831823272511
7/6:
-0.3321275053749147924249615748457777225904948135336691480039961574100811822344983779852848318232725111
-7/6:
5.966413444470595902214416055223546617118846787887409721562801505897145504001706130209947275670050853
11/6:
0.3092705873277387593572731980806894742617039307445525787056586487542883611445632730670901328129079955
-11/6:
-4.586672959920369337879507029391232268045040268079123693458541611955535727689043832530739377277817966
13/6:
0.5250153517679423504321812822970794202666480436091879948531466997327759606226444791575723110338703461
-13/6:
6.427951906009057440675954516762008155580385249425871260024339967435607042463244591748408814131589314
17/6:
0.8547251327822842139027277435352349288071584761990980332511131942088338156900178185216355873583625410
-17/6:
-4.233731783449781102585389382332408738633275562196770752282071023720241610041985009001327612571935613
19/6:
0.9865538133064038888937197438355409587281865051476495333146851612712374990841829406960338494954088076
-19/6:
6.743741379693267966991743990446218681896174723110081786340129441119817568779034065432619340447378788
23/6:
1.207666309252872449196845390594058458218923182081450974427583782444127933337076642051047352064244894
-23/6:
-3.972862218232389798237563295375886999502840779588075100108157980241980740476767617696979786484979091
1/7:
-7.363980242224343198549515303016881047819916235590324152184038239257678757463376966252808194240425400
-1/7:
6.159604122269327023116068803242711772397080525239747940707203348947489018900458032311292504109976274
2/7:
-3.685517980285815333623031439159938136381769588515172659843971616231519586387877665609450371438828900
-2/7:
2.319818559660501245155322279553838671680376777971296524178290725435508802663331764501509487751428115
3/7:
-2.365818757294982597213473412272116185960560462989704269607452953314524403259775732693132927212365010
-3/7:
0.6845625984122558950714206603890455657055731945049200380329676088817928589501010009406309644979670676
4/7:
-1.648770734921077438261912672944287767627760138828413295300365724451540474383232332392702368835366266
-4/7:
-0.6158187572949825972134734122721161859605604629897042696074529533145244032597757326931329272123650096
5/7:
-1.180181440339498754844677720446161328319623222028703475821709274564491197336668235498490512248571885
-5/7:
-2.285517980285815333623031439159938136381769588515172659843971616231519586387877665609450371438828900
6/7:
-0.8403958777306729768839311967572882276029194747602520592927966510525109810995419676887074958900237262
-6/7:
-6.197313575557676531882848636350214381153249568923657485517371572591012090796710299586141527573758733
8/7:
-0.3639802422243431985495153030168810478199162355903241521840382392576787574633769662528081942404253996
-8/7:
7.034604122269327023116068803242711772397080525239747940707203348947489018900458032311292504109976274
9/7:
-0.1855179802858153336230314391599381363817695885151726598439716162315195863878776656094503714388288997
-9/7:
3.097596337438279022933100057331616449458154555749074301956068503213286580441109542279287265529205893
10/7:
-0.03248542396164926388014007893878285262722712965637093627411961998119106992644239935979959387903167624
-10/7:
1.384562598412255895071420660389045565705573194504920038032967608881792858950101000940630964497967068
11/7:
0.1012292650789225617380873270557122323722398611715867046996342755484595256167676676072976311646337342
-11/7:
0.02054487906865376642289022409152017767580317337393209402891068304911196037658790367050343642399862679
12/7:
0.2198185596605012451553222795538386716803767779712965241782907254355088026633317645015094877514281148
-12/7:
-1.702184646952482000289698105826604803048436255181839326510638282898186253054544332276117038105495566
13/7:
0.3262707889359936897827354699093784390637471919064146073738700156141556855671246989779591707766429405
-13/7:
-5.658852037096138070344387097888675919614788030462119023978910034129473629258248761124603066035297195
15/7:
0.5110197577756568014504846969831189521800837644096758478159617607423212425366230337471918057595746004
-15/7:
7.501270788935993689782735469909378439063747191906414607373870015614155685567124698977959170776642940
16/7:
0.5922597974919624441547463386178396413960081892626051179338061615462581913899001121683274063389488781
-16/7:
3.535096337438279022933100057331616449458154555749074301956068503213286580441109542279287265529205893
17/7:
0.6675145760383507361198599210612171473727728703436290637258803800188089300735576006402004061209683238
-17/7:
1.796327304294608836247891248624339683352632018034331802738849961822969329538336295058278023321496479
18/7:
0.7375929014425589253744509634193485960086034975352230683359979119120958892531313039709339948009973706
-18/7:
0.4094337679575426553117791129804090665646920622628209829177995719380008492654767925593923253128875157
19/7:
0.8031518929938345784886556128871720050137101113046298575116240587688421359966650978348428210847614482
-19/7:
-1.333763594320903052921277053195025855680015202550260379142217230266607305686123279644538090737074514
20/7:
0.8647323273975321513211970083709169006022087303679530689123315540756941471055862374394976323151044789
-20/7:
-5.308852037096138070344387097888675919614788030462119023978910034129473629258248761124603066035297195
22/7:
0.9776864244423234681171513636497856188467504310763425144826284274089879092032897004138584724262412670
-22/7:
7.819452607117811871600917288091196620881929010088232789192051833795973867385306517159777352594824759
23/7:
1.029759797491962444154746338617839641396008189262605117933806161546258191389900112168327406338948878
-23/7:
3.839444163525235544672230492114225145110328468792552562825633720604590928267196498801026395963988501
24/7:
1.079279281920703677296330509296511265019831693873040828431762732959985400661792894757847464944497736
-24/7:
2.087993970961275502914557915291006350019298684700998469405516628489635996205002961724944689988163146
25/7:
1.126481790331447814263339852308237484897492386424111957224886800800984778142020192859822883689886259
-25/7:
0.6894337679575426553117791129804090665646920622628209829177995719380008492654767925593923253128875157
26/7:
1.171572945625413525857076665518750952382131163936208804880045111400421083365086150466421768453182501
-26/7:
-1.064532825090133822152046283964256624910784433319491148372986461035838074916892510413768859967843745
27/7:
1.214732327397532151321197008370916900602208730367953068912331554075694147105586237439497632315104479
-27/7:
-5.049592777836878811085127838629416660355528771202859764719650774870214369998989501865343806776037935
1/8:
-8.388492663295854867802742923086343000051446042449477143116086924682907823443313348897419397802115908
-1/8:
7.195982928452304617675781450253853582760345046301318900944253274581343375942369560305942362304766397
3/8:
-2.753999049145139575764019218804568105251495393688102310546283227990411398969047628398708279517492328
-3/8:
1.213957902090100099455885054643289375832623562979148758230834453324873654510883950215250496571822508
5/8:
-1.452708764576566567210781612023377290834043103687517908435832213341793012155782716451416170094844159
-5/8:
-1.153999049145139575764019218804568105251495393688102310546283227990411398969047628398708279517492328
7/8:
-0.8040170715476953823242185497461464172396549536986810990557467254186566240576304396940576376952336031
-7/8:
-7.245635520438712010659885780229200142908588899592334285973229781825764966300456206040276540659258766
9/8:
-0.3884926632958548678027429230863430000514460424494771431160869246829078234433133488974193978021159085
-9/8:
8.084871817341193506564670339142742471649233935190207789833142163470232264831258449194831251193655286
11/8:
-0.08733238247847290909735255213790143858482872702143564387961656132374473230238096173204161285082566157
-11/8:
1.941230629362827372183157781916016648559896290251876030958107180597600927238156677487977769299095235
13/8:
0.1472912354234334327892183879766227091659568963124820915641677866582069878442172835485838299051558411
-13/8:
-0.5386144337605241911486346034199527206361107783034869259308986126057960143536630130140928949021077128
15/8:
0.3388400713094474748186385931109964399032021891584617580871104174384862330852267031630852194476235397
-15/8:
-6.712302187105378677326552446895866809575255566259000952639896448492431632967122872706943207325925432
17/8:
0.5003962255930340210861459658025458888374428464394117457728019642059810654455755399914694910867729804
-17/8:
8.555460052635311153623493868554507177531586876366678378068436281117291088360670213900713604134831756
19/8:
0.6399403447942543636299201751348258341424440002512916288476561659489825404248917655406856598764470657
-19/8:
2.362283260941774740604210413494964016980948921830823399379159812176548295659209309066925137720147867
21/8:
0.7626758508080488174046030033612380937813415116970974761795524020428223724596018989331992145205404565
-21/8:
-0.1576620528081432387676822224675717682551583973511059735499462316534150619727106320617119425211553319
23/8:
0.8721734046427808081519719264443297732365355224917950914204437507718195664185600364964185527809568730
-23/8:
-6.364476100148856938196117664287171157401342522780740083074679057188083806880166350967812772543316737
25/8:
0.9709844608871516681449694952143105947197957876158823340080960818530398889749873046973518440279494510
-25/8:
8.875460052635311153623493868554507177531586876366678378068436281117291088360670213900713604134831756
27/8:
1.060992976373201732050972806713773202563496631830238997268708797527929908845944397119633028297499697
-27/8:
2.658579557238071036900506709791260313277245218127119695675456108472844591955505605363221434016444163
29/8:
1.143628231760429769785555384313619046162293892649478428560504782995203324840554279885580166901492837
-29/8:
0.1182000161573740026116281223600144386413933267868250609328123890362401104410824713865639195478101853
31/8:
1.219999491599302547282406709053025425410448565970055960985661142076167392505516558235548987563565569
-31/8:
-6.106411584019824680131601535254913092885213490522675566945646799123567677847908286451683740285252221
1/9:
-9.407943277131831913203754029332698875242224004584365553077607277813615212338071819217210848857999486
-1/9:
8.223511599730652309467135731045091841939410224193207307857263757421659847000012966079308562508489955
2/9:
-4.761235072755230770840259411527150173138548530736226817156842845445622383573776276062641677491036061
-2/9:
3.482769258627982656593398644841076800642298936668500850101154250135441270253050604904670728120931400
4/9:
-2.266764187562898786564637549137761601808831495713637844805883582339821209077070875576606712559253082
-4/9:
0.5371833596604839699803655197791418516425804871917386882268972841703369287907328711465612463224054445
5/9:
-1.712816640339516030019634480220858148357419512808261311773102715829663071209267128853438753677594555
-5/9:
-0.4667641875628987865646375491377616018088314957136378448058835823398212090770708755766067125592530819
7/9:
-1.017230741372017343406601355158923199357701063331499149898845749864558729746949395095329271879068600
-7/9:
-3.475520787040945056554545125812864458852834245021941102871128559731336669288061990348355963205321775
8/9:
-0.7764884002693476905328642689549081580605897758067926921427362425783401529999870339206914374915100447
-8/9:
-8.282943277131831913203754029332698875242224004584365553077607277813615212338071819217210848857999486
10/9:
-0.4079432771318319132037540293326988752422240045843655530776072778136152123380718192172108488579994858
-10/9:
9.123511599730652309467135731045091841939410224193207307857263757421659847000012966079308562508489955
11/9:
-0.2612350727552307708402594115271501731385485307362268171568428454456223835737762760626416774910360610
-11/9:
4.300951076809800838411580463022894982460480754850319031919336068317259452071232423086488909939113218
13/9:
-0.01676418756289878656463754913776160180883149571363784480588358233982120907707087557660671255925308188
-13/9:
1.229491051968176277672673212086834159334888179499430995919204976478029236483040563454253554014713137
14/9:
0.08718335966048396998036551977914185164258048719173868822689728417033692879073287114656124632240544455
-14/9:
0.1760929552942440705782195937193812553340256471435050123369735605173216480657862672805361445836040610
16/9:
0.2684835443422683708791129305553625149280132223827865643868685358497269845387648906189564424066456856
-16/9:
-2.913020787040945056554545125812864458852834245021941102871128559731336669288061990348355963205321775
17/9:
0.3485115997306523094671357310450918419394102241932073078572637574216598470000129660793085625084899553
-17/9:
-7.753531512425949560262577558744463581124576945760836141312901395460674035867483583923093201799175956
19/9:
0.4920567228681680867962459706673011247577759954156344469223927221863847876619281807827891511420005142
-19/9:
9.597195810256968098940819941571407631413094434719523097330947967947975636473697176605624351982174166
20/9:
0.5569467454265874109779224066546680086796332874455913646613389727361957982444055421191765043271457572
-20/9:
4.750951076809800838411580463022894982460480754850319031919336068317259452071232423086488909939113218
22/9:
0.6755435047447935211276701431699307058834761965940544628864241099678710986152368167310855951330546104
-22/9:
1.638581961059085368581764121177743250243979088590340086828295885568938327392131472545162644923804046
23/9:
0.7300405025176268271232226626362847087854376300488815453697544270274797859335900140037041034652625874
-23/9:
0.5673973031203310270999587241541638640296778210565484905978431257347129524136123542370578837140388436
25/9:
0.8309835443422683708791129305553625149280132223827865643868685358497269845387648906189564424066456856
-25/9:
-2.553020787040945056554545125812864458852834245021941102871128559731336669288061990348355963205321775
26/9:
0.8779233644365346624083122016333271360570572830167367196219696397746010234706012013734262095673134847
-26/9:
-7.407377666272103406416423712590617427278423099606989987466747549306827882021329737769247047953022110
28/9:
0.9657409333944838762699301811936169142314602059419502363960769327127005771356123913091049406156847248
-28/9:
9.918624381685539527512248512999979059984523006148094525902376539376547065045125748034195780553602737
29/9:
1.006946745426587410977922406654668008679633287445591364661338972736195798244405542119176504327145757
-29/9:
5.061295904396007734963304600953929465219101444505491445712439516593121521036749664465799254766699425
31/9:
1.084634413835702612036761052260839796792567105684963553795515019058780189524327725821994686042145520
-31/9:
1.928904541704246658904344766339033572824624249880662667473457175891518972553421795125807806214126627
32/9:
1.121344850343713783644961793071067317481089803961925023630623992244871090281416100960225842595697370
-32/9:
0.8486473031203310270999587241541638640296778210565484905978431257347129524136123542370578837140388436
34/9:
1.190983544342268370879112930555362514928013222382786564386868535849726984538764890618956442406645686
-34/9:
-2.288314904688003880083956890518746811794010715610176396988775618554866081052767872701297139675910011
35/9:
1.224077210590380816254466047787173289903211129170582873468123485928447177316755047527272363413467331
-35/9:
-7.150234809129246263559280855447760284421280242464132844609604692163970739164186880626389905095879253
1/10:
-10.42375494041107679516821621901002540429164256244418892032639208410886791088152627023153983491219928
-1/10:
9.245073050052948608113615972817504480407039848399853990772972067735901384219783944147680719880932338
3/10:
-3.502524222200132988964494507371981599537908288404502095664919751264163719035910359052034930192472963
-3/10:
2.113309779635398718584726088771875390355199145797845320799924628112948757624480786723863118952838686
7/10:
-1.220023553697934614748607244561457942978134187535488012533408705220384575708852546609470214380494647
-7/10:
-2.073952793628704417535923078800553028109336859833073524236348322692735147607338930480606358763901535
9/10:
-0.7549269499470513918863840271824955195929601516001460092270279322640986157802160558523192801190676619
-9/10:
-9.312643829299965684057105107898914293180531451333077809215280972997756799770415159120428723801088169
11/10:
-0.4237549404110767951682162190100254042916425624441889203263920841088679108815262702315398349121992798
-11/10:
10.15416395914385769902270688190841357131613075749076308168206297682681047512887485323858981079002325
13/10:
-0.1691908888667996556311611740386482662045749550711687623315864179308303857025770257187015968591396298
-13/10:
2.882540548866167949353956858002644621124429915028614551569155397343717988393711555954632349722069455
17/10:
0.2085478748734939566799641840099706284504372410359405588951627233510439957197188819619583570480767811
-17/10:
-1.485717499511057358712393667035847145756395683362485288942230675633911618195574224598253417587430946
19/10:
0.3561841611640597192247270839286155915181509595109651018840831788470124953308950552587918309920434492
-19/10:
-8.786328039826281473530789318425230082654215661859393598688965183524072589244099369646744513274772379
21/10:
0.4853359686798322957408746900808836866174483466467201705826988249820411800275646388593692559968916293
-21/10:
10.63035443533433388949889735809888976179232123368123927215825345301728666560506532942906600126621372
23/10:
0.6000398803639695751380695951921209645646558141596004684376443512999388450666537435120676339100911394
-23/10:
3.317323157561820123267000336263514186341821219376440638525677136474152771002407208128545393200330325
27/10:
0.7967831689911410155034935957746765108033784175065287941892803704098675251314835878443112982245473693
-27/10:
-1.115347129140686988342023296665476775386025312992114918571860305263541247825203854227883047217060576
29/10:
0.8824999506377439297510428734022998020444667489846493124103989683206967058572108447324760415183592386
-29/10:
-8.441500453619384921806651387390747324033526006686979805585516907662003623726857990336399685688565483
31/10:
0.9615264448703084862170651662713598770936388228371963610588893011725173705037551150498454464730821055
-31/10:
10.95293508049562421207954251938921234243748252400381991731954377559793182689538791007422729158879437
33/10:
1.034822489059621749051113073452990529782047118507426555394166090430373627675349395685980677388352009
-33/10:
3.620353460592123153570030639293817216644851522406743668828707439504455801305437511158848423503360628
37/10:
1.167153539361511385873863966145046881173748787876899164559650740780237895501853958214681668594917740
-37/10:
-0.8450768588704167180717530263952065051157550427218446483015900349932709775549335839576127769467903057
39/10:
1.227327536844640481475180804436782560665156404157063105513847244182765671374452224042820869104566135
-39/10:
-8.185090197209128511550241130980490913777115750276723395329106651251747213470447733926143275432155226
1/11:
-11.43686242199370498571601804939897126144062407926649866490117160942148735355033639806935264944949994
-1/11:
10.26241958812527002920516072383897268740199544329927304521670790764309659260792599018561361112580299
2/11:
-5.812330719880080419599734673554528510901841680400462005595086458669174481381452776438811508628089897
-2/11:
4.576082868622153002485990436768848707090432344155499944384482986094990169013055204907694144927521167
3/11:
-3.867245729937982788050448550213755066474747423168810506248550700280466375936680354163174265258347170
-3/11:
2.521626467105289601950807806392177778071672032446528948869755251011759605350911248927786614975424448
4/11:
-2.849339157496680415343797266169564571056342823140784790092063299573689865376523802055651385470167480
-4/11:
1.335378134444002913008725496717858396423084329940340224982498334083396710431688808137767656032522744
5/11:
-2.206879922139643259111965800200138478758836794574484723879596400683837171161064947048951016771956120
-5/11:
0.4448129100206383970914462840453203778515065646652402784677735071770917058468931390886730442370057246
6/11:
-1.755187089979361602908553715954679622148493435334759721532226492822908294153106860911326955762994275
-6/11:
-0.3735465888063099257786324668668051454255034612411513905462630673505038378277316137156176834386227866
7/11:
-1.414621865555997086991274503282141603576915670059659775017501665916603289568311191862232343967477256
-7/11:
-1.277910586068108986772368694740993142484914251712213361520634728145118436805095230627079956898738908
8/11:
-1.145040199561377064715858860274488888594994634220137717796911415654907061315755417738880051691242219
-8/11:
-2.492245729937982788050448550213755066474747423168810506248550700280466375936680354163174265258347170
9/11:
-0.9239171313778469975140095632311512929095676558445000556155170139050098309869447950923058550724788333
-9/11:
-4.590108497657858197377512451332306288679619458178239783372864236446952259159230554216589286405867675
10/11:
-0.7375804118747299707948392761610273125980045567007269547832920923569034073920740098143863888741970072
-10/11:
-10.33686242199370498571601804939897126144062407926649866490117160942148735355033639806935264944949994
12/11:
-0.4368624219937049857160180493989712614406240792664986649011716094214873535503363980693526494494999431
-12/11:
11.17908625479193669587182739050563935406866210996593971188337457430976325927459265685228027779246966
13/11:
-0.3123307198800804195997346735545285109018416804004620055950864586691744813814527764388115086280898973
-13/11:
5.422236714775999156332144282922694860936586190309346098230636832248836322859209051061540298773675013
14/11:
-0.2005790632713161213837818835470883998080807565021438395818840336137997092700136874965075985916805033
-14/11:
3.307340752819575316236522092106463492357386318160814663155469536726045319636625534642072329261138734
15/11:
-0.09933915749668041534379726616956457105634282314078479009206329957368986537652380205565138547016747984
-15/11:
2.068711467777336246342058830051191729756417663273673558315831667416730043765022141471100989365856077
16/11:
-0.006879922139643259111965800200138478758836794574484723879596400683837171161064947048951016771956119978
-16/11:
1.132312910020638397091446284045320377851506564665240278467773507177091705846893139088673044237005725
17/11:
0.07814624335397173042477961737865371118483989799857361180110684051042503918022647242200637757033905797
-17/11:
0.2735122347231018389272498860743713251627318328764956682772663444142020445252095627549705518554948604
18/11:
0.1568067058725743415801540681464298249945129013689116535539269055119681390031173795663390846039513155
-18/11:
-0.6667994749569978756612575836298820313738031406011022504095236170340073256939841195159688457876277973
19/11:
0.2299598004386229352841411397255111114050053657798622822030885843450929386842445822611199483087577813
-19/11:
-1.913298361516930156471501181792702434895800054747757874669603331859413744357732985742121633679399802
20/11:
0.2983050908443752247082126589910709293126545663777221666067052083172123912352774271299163671497433889
-20/11:
-4.040108497657858197377512451332306288679619458178239783372864236446952259159230554216589286405867675
21/11:
0.3624195881252700292051607238389726874019954432992730452167079076430965926079259901856136111258029928
-21/11:
-9.813052898184181176192208525589447451916814555456974855377362085611963544026526874259828839925690419
23/11:
0.4798042446729616809506486172676954052260425874001680017654950572451793131163302685973140172171667236
-23/11:
11.65734712435715408717617521659259587580779254474854840753554848735324152014415787424358462561855662
24/11:
0.5338231262737657342464191725993176429443121657533841482510673874846716724647010697150346452180639488
-24/11:
5.880570048109332489665477616256028194269919523642679431563970165582169656192542384394873632107008346
25/11:
0.5851352224429695929019324021671973144776335292121418747038302521004860050157005982177781156940337824
-25/11:
3.747340752819575316236522092106463492357386318160814663155469536726045319636625534642072329261138734
26/11:
0.6339941758366529179895360671637687622769905101925485432412700337596434679568095312776819478631658535
-26/11:
2.491788390854259323265135753128114806679494586350596635238908590493653120688099064548024066288933000
27/11:
0.6806200778603567408880341997998615212411632054255152761204035993161628288389350529510489832280438800
-27/11:
1.539720317428045804498853691452727785258913972072647685875180914584499113254300546496080451644413132
28/11:
0.7252050668833834951306619703198301817730751921162206706246362522751309215331676488925946128644567050
-28/11:
0.6663693775802446960701070289315141823055889757336385254201234872713449016680667056121134089983520033
29/11:
0.7679178169836854526912651792575409361056240124800227646650380166230792501142284906774501957150624266
-29/11:
-0.2874891301294116687647058594919509968910445199114470779957305135857314636250186022745895354428002111
30/11:
0.8089071688596755668630885081465637429839527342009149137820359527661455702631919506821725798877051497
-30/11:
-1.546631694850263489804834515126035768229133388081091208002936665192747077691066319075454967012733135
31/11:
0.8483050908443752247082126589910709293126545663777221666067052083172123912352774271299163671497433889
-31/11:
-3.685269787980438842538802773912951449969942038823401073695444881608242581739875715506911867051028965
32/11:
0.8862291119347938387289702476484964969258049671087968547405174314526204021317355139951374206496125166
-32/11:
-9.469302898184181176192208525589447451916814555456974855377362085611963544026526874259828839925690419
34/11:
0.9580651142381790722549964433546519269651730221827766974176689702886575739858954859886183650432536801
-34/11:
11.98087653612185996952911639306318411110191019180737193694731319323559446132062846247887874326561544
35/11:
0.9921564596070990675797525059326509762776454990867174815844007208180050057980344030483679785513972822
-35/11:
6.194855762395046775379763330541742479984205237928393717278255879867883941906828098680587917821294060
36/11:
1.025135222442969592901932402167197314477633529212141874703830252100486005015700598217778115694033782
-36/11:
4.052896308375130871792077647662019047912941873716370218711025092281600875192181090197627884816694289
37/11:
1.057071098913575994912612990240691839200067433269471620164346956836566544879886454354605024786242777
-37/11:
2.789085688151556620562433050425412103976791883647893932536205887790950417985396361845321363586230298
38/11:
1.088027485267764148295441607207268928648570612832922683527811006723570236246342460358456390635451287
-38/11:
1.829194001638572120288327375663254101048387656283174001664654598795025429043774230706606767433886816
39/11:
1.118062209740526352273519113176973038915932334973363527767493395132273778676024791749737470007313848
-39/11:
0.9484206596315267473521583109827962335876402577849205767021747693226269529501179876633954602804032853
40/11:
1.147228161811271659587816903395471970588382633169677937078831120071355112183194007918829506059890013
-40/11:
-0.01248913012941166876470585949195099689104451991144707799573051358573146362501860227458953544280021109
41/11:
1.175573835526342233529755174813230409650619400867581580448702619432812236929858617348839246554371816
-41/11:
-1.278339011923434221512151588296767475546206558812798525076107396900064150861798026392528137744440452
42/11:
1.203143800521794579546922336410425768022331985732560876284124563155922068654632265839593786504582099
-42/11:
-3.423365026075676937776898012008189545208037276918639168933540119703480676977970953602149962289124204
43/11:
1.229979111934793838728970247648496496925804967108796854740517431452620402131735513995137420649612517
-43/11:
-9.213488944695809083168952711635959079823791299643021367005269062356149590538154781236573025972202047
1/12:
-12.44790532842749238289811984422467464746804754011055950416133276999145657845513435130455807855727031
-1/12:
11.27667807145474764580940169526079831777849000291787386449821122078854577749634529700388653676314434
5/12:
-2.444431257919160745929319542015772505406082410149279215328253942266756299146608182081432925130165720
-5/12:
0.7973559565577721792137324516167660661360576443227106999119804361845069700467481641222617609178879095
7/12:
-1.602644043442227820786267548383233933863942355677289300088019563815493029953251835877738239082112090
-7/12:
-0.7301455436334464602150338277300582196917966958635649296139682279810420134323224677957186394158800056
11/12:
-0.7233219285452523541905983047392016822215099970821261355017887792114542225036547029961134632368556642
-11/12:
-11.35699623751840147380721075331558373837713844920146859507042367908236566936422526039546716946636122
13/12:
-0.4479053284274923828981198442246746474680475401105595041613327699914565784551343513045580785572703067
-13/12:
12.19975499453167072273247861833772139470156692599479694142128814386546885441942222008080961368622126
17/12:
-0.04443125791916074592931954201577250540608241014927921532825394226675629914660818208143292513016571987
-17/12:
1.503238309498948649801967745734413124959587056087416582264921612655095205340865811181085290329652615
19/12:
0.1116416708434864649280181659024803518503433586084249856262661504702212557610338784079760466321736238
-19/12:
-0.09856659626502540758345488036163716706021774849514387698238928061262096080074352042729758678430105822
23/12:
0.3675871623638385549003107861698892268693990938269647735891203116976366865872543879129774458540534267
-23/12:
-10.83525710708361886511155857940254026011626888398407729072259759212584393023379047778677151729244817
25/12:
0.4751715946494306940249570788522484294550293829663635727617441530854664984679425717723649983658066163
-25/12:
12.67975499453167072273247861833772139470156692599479694142128814386546885441942222008080961368622126
29/12:
0.6614510950220157246589157521018745534174470016154266670246872342038319361475094649773906042815989860
-29/12:
1.917031412947224511870933262975792435304414642294313133989059543689577963961555466353499083433100891
31/12:
0.7432206182119075175595971132709014044819223059768460382578450978386423083926128257763970992637525712
-31/12:
0.2885301779285229795133193131867499297139757998919528972111591064841532327476435763468959616027957160
35/12:
0.8893262927986211635959629600829327051302686590443560779369463986541584257176891705216730980279664702
-35/12:
-10.49239996422647600796870143654539740297341174112693443357974044926870107309093333492962866014959103
37/12:
0.9551715946494306940249570788522484294550293829663635727617441530854664984679425717723649983658066163
-37/12:
13.00407931885599504705680294266204571902589125031912126574561246818979317874374654440513393801054558
41/12:
1.075244198470291586727881269343253863762274587822323218748825165238314694768199120149804397385047262
-41/12:
2.209714339776492804553860092244085118231243910586996060818327836372504793229848149280328351725783818
43/12:
1.130317392405455904656371306819288501256115854363942812451393484935416501940999922550590647650849345
-43/12:
0.5675999453703834446295983829541917901790920789617203390716242227632230001895040414631750313702375764
47/12:
1.232183435655764020738820102940075562273125801901498935079803541511301282860546313378815955170823613
-47/12:
-10.23708081529030579520274398973688676467553940070140251868612342799210532841008227109984142610703784
Definition
Listed are values of the digamma function $\psi(x)=\Gamma'(x)/\Gamma(x)$ [1] at rational arguments $x$.
Parameters
$x$
—   argument ($x\in\mathbb{Q}$ and $x$ is not a non-positive integer)
Formulas
(1)
$\psi(x+1)=\psi(x)+1/x$ when both sides are finite [2].
(2)
$\psi(1-x)-\psi(x)=\pi\cot(\pi x)$ for nonintegral $x$ [2].
(3)
For integers $1\leq p<q$, $\psi(p/q)=-\gamma-\log(2q)-\frac{\pi}{2}\cot(\pi p/q) +2\sum_{n=1}^{\lfloor(q-1)/2\rfloor} \cos(2\pi pn/q)\log\sin(\pi n/q)$ [3].
(4)
For a nontrivial Dirichlet character $\chi$ modulo $q$, $L(1,\chi)=-q^{-1}\sum_{a=1}^{q}\chi(a)\psi(a/q)$, as in the table of Dirichlet $L$-values.
Comments
(5)
The symbol $\psi$ means $\Gamma'/\Gamma$, not the shifted function sometimes written $\Psi(x)=\psi(x+1)$.
(6)
For positive integers $n$, $\psi(n)=H_{n-1}-\gamma$, so these rows are real values rather than rational harmonic numbers.
Programs
(P1)
Sage
import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.rational_field import QQ
from sage.rings.real_arb import RealBallField

RBF = RealBallField(numberdb.bits(100, losing=96))
x = QQ(1) / QQ(3)
RBF(x).psi()  # psi(1/3)
Links
Similar tables
Values of the harmonic-number function $H_x$ at rational numbers —   $H_x=\psi(x+1)+\gamma$ is the shifted digamma function plus the Euler-Mascheroni constant; a reader holding a harmonic-number value is likely to want that table, while this table gives the unshifted $\psi(x)$ values
Values of the Gamma function at rational numbers —   $\psi$ is the logarithmic derivative of $\Gamma$
Zeros of the polygamma functions $\psi^{(n)}$ —   stores the real zeros of the same function and its higher derivatives
Values of the Hurwitz zeta function at pairs of rational numbers —   the Laurent expansion of $\zeta(s,x)$ at $s=1$ has constant term $-\psi(x)$
Values of Dirichlet L-functions at positive integers —   uses digamma values in the formula for $L(1,\chi)$
Stieltjes constants —   its row $\gamma_0$ is the Euler-Mascheroni constant $\gamma$ that relates $\psi$ to $H_x$
Data properties
Entries are of type: real number
How well the digits are known: proven
How they were obtained:

Each value is computed as a Sage real ball with arb at numberdb.bits(digits, losing=96) bits, using exact rational arguments.

more

The entries were checked against Gauss's digamma theorem (3), the recurrence in (1), the reflection formula in (2), and the Dirichlet $L$-value relation in (4).

Table is complete: no (it holds $\psi(x)$ for every rational argument $x=a/b$ in lowest terms with $b\leq12$ and $-4<x\leq4$ at which $\psi(x)$ is finite; arguments outside $0<x\leq1$ are included because, for positive integers $k$, the differences $\psi(x+k)-\psi(x)=\sum_{j=0}^{k-1}1/(x+j)$ are rational whenever both sides are finite)


API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.