NumberDB$^\beta$ Advanced search Tags Tables Help Login
Values of modified Bessel functions of the second kind $K_\nu(x)$
edit · history · discussion · files · long url · special functions special values
Numbers
$\nu$
$x$ 
value
0
1/4:
1.541506751248302816169516140575501607398623536416241605941241441711892211901684723527602574360416786
0
1/3:
1.276584366893580156803881437301085642190327957259059785225410404503918903290037841266520869821028762
0
1/2:
0.9244190712276658617819241675302169895387683119535296848150197406329199600950160486781807609823591200
0
2/3:
0.6967699885980613119926561684992825501922716098928547344116252354017824479395065773122138071722525067
0
3/4:
0.6105824221164641193509450911332914482419101029149004148029243131962773203955609697592029466902172760
0
1:
0.4210244382407083333356273792126090361362197482266604722989695514552126781381018390921251395473653045
0
5/4:
0.2976030890841059165627813633946003405895645687929061274644389866498555545279495260336700045443173110
0
4/3:
0.2661369635941187436405679384872621977499084801112427447638375154185645327450489298057606356930527775
0
3/2:
0.2138055626475257367216209962508620177978810648011410920203426648643864630558819851097741314171871796
0
5/3:
0.1726382606767303730763140030549150413250145814703184098978135104579632533437213298234662432595222965
0
7/4:
0.1553798123866035856018549022469364937666634069820887163067069620750481777399422633491189392785110310
0
2:
0.1138938727495334356527195749324818329983266243888088828925297899776631952068063116559751097958244787
0
9/4:
0.08404311197465811206634295343409009583223400041048874529200123851090496309277839118319268176066400163
0
7/3:
0.07603975329646939050133292927800318742819635545106531276989810751760541459148304483809109548076839025
0
5/2:
0.06234755320036618602916952947601392599600557874344530383859917207837261267999289945880523745501577238
0
8/3:
0.05121983220797808287473274605743801538289543422129023267395501481457414992671690402228831050936004067
0
11/4:
0.04645490130876076004771089591069811536864355648605096381281922247787193846268002635355805285869133882
0
3:
0.03473950438627924807234955135108883169484598061904202925332060113450932229082482500784321660541332284
0
13/4:
0.02605875525515494978117347487091183583266369508895206241351365952020122003949855552465072653460892117
0
10/3:
0.02369155830244976677400572672582722042375443570730265846578900686068162127091694561184767809119536885
0
7/2:
0.01959889717036848910757295892679691365197889216253723301341385391402777483115386675795900241408214765
0
11/3:
0.01622974402499895464842782692423718568757989699992892843419872542718510743988860065666111969982912253
0
15/4:
0.01477425087712870423177088292235578362454828765352348676850174344231290318592576852849708762715393426
0
4:
0.01115967608585302426974519597983348922500902388847434053825526153728917921451950715162056744051105609
0
17/4:
0.008444387724542954034302569775435835616556073218170766884589275816514988230669984213847249658891477869
0
13/3:
0.007697738391571623008192029794125246981324431481245373027166820971401529002906699506432816052396595190
0
9/2:
0.006399857243233975045637884725167438471294770674621851009803824766103727187576970428126214734440085593
0
14/3:
0.005324147642303342387864278221891633867078025374848103837225336051633539975402059129724983787104090785
0
19/4:
0.004857204557887952787747643077089590798238059298181070506700690163371823284759729081275883828835440267
0
5:
0.003691098334042594274735261007456995099001944344695721326301901770603642538039275737440062413364240077
1/3
1/4:
1.714491256423452280187353473067796588045880903148717123374248642025314581031508296292439791128454388
1/3
1/3:
1.395014749715364808476670230789677522218416220711486953543140611108689447570272712079573079806810201
1/3
1/2:
0.9890310742467242898582616604437628083220683687439975729583552078592314831648650682003075720407983620
1/3
2/3:
0.7361798960820463063068018564569028647235968326593355124876932055738844803640880637092548641716472759
1/3
3/4:
0.6421689966728297926490598089757373968305139084704198372465059086262402108350764941323333058006294737
1/3
1:
0.4384306334415343617131150105432629821954898190400267085543408742800627575786632182890629161503164426
1/3
5/4:
0.3078819241494506021121674126962540365764352528803123018163577051003316260281481007556891057620918061
1/3
4/3:
0.2748550354945283971095414476341141238946591707405854185596264260570070233966306565394471175426080339
1/3
3/2:
0.2201576902677668711132295658854231605591362695910822094959571133728067564934973471290570409019443193
1/3
5/3:
0.1773329641002943504676368217436914957701576854290398932684710820211315292972558444455507743301559200
1/3
7/4:
0.1594341305731123889657105203714363812837792095339795548604298717210886976102986679965227153752325370
1/3
2:
0.1165449612961652487589426289146328967531741789437368383809745040998711424289772660991789964045881107
1/3
9/4:
0.08580960930643963697317326734659038219967696218614328267438061203805710534014019559207722131363555079
1/3
7/3:
0.07758809208126711462188237247659660537173995261223332132402425599553845576884951796309950234785957587
1/3
5/2:
0.06354253745473336981775457327131419865337724418977343231446593205182412915802158954831870661013553454
1/3
8/3:
0.05214718414562466186862908643247732178532178252259851347562089086864878331049551578055501489517002590
1/3
11/4:
0.04727335418479549398297405794736329374192147544742436613095620094247276748987866372633580079718623563
1/3
3:
0.03530590490216255698176259630099925374172613247392757415739523679065548861527932818207704980324204182
1/3
13/4:
0.02645418689277316274507609740631649827236715592583810007229013485630155999242600928194414268591862838
1/3
10/3:
0.02404296210684412506079980329181980363448057757407840990137912713337611120873403689969152504933230171
1/3
7/2:
0.01987706140794380144583685703857885223088493220056850897007218792842411418010566081835128670806101378
1/3
11/3:
0.01645057620654605833941545107573085662380163685027278454114597408028292399823202764873331917649988954
1/3
15/4:
0.01497121351476021141104602832108278280242062261973209749617425696713728134459052006551888990378022704
1/3
4:
0.01129994757367216073768326416514919435411253104512619213351046863741590521600937958191190740044375116
1/3
17/4:
0.008544795954611045491580022716967378794465508218999156811438929607742989449326753361228750287441269160
1/3
13/3:
0.007787650571247188682801310131748281745609457262879373452102141436849087428308949271979323048145754490
1/3
9/2:
0.006472058121707823229523292719458825557210121677611306493695973267306467806777908326209212043283708248
1/3
14/3:
0.005382231089316554235174784456433635076600262315272729527440162774964315301529811092196472033311992207
1/3
19/4:
0.004909334280327526271075307505247623268901169746275623743607107878045249007222947007213133945932143145
1/3
5:
0.003728875096053588382354904961548603443018827490830325957697039876635872707382146367078182868393089815
1/2
1/4:
1.952164063151547689044436458244681092563988198851203823137632080512066610211635152366850370590059383
1/2
1/3:
1.555448865784420856262089329462015674087268573009588297800575687167400652722600668037586388549464201
1/2
1/2:
1.075047603499920238722755860248208511775137046224725770771667237263644581539315807307260599526097028
1/2
2/3:
0.7880901753344892262290741658646906881866813238281224875674470004363154667824208226111043523803487542
1/2
3/4:
0.6836100603495246981552710345987377168919623932921636686501038572495080779951779450281346203239318807
1/2
1:
0.4610685044478945584395758738756945896888971890371418504513953113710095523209450252547208267827697404
1/2
5/4:
0.3211713739714476747144320409128459166154940490881685421382914358634600261847287140231628949667404333
1/2
4/3:
0.2861088297577632678918220710491187872968736932899599930019493426759416412437302830143078223342299880
1/2
3/2:
0.2283350522282654560759548620764874095242150161302626526376660826657332011508216574161302784573335525
1/2
5/3:
0.1833628823594944120302838137153116064225915288437308446461757098992695509911480853484887432934052053
1/2
7/4:
0.1646362899738086392126496314142316170239862738457442239152791142346995771928197164876125188352352083
1/2
2:
0.1199377719680614473680365016367935162194504519102290907562408570020651764403585844625627164413577209
1/2
9/4:
0.08806555880365045746194671124420457050034200442415434612214010777200881992450751358853309122064533790
1/2
7/3:
0.07956420995830452694654297415235026358322890674822400321765805888173886797207602374253563939991839138
1/2
5/2:
0.06506594315400998893145978774403653999413874040988389994782955571858572559735362931584021855939674408
1/2
8/3:
0.05332820354744242846663515736783296390292720437207570436147321509632360494256798427076892321382930646
1/2
11/4:
0.04831519830141782741102213428946627301491419897486492950604057798801438569506990532307424916952847870
1/2
3:
0.03602598513176459256551045640482239931606010664606021103352697737529611929269540980038799878663551167
1/2
13/4:
0.02695635653244335234163116013529230834012873518335303704952128591454844170204254415103521970873398713
1/2
10/3:
0.02448907001398540510554436835109677152828261250475399401045799888847668925114462520873332915943611650
1/2
7/2:
0.02022996957813929305956515590939223106224361684160565767104666789595582988366524786819073708635599916
1/2
11/3:
0.01673058485582828614047909997558567337001247960567659126232716505811161639169957029027036570748219880
1/2
15/4:
0.01522088825297556642940364356559345327437876229102551392166063641994377895817778600440621251747868352
1/2
4:
0.01147762457660805343382605335895134476698647159720856399153296545021473369489857777744495989410406003
1/2
17/4:
0.008671893295697834249663652214298361773486935886829910866944860384583042256429158605854958702073915995
1/2
13/3:
0.007901437965802449598578817765099496818177188464158408610511779496514743333804849257612802500516732400
1/2
9/2:
0.006563394564634540931515725666631347613610355988137977565816662882555834615250153861361396474143637677
1/2
14/3:
0.005455680963974517671850105420977191174833233584622095453339880877454799661092446427002496749479160701
1/2
19/4:
0.004975243542126229119556316352119392566586571397023373469152350524183162603320654222490565310390949562
1/2
5:
0.003776613374642882559527651321342356635289860371178697661795803518707926585356013733571007558646461770
2/3
1/4:
2.328906074554410222514351805317951950011441735750062167238334862348585351242571515881066457801342530
2/3
1/3:
1.805158934607352032697225496179624419619033852432273078909032073949176272893357430734613919913028049
2/3
1/2:
1.205930464720335702254302176970096268785317470738475921224362847940818786308313365003444033678074806
2/3
2/3:
0.8659845835308781086647003338704048195999113807918424965182328002160871839119055325183753817903041415
2/3
3/4:
0.7454723297664722572685137472628150088550604696058341331122246030746256734692290055136130093100153065
2/3
1:
0.4944750621042082669938950257588367413304042782936907317518184667980913693400039530129847475986339076
2/3
5/4:
0.3406299481351427672726204231381664406727069860261603196966903162259041668845099288890062061520186174
2/3
4/3:
0.3025524560638856600156626779474225778349070661123763291277652034644066847785697758662802668168840792
2/3
3/2:
0.2402404524031557359269405208854613856100635803955343417117836795792237529669576402679497633658795520
2/3
5/3:
0.1921153320626000690528921615881615026509384530968440633609521135553143670124519823827501947128886204
2/3
7/4:
0.1721771690845229121056474427226596398328171917397857946950833386858109319559089781795439634935239550
2/3
2:
0.1248389274881283105668359563786516566089238563832923177675710402602633920241983176380033331862913261
2/3
9/4:
0.09131529607962101269865900758108802188991916907475586994032864646674913545574851073722344770939181447
2/3
7/3:
0.08240849922656624946803965154085606238450153374116440445325027877221990504802407557731363640586767884
2/3
5/2:
0.06725532217162333413033782763600106318734002113682732733855471600389320320049065981065124975491214571
2/3
8/3:
0.05502322984562757233983279949441096964028440979588806610964011499343540221054386966361520129603638266
2/3
11/4:
0.04980954654240221782314844160871380525330224584823311176225854576455442703074169456617929178690549457
2/3
3:
0.03705707449518849944106394082499091350601734786036903198944543542462953703880210655103782005784832319
2/3
13/4:
0.02767436550488671922793310544932624565196523762470714722352003823044970731230058441096269830309120118
2/3
10/3:
0.02512663680694961644345656976906338905275982706140146336052494243074794645794535990735223025737836691
2/3
7/2:
0.02073391583601090970619802550320891232400409804245295973576636808648392415707124760412475120108925789
2/3
11/3:
0.01713012417887989701783639269822853412004370482502661260862776019390666738171549444908093358315574757
2/3
15/4:
0.01557701551025133295786519240719380846506498370727935484687064823319746161162965595707582265931517195
2/3
4:
0.01173080145652533267781590153702014349879577933770019138275530475819551739975088386684430154003634605
2/3
17/4:
0.008852834320465882701653787166897882518213003018468006868287949485746352078474910060357294290885262915
2/3
13/3:
0.008063384957574746867199696537737051834470464599367563326769278085539066035363086840601397471106067952
2/3
9/2:
0.006693319091577554565729080277591218154052632818239118061537113019029566858746130262755767598636578593
2/3
14/3:
0.005560109973552971973958770317349634495879896798147654585814065244919219573968460885697219143581704480
2/3
19/4:
0.005068929210625547325802717796288130208655275084471579576060262610435401252149746545211223972903730229
2/3
5:
0.003844424634496821287275007540306270499354667586266451000448337998323526227805648943130664581159404049
1
1/4:
3.747025974440711638034133270845574052770079769054337478067752860675651220775589069359084776650279375
1
1/3:
2.708506780771503009140268815844774406328916276081917916846690915643633194363486057437424498743525940
1
1/2:
1.656441120003300893696445403174091511534100759464077446055427814526196589514519049466298792419167413
1
2/3:
1.125972531062593916246697989465898660149303168257483346189256138077219680910959795548984007462955007
1
3/4:
0.9495804669621402321777811123153262012202923280838251647191464895682918839959219750906736501427877260
1
1:
0.6019072301972345747375400015356173392615868899681064560177679591685535829462378401688637069582582154
1
5/4:
0.4021240797841954125911029316398324839775855513571265705649967528860156171969537160144675152907742880
1
4/3:
0.3542766563177896138701575134015978742720237358861560355981493836847427236943833217632465414621083942
1
3/2:
0.2773878004568438160853596614387540232856976491560747265877060539778199753855480398846329859586296631
1
5/3:
0.2192403495722862657227109297997597403375081578660432887941163842860648455120478546072775616299558170
1
7/4:
0.1954774534743930133174797509552062948249936035348350750337539605186460099267509746052110917920821090
1
2:
0.1398658818165224272845988070354110238872345848415155303844420543185617664053986392938997136781717526
1
9/4:
0.1012163025683252556037959607027916067452692481748327143678604223098927391484883447377282490687354120
1
7/3:
0.09105818122495973029851494014323821258401023617710825258468691422981605619960003215111733539973255005
1
5/2:
0.07389081634774706364899354059121758210197574421096200530672301011864081542326478907999866990376944619
1
8/3:
0.06014488991671389720266415484041784344742357451073351856499673484544595604402072263156397092752011911
1
11/4:
0.05431852275891984378605354950776096084698567037735606216700488903480343838007966395626322368323547712
1
3:
0.04015643112819418437670578015268481490724396296430888907338216344907299796677908689187342575818528670
1
13/4:
0.02982552979604012412591311881587516886154230737122201987040528350460589143710825939907478893982466160
1
10/3:
0.02703487882061759587484294142761501572848039161392460189221052000871107598325618294392582016355241764
1
7/2:
0.02223939292592383373856367198226221251596459546704629688336245100558146926598548460958250902291202021
1
11/3:
0.01832163072626728694115073140619738797019613730038577888361710796470155156955888325230646306096615625
1
15/4:
0.01663819175468890771383717726997202750979216715964669124198098835632913461635921724550896482268745480
1
4:
0.01248349888726843147038417998080606848384158498862584579170758058173093066142196703036645380402677607
1
17/4:
0.009389680656043248223313623652349257167075385050510685948626208559865057199239289430612800163486441110
1
13/3:
0.008543573040366544967092315349730221384261669710534634156125792079389564336095801446540933986160481102
1
9/2:
0.007078094908968089692924940462738734453768752686466032976341843975157763466018331091672302311486516538
1
14/3:
0.005869032144089854027115247127696840126155724282643508201793244517011702375812215565036200433465775496
1
19/4:
0.005345921817822839980428537551557907517304534028583590995710727787148438210507582283944509549120143994
1
5:
0.004044613445452164208365021837540611303019725263315461444817374765844353606342760841671763640912102041
3/2
1/4:
9.760820315757738445222182291223405462819940994256019115688160402560333051058175761834251852950296914
3/2
1/3:
6.221795463137683425048357317848062696349074292038353191202302748669602610890402672150345554197856804
3/2
1/2:
3.225142810499760716168267580744625535325411138674177312315001711790933744617947421921781798578291085
3/2
2/3:
1.970225438336223065572685414661726720466703309570306218918617501090788666956052056527760880950871886
3/2
3/4:
1.595090140815557629028965747397054672747912251015048560183575666915518848655415205065647447422507722
3/2
1:
0.9221370088957891168791517477513891793777943780742837009027906227420191046418900505094416535655394808
3/2
5/4:
0.5781084731486058144859776736431226499078892883587033758489245845542280471325116852416932109401327799
3/2
4/3:
0.5006904520760857188106886243359578777695289632574299877534113496828978721765279952750386890849024790
3/2
3/2:
0.3805584203804424267932581034608123492070250268837710877294434711095553352513694290268837974288892542
3/2
5/3:
0.2933806117751910592484541019444985702761464461499693514338811358388312815858369365575819892694483284
3/2
7/4:
0.2587141699588421473341637065080782553234070017575980661525814652259564784458595544805339581696553273
3/2
2:
0.1799066579520921710520547524551902743291756778653436361343612855030977646605378766938440746620365814
3/2
9/4:
0.1272058071608284385561452495749621573893828952793340555097579334484571843353997418501033539853765992
3/2
7/3:
0.1136631570832921813522042487890718051188984382117485760252257984024840971029657482036223419998834163
3/2
5/2:
0.09109232041561398450404370284165115599179423657383745992696137800602001583629508104217630598315544171
3/2
8/3:
0.07332627987773333914162334138077032536652490601160409349702567075744495679603097837230726941901529638
3/2
11/4:
0.06588436132011521919684836494018128138397390769299763114460078816547416231145896180419215795844792550
3/2
3:
0.04803464684235279008734727520642986575474680886141361471136930316706149239026054640051733171551401556
3/2
13/4:
0.03525062008088746075444074786922840321401449985515397152629706619594796222574794235135374884988290624
3/2
10/3:
0.03183579101818102663720767885642580298676739625618019221359539855501969602648801277135332790726695145
3/2
7/2:
0.02600996088617909107658377188350429708002750736777870271991714443765749556471246154481666196817199893
3/2
11/3:
0.02129347163469054599697339996892722065274315586177020706114366461941478449852672582398046544588643484
3/2
15/4:
0.01927979178710238414391128184975170748087976556863231763410347279859545334702519560558120252213966580
3/2
4:
0.01434703072076006679228256669868918095873308949651070498941620681276841711862322222180619986763007504
3/2
17/4:
0.01071233877703850113193745273530974101430739138961341930622600400448493455205954886605612545550307270
3/2
13/3:
0.009724846727141476429020083403199380699295001186656502905245267072633530256990583701677295385251362954
3/2
9/2:
0.008021926690108883360741442481438313749968212874390861469331476856457131196416854719441706801731112716
3/2
14/3:
0.006624755456254771458675128011186589283726069352755401621912712494052256731326542089931603195796123708
3/2
19/4:
0.006022663235205435249989225057828738370078481164817767883710740108221723151388160374593842217841675785
3/2
5:
0.004531936049571459071433181585610827962347832445414437194154964222449511902427216480285209070375754124
2
1/4:
31.51771454677399592044258230734009402955926168885094143048326432711710197810639727840028078756265179
2
1/3:
17.52762505152259821164549433236973208016382561375056728630555589836571806947095418589106786228218440
2
1/2:
7.550183551240869436567705780226583035675171349809839469036730998737706318153092246543375930659028770
2
2/3:
4.074687581785843060732750136896978530640181114665304772979393649633441490672385963959165829561117527
2
3/4:
3.142797000682171405158361390640827984829356311138434187387314952045055677718019570000999347070984545
2
1:
1.624838898635177482810707382283843714659393528162873384334505469792319844030577519429852553463881735
2
5/4:
0.9410016167388185767085460540183323149537014509643086403684337912674805420430754716568180290095561717
2
4/3:
0.7975519480708031644458042085896590091579440839404767981610615909456786182866239124506304478862153689
2
3/2:
0.5836559632566508248354338781692007155121445970092407274706174035014797635699460382892847793620267304
2
5/3:
0.4357266801634738919435671188146267297300243709095703564507531716012410679581787553521993172154692769
2
7/4:
0.3787826163573384579646889033386008307095132395933288020595686312392150462276576628979316156123191556
2
2:
0.2537597545660558629373183819678928568855612092303244132769718442962249616122049509498748234739962313
2
9/4:
0.1740131587020583392697171407254604129391399987881178247300993916752540645581013642833955698217621456
2
7/3:
0.1540896229178634450429171636864930839287765578885866721282011768574477484768545009676202401091105760
2
5/2:
0.1214602062785638369483643619489879916775861741122149080839775801732852650186047307228041733780313293
2
8/3:
0.09632849964551350577673086218775139796846311510434037159770256594865861695973244599596128870500013000
2
11/4:
0.08595928149706610098302256827997881416645131676049173629791368723045625728455614559447676099195350399
2
3:
0.06151045847174203765682007145287870829967528926191462196890871010055798760201088293575883377753684731
2
13/4:
0.04441292743733348770481231721914270897822819193278099771837844936918946092387286900100444280527025138
2
10/3:
0.03991248559482032429891149158239622986084267067565741960111531886590826686087065537820317018932681943
2
7/2:
0.03230712169946782267246648577380389223253008957227797408962096877436004298314557224914900757003187348
2
11/3:
0.02622336078478111116178277132761757912586869916377571691617169340793140829601162788519191773308338958
2
15/4:
0.02364795314629612167915071079967419829643744347200172209755827056568844164798401772610186886592057682
2
4:
0.01740142552948724000493728597023652346692981638278726343410905182815464454523049066680379434252444413
2
17/4:
0.01286306097444565908056780443536489781282684265370520733100160925645148573619435571060621444170862663
2
13/3:
0.01164092594866387453146540610938534915867597134764597340691718654650440485033553094329786250754758647
2
9/2:
0.009545677202775348242493413819717987117414216313051198999289088755062733172474006468869460206211870722
2
14/3:
0.007839447132627565542342241276618851064001907210266750209422440844638555279321580086169069687160851712
2
19/4:
0.007108119007497569621612290467219236068682073626005740399631522915855376215499763727147256270570237738
2
5:
0.005308943712223459958081269742473239620209834450021905904228851676941383980576380074108767869729080894
5/2
1/4:
119.0820078522444090317106239529255466464032801299234332113955569112360632229097442943778726059936224
5/2
1/3:
57.55160803402357168169730519009457994122893720135476701862130042519382415073622471739069637633017544
5/2
1/2:
20.42590446649848453573236134471596172372760387826978964466167750800924704924700033883795139099584354
5/2
2/3:
9.654104647847493021306158531842460930286846216894500472701225755344864468084655076986028316659272239
5/2
3/4:
7.063970623611755214271134024186956407883611397352357909384406524911583472616838765290724410013962767
5/2
1:
3.227479531135261909077031117129862127822280323259992953159767179597066866246615176783045787479388183
5/2
5/4:
1.708631709528101629480778457656340276394428341149056644175710438793607339302756758603226601223059105
5/2
4/3:
1.412662346928956135215871475805024012278313860619177465447124879462461853640918272383144872775260566
5/2
3/2:
0.9894518929891503096624710689981121079382650698978048280965530248848438716535605154698978733151120608
5/2
5/3:
0.7114479835548383186775011972154090329196551319136756772271617544091658578456545711521363239784121964
5/2
7/4:
0.6081462956175380346426445568566514832926839911444837658911330546220535402428646670256707328403586265
5/2
2:
0.3897977588961997039461186303195789277132139687082445449577827852567118234311653995033288284344125930
5/2
9/4:
0.2576733016847550422034737106774874470195191981299330868018173523699517323717071693886708965344808035
5/2
7/3:
0.2257025547796801886850912940240140130218126130204721723929483711135041356758891285757643648283399266
5/2
5/2:
0.1743767276527467703363122311540179271842918242984888518601832093258097446009077265664517857391832741
5/2
8/3:
0.1358202684098924350009614164211995799402677236351303095456270946984491813381028349396146013102215149
5/2
11/4:
0.1201890470142707938075839869514822163428857346399532543910596196230771082166615000185566033060171247
5/2
3:
0.08406063197411738265285773161125226507080691550747382574489628054235761168295595620090533050214952723
5/2
13/4:
0.05949539045326254688419185047611852669152673504964901076610319317234656067965602939843868018554897751
5/2
10/3:
0.05314128193034832907903127932187999421637326913531616700269385758799441567498383670295132427597637281
5/2
7/2:
0.04252422176629279969663696038096734284512433744255883143097564884251939751056164347803359020193199824
5/2
11/3:
0.03415251619330236922891188176834430844952960712894312431235379974672371279958507323716347379957110004
5/2
15/4:
0.03064472168265747374453266904539481925908257474593136802894341465882014163579794248887117453519041616
5/2
4:
0.02223789761717810352803797838296823048603628871959159273359512055979104653386599444379960979482661631
5/2
17/4:
0.01623354419713677622514891296863464954829215333832173625957498085833711370494178133483575314125255555
5/2
13/3:
0.01463402416151577943405426012116060653307372774722829523722004131603026428095217643569708392107536829
5/2
9/2:
0.01191134569137379650534335398759022344692249790439855187870431412019392207952805700765586767529771282
5/2
14/3:
0.009714452328709727895284116285311427142942849597107710781712338909345536131230937770529955946776668799
5/2
19/4:
0.008779030848571767172181090072853332589794033185329332132548607434638987751565808143286676184817271111
5/2
5:
0.006495775004385758002387560272708853412698559838427359978288782052177633726812343621742133000871914244
3
1/4:
508.0304587228246463651154501882870785257182667906694003657999820945492828704779455237635773776527080
3
1/3:
213.0400073990426815488862008042815593682948236410887253525133616960322500280149362881302388461297388
3
1/2:
62.05790952993025638623809164498675579693547155794279319834927580442784713473925702181330623769139757
3
2/3:
25.57409802177765228064319881084776984399038985624931198406561803587786862494527557930397898482966017
3
3/4:
17.71116447060038772635570852906640878697685932082214083078482623380858883182535968176267016785470530
3
1:
7.101262824737944505980369530670992197899161002619599993355789838337832959068547917888273920813785156
3
5/4:
3.413329253348414858058450304498495891829430194442914219743984884941953351734795225316285208121354037
3
4/3:
2.746932500530199107207570139170574901745855987707586430081334156521778578554255059115137885120754501
3
3/2:
1.833803702474579348979850003223289264651416574514049999842685796648432678238737475322725730924034277
3
5/3:
1.264984381964623606387272014954863891689566648049012144275923996129043408611676867452555922947082082
3
7/4:
1.061266290862595202951054387157722479303881008319586622598482260493994687018539918371911927477383036
3
2:
0.6473853909486341531592355709711967376583570033021643569383857429110116896298085411936493606261642151
3
9/4:
0.4105730291497623031944042108813878964148514682425977361102593408436777428073352145748759287518681153
3
7/3:
0.3552118205127256360863729350343692136047700497003996905187460745568693393027791766670377470153506804
3
5/2:
0.2682271463934492027663765197095983687861136227905058582410871383958972394530323582364853473086195731
3
8/3:
0.2046376393849841558677604481220449404001182471672440759615505837684338814836193916255059039850203141
3
11/4:
0.1793502049364705361249954670059119632709148583926167695094247977336489035212522393664112396715314829
3
3:
0.1221703757571835679191325420898564259734776819801950516985937769164836481027935974728852041282344164
3
13/4:
0.08448759433429672437798981693174311837320777436541401706225568272822368949725948278492641085400343252
3
10/3:
0.07492986153440198503353673132649049156149159642471350541354890264780099621630096939776962439074460096
3
7/2:
0.05916181772531563107852537000946666078171326926393541012864355817627866124672328146575280338866273276
3
11/3:
0.04692893340057395366309557285450747428932562729723201551944077350062672425611702276342491876978439943
3
15/4:
0.04186267511073810417159793545629117235932544019644852814604314362639680570754216948668429161300273674
3
4:
0.02988492441675567147532146595104259195077140137141310922581663240988557520665245769717024814655122020
3
17/4:
0.02149609098493328029914214547386916099091241343046852814251007609534880848036338892294806081450632499
3
13/3:
0.01928904314682550607306038252762438983842410480066937883943396427616286112102090693266203783928133015
3
9/2:
0.01556314131143506590847464163582138966924805607584487653126547842410241517488411461955626693923040162
3
14/3:
0.01258855825777062449198002536479871246672878760572929409558390809813046404380214135318111730817507696
3
19/4:
0.01133170624518921439862836110290042210145785918732526712171622076892138660250738331733167272433718630
3
5:
0.008291768415230932174830037631519202999187592823332986168200456107397460790803864900958777936695366756
Definition
This table gives the real principal values of the modified Bessel function of the second kind $K_\nu(x)$, Macdonald's function, [1] [2] [9], for rational order $\nu\geq0$ and rational argument $x>0$.
Parameters
$\nu$
—   order ($\nu\in\mathbb{Q}$, $\nu\geq0$)
$x$
—   argument ($x>0$)
Formulas
(1)
$K_{\nu+1}(x)-K_{\nu-1}(x)=2\nu K_\nu(x)/x$ [4].
(2)
$K_{-\nu}(x)=K_\nu(x)$ [3].
(3)
For every integer $n\geq0$, $K_{n+1/2}(x)=\sqrt{\pi/(2x)}e^{-x}y_n(1/x)$, where $y_n$ is the Bessel polynomial [8].
(4)
$K_\nu(x)=\sqrt{\pi}(2x)^\nu e^{-x}U(\nu+1/2,2\nu+1,2x)$ [6], where $U$ is Tricomi's confluent hypergeometric function.
Comments
(5)
The principal branch is that of [2]. For real $\nu$ and $x>0$, $K_\nu(x)$ is real. The point $x=0$ is excluded because $K_\nu(x)\to+\infty$ as $x\to0^+$ for every rational $\nu\geq0$ [5].
(6)
Negative orders are not listed separately because $K_{-\nu}(x)=K_\nu(x)$ for every order $\nu$.
(7)
These are the ordinary cylindrical modified Bessel functions. The modified spherical Bessel function of the second kind is $\mathrm{k}_n(x)=\sqrt{\pi/(2x)}K_{n+1/2}(x)$ [7].
(8)
The half-integer orders are elementary, as (3) shows.
Programs
(P1)
Sage
import numberdb.sage as numberdb
from sage.rings.complex_arb import ComplexBallField
from sage.rings.rational_field import QQ

CBF = ComplexBallField(numberdb.bits(100, losing=80))
nu = CBF(QQ(0))
x = CBF(QQ(1))
# Sage's arb method is called on the argument and takes the order.
x.bessel_K(nu).real()
(P2)
Python
import mpmath

mpmath.mp.dps = 100
mpmath.besselk(0, 1)
Links
Similar tables
Values of modified Bessel functions of the first kind $I_\nu(x)$ —   stores the other standard solution of the modified Bessel equation over the same orders and arguments
Values of Bessel functions of the first kind $J_\nu(x)$ —   stores the ordinary Bessel function $J_\nu$ over the same orders and arguments
Values of Bessel functions of the second kind $Y_\nu(x)$ —   stores the ordinary Bessel function $Y_\nu$ over the same orders and arguments
Zeros of Bessel functions of the first kind $J_\alpha$ —   stores zeros of the ordinary Bessel function $J_\alpha$ for real order $\alpha$
Zeros of Bessel functions of the second kind $Y_\alpha$ —   stores zeros of the ordinary Bessel function $Y_\alpha$ for real order $\alpha$
Local extrema of Bessel functions of the first kind $J_\alpha$ —   stores extrema of the ordinary Bessel function $J_\alpha$ for real order $\alpha$
Local extrema of Bessel functions of the second kind $Y_\alpha$ —   stores extrema of the ordinary Bessel function $Y_\alpha$ for real order $\alpha$
Bessel polynomials $y_n$ —   occur in explicit formulas for half-integer spherical and modified spherical Bessel functions
Data properties
Entries are of type: real number
How well the digits are known: proven
Table is complete: no (it holds $K_\nu(x)$ for $\nu\in\{0,1/3,1/2,2/3,1,3/2,2,5/2,3\}$ and for every positive rational $x=a/b$ in lowest terms with $b\leq4$ and $x\leq5$)
How they were obtained:

Each value was computed as a Sage real ball with arb at numberdb.bits(digits, losing=80) bits.

more

The entries were checked against mpmath at 150 decimal digits, against the recurrence in (1) wherever all three orders are stored, against the negative-order formula in (2), against the elementary half-integer formula in (3), and against the Tricomi-function identity in (4). The widest returned ball had radius less than $10^{-119}$ for 100 requested digits.



API Python package Skill for AI Privacy Legal notice Source
Data licensed CC BY-SA 4.0. No tracking, no analytics, essential cookies only.